Figura de isotoxal

Politopo o teselación con un tipo de borde

En geometría , un politopo (por ejemplo, un polígono o un poliedro ) o un mosaico es isotoxal (del griego τόξον  'arco') o transitivo en sus aristas si sus simetrías actúan transitivamente sobre sus aristas . De manera informal, esto significa que solo hay un tipo de arista para el objeto: dadas dos aristas, hay una traslación , rotación y/o reflexión que moverá una arista hacia la otra mientras deja la región ocupada por el objeto sin cambios.

Polígonos isotoxales

Un polígono isotoxal es un polígono de lados pares, es decir, equilátero , pero no todos los polígonos equiláteros son isotoxales. Los duales de los polígonos isotoxales son polígonos isogonales . Los isotoxales -gonos son simétricos centralmente , por lo que también son zonógonos . ${\displaystyle 4n}$

En general, un -gono isotoxal (no regular) tiene simetría diedro . Por ejemplo, un rombo (no cuadrado) es un " × -gono" isotoxal (cuadrilátero) con simetría. Todos los -gonos regulares (también con impar ) son isotoxales, con el doble del orden de simetría mínimo: un -gono regular tiene simetría diedro. ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{n},(^{*}nn)}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{2},(^{*}22)}$ ${\displaystyle {\color {royalblue}n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{n},(^{*}nn)}$

Un isotoxal -gono con ángulo interno externo se puede denotar por El ángulo interno interno puede ser menor o mayor que , formando polígonos convexos o cóncavos respectivamente. ${\displaystyle {\mathbf {2}}n}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \{n_{\alpha }\}.}$ ${\displaystyle (\beta )}$ ${\displaystyle 180}$ ${\displaystyle {\color {royalblue}^{\mathsf {o}}},}$

Un estrella -gono ${\displaystyle {\color {royalblue}{\mathbf {2}}n}}$ también puede ser isotoxal, denotado por con y con el máximo común divisor donde es el número de giro o densidad . ^[1] Los vértices internos cóncavos se pueden definir para Si entonces se "reduce" a un compuesto de copias rotadas de ${\displaystyle \{(n/q)_{\alpha }\},}$ ${\displaystyle q\leq n-1}$ ${\displaystyle \gcd(n,q)=1,}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q<n/2.}$ ${\displaystyle D=\gcd(n,q)\geq 2,}$ ${\displaystyle \{(n/q)_{\alpha }\}=\{(Dm/Dp)_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle D\{(m/p)_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \{(m/p)_{\alpha }\}.}$

Precaución:

Los vértices de no siempre se colocan como los de mientras que los vértices del regular se colocan como los del regular ${\displaystyle \{(n/q)_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle \{n_{\alpha }\},}$ ${\displaystyle \{n/q\}}$ ${\displaystyle \{n\}.}$

Se puede definir un conjunto de teselas "uniformes" , en realidad teselas isogonales que utilizan polígonos isotoxales como caras menos simétricas que las regulares.

Poliedros y teselaciones isotoxales

Los poliedros regulares son isoédricos (transitivos por caras), isogonales (transitivos por vértices) e isotoxales (transitivos por aristas).

Los poliedros cuasirregulares , como el cuboctaedro y el icosidodecaedro , son isogonales e isotoxales, pero no isoédricos. Sus duales, incluidos el dodecaedro rómbico y el triacontaedro rómbico , son isoédricos e isotoxales, pero no isogonales.

No todos los poliedros o teselaciones bidimensionales construidas a partir de polígonos regulares son isotoxales. Por ejemplo, el icosaedro truncado (el conocido balón de fútbol) no es isotoxal, ya que tiene dos tipos de aristas: hexágono-hexágono y hexágono-pentágono, y no es posible que una simetría del sólido mueva una arista hexágono-hexágono sobre una arista hexágono-pentágono.

Un poliedro isotoxal tiene el mismo ángulo diedro para todos los bordes.

El dual de un poliedro convexo es también un poliedro convexo. ^[2]

El dual de un poliedro no convexo es también un poliedro no convexo. ^[2] (Por contraposición.)

El dual de un poliedro isotoxal es también un poliedro isotoxal. (Véase el artículo Poliedro dual ).

Hay nueve poliedros isotoxales convexos : los cinco sólidos platónicos ( regulares ) , los dos núcleos comunes ( cuasirregulares ) de los sólidos platónicos duales y sus dos duales.

Hay catorce poliedros isotoxales no convexos: los cuatro poliedros de Kepler-Poinsot (regulares) , los dos núcleos comunes (cuasirregulares) de los poliedros duales de Kepler-Poinsot y sus dos duales, más los tres poliedros estelares ditrigonales cuasirregulares (3 | pq ) y sus tres duales.

Hay al menos cinco compuestos poliédricos isotoxales: los cinco compuestos poliédricos regulares ; sus cinco duales son también los cinco compuestos poliédricos regulares (o un gemelo quiral).

Hay al menos cinco teselaciones poligonales isotoxales del plano euclidiano, e infinitas teselaciones poligonales isotoxales del plano hiperbólico, incluidas las construcciones de Wythoff a partir de las teselaciones hiperbólicas regulares { p , q }, y grupos no rectos ( pqr ).

Véase también

• Tabla de ángulos diedros de poliedros
• Vértice-transitivo
• Transición facial
• Célula transitiva

Referencias

1. Mosaicos y patrones , Branko Gruenbaum, GC Shephard, 1987, 2.5 Mosaicos utilizando polígonos estrellados, págs. 82–85.
2. "dualidad". maths.ac-noumea.nc . Consultado el 30 de septiembre de 2020 .

• Peter R. Cromwell, Polyhedra , Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-55432-2 , Transitividad, pág. 371 
• Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Mosaicos y patrones . Nueva York: WH Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.(6.4 Tejas isotoxales, págs. 309–321)
• Coxeter, Harold Scott MacDonald ; Longuet-Higgins, MS; Miller, JCP (1954), "Poliedros uniformes", Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences , 246 (916): 401–450, Bibcode :1954RSPTA.246..401C, doi :10.1098/rsta.1954.0003, ISSN  0080-4614, JSTOR  91532, MR  0062446, S2CID  202575183