Polígono

Figura plana delimitada por segmentos de recta

Algunos polígonos de diferentes tipos: abiertos (excluyendo su límite), solo su límite (excluyendo el interior), cerrados (incluyendo tanto el límite como el interior) y autointersecantes.

En geometría , un polígono ( / ˈpɒlɪɡɒn / ) es una figura plana formada por segmentos de línea conectados para formar una cadena poligonal cerrada .

Los segmentos de una cadena poligonal cerrada se denominan aristas o lados . Los puntos en los que se encuentran dos aristas son los vértices o esquinas del polígono . Un n -gono es un polígono con n lados; por ejemplo, un triángulo es un 3-gono.

Un polígono simple es aquel que no se interseca consigo mismo. Más precisamente, las únicas intersecciones permitidas entre los segmentos de línea que forman el polígono son los puntos finales compartidos de segmentos consecutivos en la cadena poligonal. Un polígono simple es el límite de una región del plano que se llama polígono sólido . El interior de un polígono sólido es su cuerpo , también conocido como región poligonal o área poligonal . En contextos en los que uno se ocupa solo de polígonos simples y sólidos, un polígono puede referirse solo a un polígono simple o a un polígono sólido.

Una cadena poligonal puede cruzarse consigo misma, creando polígonos en estrella y otros polígonos que se intersecan entre sí . Algunas fuentes también consideran que las cadenas poligonales cerradas en el espacio euclidiano son un tipo de polígono (un polígono oblicuo ), incluso cuando la cadena no se encuentra en un solo plano.

Un polígono es un ejemplo bidimensional de un politopo más general en cualquier número de dimensiones. Existen muchas más generalizaciones de polígonos definidos para diferentes propósitos.

Etimología

La palabra polígono deriva del adjetivo griego πολύς ( polús ) 'mucho', 'muchos' y γωνία ( gōnía ) 'esquina' o 'ángulo'. Se ha sugerido que γόνυ ( gónu ) 'rodilla' puede ser el origen de gon . ^[1]

Clasificación

Algunos tipos diferentes de polígono

Número de lados

Los polígonos se clasifican principalmente por el número de lados.

Convexidad e intersección

Los polígonos pueden caracterizarse por su convexidad o tipo de no convexidad:

• Convexo : cualquier línea trazada a través del polígono (y no tangente a un borde o esquina) se encuentra con su límite exactamente dos veces. Como consecuencia, todos sus ángulos interiores son menores a 180°. De manera equivalente, cualquier segmento de línea con puntos finales en el límite pasa solo por los puntos interiores entre sus puntos finales. Esta condición es verdadera para polígonos en cualquier geometría, no solo euclidiana. ^[2]
• No convexo: se puede encontrar una línea que se encuentra con su límite más de dos veces. De manera equivalente, existe un segmento de línea entre dos puntos límite que pasa por fuera del polígono.
• Simple : el límite del polígono no se corta a sí mismo. Todos los polígonos convexos son simples.
• Cóncava : No convexa y simple. Tiene al menos un ángulo interior mayor de 180°.
• Estrellado : todo el interior es visible desde al menos un punto, sin cruzar ninguna arista. El polígono debe ser simple, y puede ser convexo o cóncavo. Todos los polígonos convexos tienen forma de estrella.
• Autointersecante : el límite del polígono se corta a sí mismo. El término complejo se utiliza a veces en contraste con simple , pero este uso corre el riesgo de confundirse con la idea de un polígono complejo como uno que existe en el plano complejo de Hilbert que consta de dos dimensiones complejas .
• Polígono estrellado : polígono que se corta a sí mismo de manera regular. Un polígono no puede tener forma de estrella y de estrella al mismo tiempo.

