En geometría , un polígono estrellado es un tipo de polígono no convexo . Los polígonos estrellados regulares se han estudiado en profundidad; si bien los polígonos estrellados en general parecen no haber sido definidos formalmente, pueden surgir algunos notables a través de operaciones de truncamiento en polígonos simples o estrellados regulares.
Branko Grünbaum identificó dos usos primarios de esta terminología de Johannes Kepler , uno correspondiente a los polígonos estrellados regulares con aristas que se cruzan y que no generan nuevos vértices, y el otro a los polígonos simples cóncavos isotoxales . [1]
Los poligramas incluyen polígonos como el pentagrama , pero también figuras compuestas como el hexagrama .
Una definición de un polígono estrellado , utilizada en gráficos de tortugas , es un polígono que tiene q ≥ 2 vueltas ( q se llama número de vueltas o densidad ), como en los espirolaterales . [2]
Los nombres de polígonos estelares combinan un prefijo numeral , como penta- , con el sufijo griego -grama (en este caso generando la palabra pentagrama ). El prefijo normalmente es un cardinal griego , pero existen sinónimos que usan otros prefijos. Por ejemplo, un polígono de nueve puntas o eneagrama también se conoce como nonagrama , utilizando el ordinal nona del latín . [ cita requerida ] El sufijo -grama deriva de γραμμή ( grammḗ ), que significa línea. [3] El nombre polígono estelar refleja la semejanza de estas formas con los picos de difracción de las estrellas reales.
Un polígono estrellado regular es un polígono autointersecante, equilátero y equiangular .
Un polígono estrellado regular se denota por su símbolo de Schläfli { p / q }, donde p (el número de vértices) y q (la densidad ) son primos entre sí (no comparten ningún factor) y donde q ≥ 2. La densidad de un polígono también se puede llamar su número de giro : la suma de los ángulos de giro de todos los vértices, dividida por 360°.
El grupo de simetría de { p / q } es el grupo diedro D p , de orden 2 p , independiente de q .
Los polígonos estelares regulares fueron estudiados sistemáticamente por primera vez por Thomas Bradwardine y más tarde por Johannes Kepler . [4]
Los polígonos regulares en forma de estrella se pueden crear conectando un vértice de un polígono simple regular de p lados con otro vértice, no adyacente al primero, y continuando el proceso hasta que se alcance nuevamente el vértice original. [5] Alternativamente, para los números enteros p y q , se puede considerar que se construye conectando cada punto q de p puntos espaciados regularmente en una colocación circular. [6] Por ejemplo, en un pentágono regular, se puede obtener una estrella de cinco puntas trazando una línea desde el 1.er al 3.er vértice, desde el 3.er al 5.º vértice, desde el 5.º al 2.º vértice, desde el 2.º al 4.º vértice y desde el 4.º al 1.er vértice.
Si q ≥ p /2, entonces la construcción de { p / q } dará como resultado el mismo polígono que { p /( p − q )}; conectar cada tercer vértice del pentágono dará un resultado idéntico al de conectar cada segundo vértice. Sin embargo, los vértices se alcanzarán en la dirección opuesta, lo que marca una diferencia cuando se incorporan polígonos retrógrados en politopos de dimensiones superiores. Por ejemplo, un antiprisma formado a partir de un pentagrama prógrado {5/2} da como resultado un antiprisma pentagrammico ; la construcción análoga a partir de un "pentagrama cruzado" retrógrado {5/3} da como resultado un antiprisma cruzado pentagrammico . Otro ejemplo es el tetrahemihexaedro , que puede verse como un "triángulo cruzado" {3/2} cuploide .
Si p y q no son primos entre sí, se obtendrá un polígono degenerado con vértices y aristas coincidentes. Por ejemplo, {6/2} aparecerá como un triángulo, pero se puede etiquetar con dos conjuntos de vértices: 1-3 y 4-6. Esto no debe verse como dos triángulos superpuestos, sino como un hexágono unicursal simple de doble vuelta. [7] [8]
Alternativamente, un polígono estrellado regular también puede obtenerse como una secuencia de estelaciones de un polígono central regular convexo . Las construcciones basadas en la estelación también permiten obtener compuestos poligonales regulares en casos en los que la densidad q y la cantidad p de vértices no son coprimos. Sin embargo, al construir polígonos estrellados a partir de la estelación, si q > p /2, las líneas divergirán infinitamente, y si q = p /2, las líneas serán paralelas, y ambas resultarán en que no haya más intersecciones en el espacio euclidiano. Sin embargo, puede ser posible construir algunos de estos polígonos en el espacio esférico, de manera similar al monógono y al dígono ; dichos polígonos aún no parecen haber sido estudiados en detalle.
Cuando se eliminan los segmentos de línea que se intersecan de un poligono regular de n estrellas , la figura resultante ya no es regular, sino que puede verse como un poligono simple 2n cóncavo isotoxal , con vértices alternados en dos radios diferentes. Branko Grünbaum , en Tilings and patterns , representa una estrella que coincide con el contorno de un poligrama regular { n / d } como | n / d |, o más generalmente con { n 𝛼 }, que denota un poligono simple 2n cóncavo o convexo isotoxal con un ángulo interno externo 𝛼.
Estos polígonos se ven a menudo en patrones de teselación. El ángulo paramétrico 𝛼 (en grados o radianes) se puede elegir para que coincida con los ángulos internos de los polígonos vecinos en un patrón de teselación. En su obra de 1619 Harmonices Mundi , entre los teselados periódicos, Johannes Kepler incluye teselados no periódicos, como aquel con tres pentágonos regulares y un pentágono estrellado regular que encajan alrededor de ciertos vértices, 5.5.5.5/2, y relacionado con los teselados modernos de Penrose . [9]
El interior de un polígono estelar puede ser tratado de diferentes maneras. Se ilustran tres de estos tratamientos para un pentagrama. Branko Grünbaum y Geoffrey Shephard consideran dos de ellos, como n- ágonos estelares regulares y como 2n - ágonos isotoxales cóncavos simples . [9]
Estos tres tratamientos son:
Cuando se calcula el área del polígono, cada uno de estos enfoques produce un resultado diferente.
Los polígonos en forma de estrella ocupan un lugar destacado en el arte y la cultura. Estos polígonos pueden ser regulares o no , pero siempre son muy simétricos . Algunos ejemplos son: