Plesioedro

En geometría , un plesioedro es un tipo especial de poliedro que llena el espacio , definido como la celda de Voronoi de un conjunto simétrico de Delone . El espacio euclidiano tridimensional puede llenarse completamente con copias de cualquiera de estas formas, sin superposiciones. El panal resultante tendrá simetrías que llevarán cualquier copia del plesioedro a cualquier otra copia.

Los plesioedros incluyen formas tan conocidas como el cubo , el prisma hexagonal , el dodecaedro rómbico y el octaedro truncado . El número máximo de caras que puede tener un plesioedro es 38.

Definición

Un plesioedro de 17 lados y su panal , el diagrama de Voronoi del gráfico de Laves

Un conjunto de puntos en el espacio euclidiano es un conjunto de Delone si existe un número tal que cada dos puntos de están al menos a una distancia entre sí y tal que cada punto del espacio está a una distancia de al menos un punto en . Por lo tanto, llena el espacio, pero sus puntos nunca se acercan demasiado entre sí. Para que esto sea cierto, debe ser infinito. Además, el conjunto es simétrico (en el sentido necesario para definir un plesioedro) si, para cada dos puntos y de , existe un movimiento rígido del espacio que lleva a y a . Es decir, las simetrías de actúan transitivamente sobre . ^[1] ${\estilo de visualización S}$ $\varepsilon >0$ ${\estilo de visualización S}$ ${\estilo de visualización \varepsilon}$ $1/\varepsilon$ ${\estilo de visualización S}$ ${\estilo de visualización S}$ ${\estilo de visualización S}$ ${\estilo de visualización S}$ ${\estilo de visualización p}$ ${\estilo de visualización q}$ ${\estilo de visualización S}$ ${\estilo de visualización S}$ ${\estilo de visualización S}$ ${\estilo de visualización p}$ ${\estilo de visualización q}$ ${\estilo de visualización S}$ ${\estilo de visualización S}$

El diagrama de Voronoi de cualquier conjunto de puntos divide el espacio en regiones llamadas celdas de Voronoi que están más cerca de un punto dado de que de cualquier otro. Cuando es un conjunto de Delone, la celda de Voronoi de cada punto en es un poliedro convexo . Las caras de este poliedro se encuentran en los planos que bisecan perpendicularmente los segmentos de línea desde a otros puntos cercanos de . ^[2] ${\estilo de visualización S}$ ${\estilo de visualización S}$ ${\estilo de visualización S}$ ${\estilo de visualización p}$ ${\estilo de visualización S}$ ${\estilo de visualización p}$ ${\estilo de visualización S}$

Cuando es simétrico además de ser Delone, las celdas de Voronoi deben ser todas congruentes entre sí, ya que las simetrías de también deben ser simetrías del diagrama de Voronoi. En este caso, el diagrama de Voronoi forma un panal en el que solo hay una única forma de prototile , la forma de estas celdas de Voronoi. Esta forma se llama plesioedro. El teselado generado de esta manera es isoédrico , lo que significa que no solo tiene un único prototile ("monoédrico") sino que también cualquier copia de este teselado puede ser tomada por cualquier otra copia mediante una simetría del teselado. ^[1] ${\estilo de visualización S}$ ${\estilo de visualización S}$

Como ocurre con cualquier poliedro que llena el espacio, el invariante de Dehn de un plesioedro es necesariamente cero. ^[3]

Ejemplos

Los plesioedros incluyen los cinco paralelohedros . Estos son poliedros que pueden teselar el espacio de tal manera que cada teselación es simétrica con respecto a todas las demás teselaciones por una simetría traslacional, sin rotación. Equivalentemente, son las celdas de Voronoi de los retículos , ya que estos son los conjuntos de Delone traslacionalmente simétricos. Los plesioedros son un caso especial de los estereoedros , los prototipos de teselaciones isoédricas en general. ^[1] Por esta razón (y porque los diagramas de Voronoi también se conocen como teselaciones de Dirichlet) también se los ha llamado "estereoedros de Dirichlet" ^[4]

Hay un número finito de tipos combinatorios de plesioedros. Entre los plesioedros individuales más notables se incluyen:

Los cinco paraleloedros: el cubo (o más generalmente el paralelepípedo ), el prisma hexagonal , el dodecaedro rómbico , el dodecaedro alargado y el octaedro truncado . ^[5]
El prisma triangular , el prototipo del panal prismático triangular . ^[6] De manera más general, cada uno de los 11 tipos de teselación de Laves del plano mediante polígonos convexos congruentes (y cada uno de los subtipos de estas teselaciónes con diferentes grupos de simetría) se pueden realizar como las celdas de Voronoi de un conjunto Delone simétrico en el plano. ^[7] De ello se deduce que los prismas sobre cada una de estas formas son plesioedros. Además de los prismas triangulares, estos incluyen prismas sobre ciertos cuadriláteros, pentágonos y hexágonos.
El girobifastigio es un estereoedro pero no un plesioedro, porque los puntos en los centros de las celdas de su mosaico cara a cara (donde están obligados a ir por simetría) tienen celdas de Voronoi de forma diferente. Sin embargo, una versión aplanada del girobifastigio, con caras formadas por triángulos rectángulos isósceles y rectángulos plateados , es un plesioedro.
El tetraedro truncado triakis , el prototipo del panal tetraédrico truncado triakis y el plesioedro generado por la red de diamantes ^[1]
El dodecaedro trapezoidal-rómbico , el prototipo del panal dodecaédrico trapezoidal-rómbico y el plesioedro generado por el empaquetamiento compacto hexagonal
Las celdas de Voronoi de 17 lados del grafo de Laves ^[8]

Se conocen muchos otros plesioedros. El cristalógrafo Peter Engel descubrió dos de ellos con el mayor número conocido de caras, 38. ^[1]^[9] Durante muchos años, el número máximo de caras de un plesioedro fue un problema abierto , ^[10]^[4] pero el análisis de las posibles simetrías del espacio tridimensional ha demostrado que este número es como máximo 38. ^[11]

Las celdas de Voronoi de puntos espaciados uniformemente en un espacio de relleno de hélice son todas congruentes entre sí y se puede hacer que tengan un número arbitrario de caras. ^[12] Sin embargo, los puntos en una hélice no son un conjunto Delone y sus celdas de Voronoi no son poliedros acotados.

Schmitt ofrece un estudio moderno. ^[11]

Referencias

^ abcde Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1980), "Teselas con teselas congruentes", Boletín de la American Mathematical Society , Nueva serie, 3 (3): 951–973, doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14827-2 , MR 0585178.
^ Aurenhammer, Franz (septiembre de 1991), "Diagramas de Voronoi: un estudio de una estructura de datos geométrica fundamental", ACM Computing Surveys , 23 (3): 345–405, doi :10.1145/116873.116880Véase especialmente la sección 1.2.1, "Sitios regularmente ubicados", págs. 354-355.
^ Lagarias, JC ; Moews, D. (1995), "Polítopos que rellenan y cortan congruencia", Geometría discreta y computacional , 13 (3–4): 573–583, doi : 10.1007/BF02574064 , MR 1318797 $\mathbb {R} ^{n}$ .
^ ab Sabariego, Pilar; Santos, Francisco (2011), "Sobre el número de facetas de los estereoedros IV tridimensionales de Dirichlet: grupos de cuartos cúbicos", Beiträge zur Algebra und Geometrie , 52 (2): 237–263, arXiv : 0708.2114 , doi :10.1007/s13366 -011-0010-5, SEÑOR 2842627.
^ Erdahl, RM (1999), "Zonotopos, cortes y la conjetura de Voronoi sobre los paralelohedros", European Journal of Combinatorics , 20 (6): 527–549, doi : 10.1006/eujc.1999.0294 , MR 1703597Voronoi conjeturó que todas las teselaciónes de espacios de dimensiones superiores mediante traslaciones de un único politopo convexo son combinatoriamente equivalentes a las teselaciónes de Voronoi, y Erdahl prueba esto en el caso especial de los zonotopos . Pero como escribe (p. 429), la conjetura de Voronoi para dimensiones de como máximo cuatro ya fue probada por Delaunay. Para la clasificación de los paraleloedros tridimensionales en estos cinco tipos, véase Grünbaum y Shephard (1980).
^ Pugh, Anthony (1976), "Poliedros compactados", Poliedros: un enfoque visual , University of California Press, Berkeley, California-Londres, págs. 48-50, MR 0451161.
^ Delone, BN ; Dolbilin, NP; Štogrin, MI (1978), "Teoría métrica y combinatoria de los planigones", Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni VA Steklova , 148 : 109–140, 275, MR 0558946.
^ Schoen, Alan H. (junio-julio de 2008), "Sobre el gráfico (10,3)-a" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 55 (6): 663.
^ Engel, Peter (1981), "Über Wirkungsbereichsteilungen von kubischer Symmetrie", Zeitschrift für Kristallographie, Kristallgeometrie, Kristallphysik, Kristallchemie , 154 (3–4): 199–215, Bibcode :1981ZK....154..199E, doi :10.1524/zkri.1981.154.3-4.199, señor 0598811.
^ Shephard, GC (1985), "69.14 Relleno del espacio con sólidos simétricos idénticos", The Mathematical Gazette , 69 (448): 117–120, doi :10.2307/3616930, JSTOR 3616930.
^ ab Schmitt, Moritz (2016), Sobre grupos espaciales y estereoedros de Dirichlet-Voronoi.
^ Erickson, Jeff; Kim, Scott (2003), "Familias vecinas arbitrariamente grandes de 3-politopos convexos simétricos congruentes", Geometría discreta , Monogr. Textbooks Pure Appl. Math., vol. 253, Dekker, Nueva York, págs. 267–278, arXiv : math/0106095 , Bibcode :2001math......6095E, MR 2034721.

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. , "Poliedro que llena el espacio", MathWorld