Igualdad y simetría

• Equiangular : todos los ángulos de las esquinas son iguales.
• Equilátero : todas las aristas tienen la misma longitud.
• Regular : tanto equilátero como equiangular.
• Cíclico : todos los vértices se encuentran en un único círculo , llamado círculo circunscrito .
• Tangencial : todos los lados son tangentes a un círculo inscrito .
• Isogonal o vértice-transitivo : todos los vértices se encuentran dentro de la misma órbita de simetría . El polígono también es cíclico y equiangular.
• Isotoxal o transitivo por aristas : todos los lados se encuentran dentro de la misma órbita de simetría . El polígono también es equilátero y tangencial.

La propiedad de regularidad puede definirse de otras maneras: un polígono es regular si y solo si es isogonal e isotoxal, o equivalentemente, es cíclico y equilátero. Un polígono regular no convexo se denomina polígono regular en estrella .

Misceláneas

• Rectilíneo : los lados del polígono forman ángulos rectos, es decir, todos sus ángulos interiores son de 90 o 270 grados.
• Monótona respecto de una recta dada L : toda recta ortogonal a L interseca al polígono no más de dos veces.

Propiedades y fórmulas

Partición de un n -gono en n − 2 triángulos

Se asume la geometría euclidiana en todo momento.

Anglos

Cualquier polígono tiene tantos vértices como lados. Cada vértice tiene varios ángulos. Los dos más importantes son:

• Ángulo interior – La suma de los ángulos interiores de un n -gono simple es ( n − 2) × π radianes o ( n − 2) × 180 grados . Esto se debe a que cualquier n -gono simple (que tiene n lados) puede considerarse formado por ( n − 2) triángulos, cada uno de los cuales tiene una suma de ángulos de π radianes o 180 grados. La medida de cualquier ángulo interior de un n -gono regular convexo esradianes ogrados. Los ángulos interiores de los polígonos estrellados regulares fueron estudiados por primera vez por Poinsot, en el mismo artículo en el que describe los cuatro poliedros estrellados regulares : para un-gono regular (un p -gono con densidad central q ), cada ángulo interior esradianes ogrados. ^[3] ${\displaystyle \left(1-{\tfrac {2}{n}}\right)\pi }$ ${\displaystyle 180-{\tfrac {360}{n}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi (p-2q)}{p}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {180(p-2q)}{p}}}$
• Ángulo exterior – El ángulo exterior es el ángulo suplementario del ángulo interior. Trazando alrededor de un n -gono convexo, el ángulo "girado" en una esquina es el ángulo exterior o externo. Trazando todo el camino alrededor del polígono se hace una vuelta completa , por lo que la suma de los ángulos exteriores debe ser 360°. Este argumento se puede generalizar a polígonos simples cóncavos, si los ángulos externos que giran en la dirección opuesta se restan del total girado. Trazando alrededor de un n -gono en general, la suma de los ángulos exteriores (la cantidad total que uno gira en los vértices) puede ser cualquier múltiplo entero d de 360°, por ejemplo 720° para un pentagrama y 0° para un "ocho" angular o antiparalelogramo , donde d es la densidad o número de giro del polígono.

Área

Coordenadas de un pentágono no convexo

En esta sección se supone que los vértices del polígono en cuestión están ordenados . Por conveniencia en algunas fórmulas también se utilizará la notación ( x _n , y _n ) = ( x ₀ , y ₀ ) . ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n-1},y_{n-1})}$

Polígonos simples

Si el polígono no se autointersecta (es decir, es simple ), el área firmada es

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\quad {\text{where }}x_{n}=x_{0}{\text{ and }}y_{n}=y_{0},}$

o, utilizando determinantes

${\displaystyle 16A^{2}=\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}{\begin{vmatrix}Q_{i,j}&Q_{i,j+1}\\Q_{i+1,j}&Q_{i+1,j+1}\end{vmatrix}},}$

¿Dónde está la distancia al cuadrado entre y ^{[4] [5]?} ${\displaystyle Q_{i,j}}$ ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ ${\displaystyle (x_{j},y_{j}).}$

El área con signo depende del orden de los vértices y de la orientación del plano. Comúnmente, la orientación positiva se define por la rotación (en sentido antihorario) que asigna el eje x positivo al eje y positivo . Si los vértices están ordenados en sentido antihorario (es decir, según la orientación positiva), el área con signo es positiva; de lo contrario, es negativa. En cualquier caso, la fórmula del área es correcta en valor absoluto . Esto se denomina comúnmente fórmula del cordón o fórmula del topógrafo . ^[6]

El área A de un polígono simple también se puede calcular si se conocen las longitudes de los lados, a ₁ , a ₂ , ..., a _n y los ángulos exteriores , θ ₁ , θ ₂ , ..., θ _{n , a partir de:}

${\displaystyle {\begin{aligned}A={\frac {1}{2}}(a_{1}[a_{2}\sin(\theta _{1})+a_{3}\sin(\theta _{1}+\theta _{2})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+a_{2}[a_{3}\sin(\theta _{2})+a_{4}\sin(\theta _{2}+\theta _{3})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+\cdots +a_{n-2}[a_{n-1}\sin(\theta _{n-2})]).\end{aligned}}}$

La fórmula fue descrita por Lopshits en 1963. ^[7]

Si el polígono se puede dibujar en una cuadrícula igualmente espaciada de modo que todos sus vértices sean puntos de la cuadrícula, el teorema de Pick proporciona una fórmula simple para el área del polígono basada en el número de puntos de la cuadrícula interior y límite: el primer número más la mitad del segundo número, menos 1.

En todo polígono con perímetro p y área A , se cumple la desigualdad isoperimétrica . ^[8] ${\displaystyle p^{2}>4\pi A}$

Para dos polígonos simples de igual área, el teorema de Bolyai-Gerwien afirma que el primero puede cortarse en trozos poligonales que pueden volver a ensamblarse para formar el segundo polígono.

Las longitudes de los lados de un polígono no determinan en general su área. ^[9] Sin embargo, si el polígono es simple y cíclico, entonces los lados sí determinan el área. ^[10] De todos los n -gonos con longitudes de lado dadas, el que tiene el área más grande es cíclico. De todos los n -gonos con un perímetro dado, el que tiene el área más grande es regular (y por lo tanto cíclico). ^[11]

Polígonos regulares

Muchas fórmulas especializadas se aplican a las áreas de polígonos regulares .

El área de un polígono regular se da en términos del radio r de su círculo inscrito y su perímetro p por

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\cdot p\cdot r.}$

Este radio también se denomina apotema y a menudo se representa como .

El área de un n -gono regular en términos del radio R de su círculo circunscrito se puede expresar trigonométricamente como: ^{[12] [13]}

${\displaystyle A=R^{2}\cdot {\frac {n}{2}}\cdot \sin {\frac {2\pi }{n}}=R^{2}\cdot n\cdot \sin {\frac {\pi }{n}}\cdot \cos {\frac {\pi }{n}}}$

El área de un n -gono regular inscrito en un círculo de radio unitario, con lado s y ángulo interior también se puede expresar trigonométricamente como: ${\displaystyle \alpha ,}$

${\displaystyle A={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\alpha }{n-2}}=n\cdot \sin {\frac {\alpha }{n-2}}\cdot \cos {\frac {\alpha }{n-2}}.}$

Autointersecante

El área de un polígono autointersecante se puede definir de dos maneras diferentes, obteniendo respuestas diferentes:

• Utilizando las fórmulas para polígonos simples, permitimos que regiones particulares dentro del polígono puedan tener su área multiplicada por un factor que llamamos densidad de la región. Por ejemplo, el pentágono convexo central en el centro de un pentagrama tiene densidad 2. Las dos regiones triangulares de un cuadrilátero cruzado (como una figura 8) tienen densidades de signos opuestos, y sumando sus áreas se puede obtener un área total de cero para toda la figura. ^[14]
• Considerando las regiones encerradas como conjuntos de puntos, podemos hallar el área del conjunto de puntos encerrado. Esta corresponde al área del plano cubierto por el polígono o al área de uno o más polígonos simples que tienen el mismo contorno que el que se interseca consigo mismo. En el caso del cuadrilátero transversal, se trata como dos triángulos simples. ^{[ cita requerida ]}

Centroide

Utilizando la misma convención para las coordenadas de los vértices que en la sección anterior, las coordenadas del centroide de un polígono sólido simple son

${\displaystyle C_{x}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}),}$

${\displaystyle C_{y}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}).}$

En estas fórmulas se debe utilizar el valor del área con signo. ${\displaystyle A}$

Para los triángulos ( n = 3 ), los centroides de los vértices y de la figura sólida son los mismos, pero, en general, esto no es cierto para n > 3. El centroide del conjunto de vértices de un polígono con n vértices tiene las coordenadas

${\displaystyle c_{x}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}x_{i},}$

${\displaystyle c_{y}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}y_{i}.}$

Generalizaciones

La idea de polígono se ha generalizado de diversas maneras. Algunas de las más importantes son:

• Un polígono esférico es un circuito de arcos de círculos máximos (lados) y vértices en la superficie de una esfera. Permite la formación del dígono , un polígono que tiene solo dos lados y dos vértices, lo cual es imposible en un plano. Los polígonos esféricos desempeñan un papel importante en la cartografía (elaboración de mapas) y en la construcción de los poliedros uniformes de Wythoff .
• Un polígono oblicuo no se encuentra en un plano, sino que forma un zigzag en tres (o más) dimensiones. Los polígonos de Petrie de los politopos regulares son ejemplos bien conocidos.
• Un apeirógono es una secuencia infinita de lados y ángulos, que no es cerrada pero no tiene extremos porque se extiende indefinidamente en ambas direcciones.
• Un apeirógono oblicuo es una secuencia infinita de lados y ángulos que no se encuentran en un plano.
• Un polígono con agujeros es un polígono plano conexo en áreas o conexo múltiple con un límite externo y uno o más límites interiores (agujeros).
• Un polígono complejo es una configuración análoga a un polígono ordinario, que existe en el plano complejo de dos dimensiones reales y dos imaginarias .
• Un polígono abstracto es un conjunto algebraico parcialmente ordenado que representa los distintos elementos (lados, vértices, etc.) y su conectividad. Se dice que un polígono geométrico real es una realización del polígono abstracto asociado. Dependiendo de la aplicación, se pueden realizar todas las generalizaciones descritas aquí.
• Un poliedro es un sólido tridimensional delimitado por caras poligonales planas, análogo a un polígono en dos dimensiones. Las formas correspondientes en cuatro o más dimensiones se denominan politopos . ^[15] (En otras convenciones, las palabras poliedro y politopo se utilizan en cualquier dimensión, con la distinción entre las dos de que un politopo está necesariamente delimitado. ^[16] )

Nombramiento

La palabra polígono proviene del latín tardío polygōnum (un sustantivo), del griego πολύγωνον ( polygōnon/polugōnon ), sustantivo que utiliza el neutro de πολύγωνος ( polygōnos/polugōnos , el adjetivo masculino), que significa "de muchos ángulos". Los polígonos individuales se nombran (y a veces se clasifican) según el número de lados, combinando un prefijo numérico derivado del griego con el sufijo -gon , p. ej. pentágono , dodecágono . El triángulo , el cuadrilátero y el nonágono son excepciones.

Más allá de los decágonos (de 10 lados) y los dodecágonos (de 12 lados), los matemáticos generalmente utilizan notación numérica, por ejemplo 17-gono y 257-gono. ^[17]

Existen excepciones para los números de lados que se expresan fácilmente en forma verbal (por ejemplo, 20 y 30) o que son utilizados por personas que no son matemáticas. Algunos polígonos especiales también tienen sus propios nombres; por ejemplo, el pentágono regular en forma de estrella también se conoce como pentagrama .

Para construir el nombre de un polígono con más de 20 y menos de 100 aristas, combine los prefijos de la siguiente manera. ^[21] El término "kai" se aplica a 13-gonos y superiores y fue utilizado por Kepler y defendido por John H. Conway para la claridad de los números de prefijo concatenados en la denominación de poliedros cuasirregulares , ^[25] aunque no todas las fuentes lo utilizan.

Historia

Imagen histórica de polígonos (1699)

Los polígonos se conocen desde la antigüedad. Los polígonos regulares eran conocidos por los antiguos griegos, y el pentagrama , un polígono regular no convexo ( polígono estrellado ), apareció ya en el siglo VII a. C. en una crátera de Aristófanes , encontrada en Caere y ahora en el Museo Capitolino . ^{[40] [41]}

El primer estudio sistemático conocido de polígonos no convexos en general fue realizado por Thomas Bradwardine en el siglo XIV. ^[42]

En 1952, Geoffrey Colin Shephard generalizó la idea de polígonos al plano complejo, donde cada dimensión real está acompañada por una imaginaria , para crear polígonos complejos . ^[43]

En la naturaleza

La Calzada del Gigante , en Irlanda del Norte

Los polígonos aparecen en las formaciones rocosas, más comúnmente como facetas planas de los cristales , donde los ángulos entre los lados dependen del tipo de mineral del que está hecho el cristal.

Los hexágonos regulares pueden formarse cuando el enfriamiento de la lava forma áreas de columnas de basalto muy compactas , que pueden verse en la Calzada del Gigante en Irlanda del Norte o en el Pilar del Diablo en California .

En biología , la superficie del panal de cera fabricado por las abejas es una matriz de hexágonos , y los lados y la base de cada celda también son polígonos.

Gráficos de computadora

En gráficos por computadora , un polígono es un elemento primitivo utilizado en modelado y renderizado. Se definen en una base de datos que contiene matrices de vértices (las coordenadas de los vértices geométricos , así como otros atributos del polígono, como el color, el sombreado y la textura), información de conectividad y materiales. ^{[44] [45]}

Cualquier superficie se modela como una teselación llamada malla poligonal . Si una malla cuadrada tiene n + 1 puntos (vértices) por lado, hay n cuadrados cuadrados en la malla, o 2 n triángulos cuadrados, ya que hay dos triángulos en un cuadrado. Hay ( n + 1) ² / 2( n ² ) vértices por triángulo. Cuando n es grande, esto se aproxima a la mitad. O bien, cada vértice dentro de la malla cuadrada conecta cuatro bordes (líneas).

El sistema de procesamiento de imágenes recupera de la base de datos la estructura de polígonos necesaria para la creación de la escena. Esta se transfiere a la memoria activa y, finalmente, al sistema de visualización (pantalla, monitores de TV, etc.) para que se pueda visualizar la escena. Durante este proceso, el sistema de procesamiento de imágenes reproduce los polígonos en la perspectiva correcta, listos para la transmisión de los datos procesados ​​al sistema de visualización. Aunque los polígonos son bidimensionales, a través del ordenador del sistema se colocan en una escena visual en la orientación tridimensional correcta.

En los gráficos por computadora y la geometría computacional , a menudo es necesario determinar si un punto dado se encuentra dentro de un polígono simple dado por una secuencia de segmentos de línea. Esto se denomina prueba del punto en el polígono . ^[46] ${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$

Véase también

• Operaciones booleanas sobre polígonos
• Gráfica completa
• Polígono construible
• Polígono cíclico
• Forma geométrica
• Golygon
• Lista de polígonos
• Poliforma
• Sopa de polígonos
• Triangulación de polígonos
• Polígono de precisión
• Espirolateral
• Geometría sintética
• Embaldosado
• Rompecabezas de mosaicos

Referencias

Bibliografía

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Notas

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Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Polígono". MathWorld .
• ¿Qué son los poliedros?, con prefijos numéricos griegos
• Polígonos, tipos de polígonos y propiedades de polígonos, con animación interactiva
• Cómo dibujar polígonos ortogonales monocromáticos en pantallas, por Herbert Glarner
• Preguntas frecuentes sobre comp.graphics.algorithms, soluciones a problemas matemáticos que calculan polígonos 2D y 3D
• Comparación de los diferentes algoritmos para operaciones booleanas poligonales, compara capacidades, velocidad y robustez numérica
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