En geometría , un plano de rotación es un objeto abstracto utilizado para describir o visualizar rotaciones en el espacio.
El uso principal de los planos de rotación es describir rotaciones más complejas en el espacio de cuatro dimensiones y dimensiones superiores , donde se pueden utilizar para descomponer las rotaciones en partes más simples. Esto se puede hacer utilizando álgebra geométrica , con los planos de rotación asociados con bivectores simples en el álgebra. [1]
Los planos de rotación no se utilizan mucho en dos y tres dimensiones , ya que en dos dimensiones solo hay un plano (por lo tanto, identificar el plano de rotación es trivial y rara vez se hace), mientras que en tres dimensiones el eje de rotación cumple el mismo propósito y es el enfoque más establecido.
Matemáticamente, estos planos se pueden describir de varias maneras. Se pueden describir en términos de planos y ángulos de rotación . Se pueden asociar con bivectores del álgebra geométrica . Se relacionan con los autovalores y vectores propios de una matriz de rotación . Y, en dimensiones particulares , se relacionan con otras propiedades algebraicas y geométricas, que luego se pueden generalizar a otras dimensiones.
Para este artículo, todos los planos son planos que pasan por el origen , es decir, contienen el vector cero . Un plano de este tipo en un espacio n -dimensional es un subespacio lineal bidimensional del espacio. Está completamente especificado por dos vectores cualesquiera no cero y no paralelos que se encuentren en el plano, es decir, por dos vectores cualesquiera a y b , tales que
donde ∧ es el producto exterior del álgebra exterior o álgebra geométrica (en tres dimensiones se puede utilizar el producto vectorial ). Más precisamente, la cantidad a ∧ b es el bivector asociado con el plano especificado por a y b , y tiene magnitud | a | | b | sen φ , donde φ es el ángulo entre los vectores; de ahí el requisito de que los vectores sean distintos de cero y no paralelos. [2]
Si el bivector a ∧ b se escribe B , entonces la condición de que un punto se encuentre en el plano asociado con B es simplemente [3]
Esto es cierto en todas las dimensiones y puede tomarse como la definición en el plano. En particular, a partir de las propiedades del producto exterior, se cumple tanto con a como con b , y por lo tanto con cualquier vector de la forma
con números reales λ y μ . Como λ y μ abarcan todos los números reales, c abarca todo el plano, por lo que esto puede tomarse como otra definición del plano.
Un plano de rotación para una rotación particular es un plano que se proyecta sobre sí mismo mediante la rotación. El plano no es fijo, sino que todos los vectores en el plano se proyectan sobre otros vectores en el mismo plano mediante la rotación. Esta transformación del plano sobre sí mismo es siempre una rotación alrededor del origen, a través de un ángulo que es el ángulo de rotación para el plano.
Toda rotación, excepto la rotación identidad (con matriz la matriz identidad ) tiene al menos un plano de rotación y hasta
planos de rotación, donde n es la dimensión. El número máximo de planos hasta ocho dimensiones se muestra en esta tabla:
Cuando una rotación tiene múltiples planos de rotación, siempre son ortogonales entre sí, con solo el origen en común. Esta es una condición más fuerte que decir que los planos están en ángulos rectos ; en cambio, significa que los planos no tienen vectores distintos de cero en común, y que cada vector en un plano es ortogonal a cada vector en el otro plano. Esto solo puede suceder en cuatro o más dimensiones. En dos dimensiones solo hay un plano, mientras que en tres dimensiones todos los planos tienen al menos un vector distinto de cero en común, a lo largo de su línea de intersección . [4]
En más de tres dimensiones los planos de rotación no siempre son únicos. Por ejemplo, el negativo de la matriz identidad en cuatro dimensiones (la inversión central ),
describe una rotación en cuatro dimensiones en la que cada plano que pasa por el origen es un plano de rotación a través de un ángulo π , por lo que cualquier par de planos ortogonales genera la rotación. Pero para una rotación general es al menos teóricamente posible identificar un conjunto único de planos ortogonales, en cada uno de los cuales los puntos rotan a través de un ángulo, por lo que el conjunto de planos y ángulos caracteriza completamente la rotación. [5]
En el espacio bidimensional sólo hay un plano de rotación, el plano del propio espacio. En un sistema de coordenadas cartesianas es el plano cartesiano, en números complejos es el plano complejo . Cualquier rotación, por tanto, es del plano completo, es decir, del espacio, manteniendo fijo sólo el origen . Está especificada completamente por el ángulo de rotación con signo, en el rango, por ejemplo, de − π a π . Así que si el ángulo es θ la rotación en el plano complejo viene dada por la fórmula de Euler :
mientras que la rotación en un plano cartesiano está dada por la matriz de rotación 2 × 2 : [6]
En el espacio tridimensional hay un número infinito de planos de rotación, de los cuales sólo uno interviene en cualquier rotación dada. Es decir, para una rotación general hay precisamente un plano que está asociado con ella o en el que tiene lugar la rotación. La única excepción es la rotación trivial, correspondiente a la matriz identidad, en la que no tiene lugar ninguna rotación.
En cualquier rotación en tres dimensiones siempre hay un eje fijo, el eje de rotación. La rotación se puede describir dando este eje, con el ángulo a través del cual la rotación gira alrededor de él; esta es la representación del ángulo del eje de una rotación. El plano de rotación es el plano ortogonal a este eje, por lo que el eje es una superficie normal del plano. La rotación entonces hace girar este plano a través del mismo ángulo que gira alrededor del eje, es decir, todo en el plano gira en el mismo ángulo alrededor del origen.
En el diagrama se muestra un ejemplo, donde la rotación se produce alrededor del eje z . El plano de rotación es el plano xy , por lo que todo lo que se encuentra en ese plano se mantiene en el plano por la rotación. Esto se podría describir mediante una matriz como la siguiente, donde la rotación se produce a través de un ángulo θ (alrededor del eje o en el plano):
Otro ejemplo es la rotación de la Tierra . El eje de rotación es la línea que une el Polo Norte y el Polo Sur , y el plano de rotación es el plano que pasa por el ecuador entre los hemisferios Norte y Sur . Otros ejemplos incluyen dispositivos mecánicos como un giroscopio o un volante de inercia que almacenan energía rotacional en masa, generalmente a lo largo del plano de rotación.
En cualquier rotación tridimensional, el plano de rotación está definido de forma única. Junto con el ángulo de rotación, describe completamente la rotación. O bien, en un objeto que gira continuamente, las propiedades rotacionales, como la velocidad de rotación, pueden describirse en términos del plano de rotación. Es perpendicular a un eje de rotación y, por lo tanto, está definido por él y lo define, de modo que cualquier descripción de una rotación en términos de un plano de rotación puede describirse en términos de un eje de rotación, y viceversa. Pero, a diferencia del eje de rotación, el plano se generaliza a otras dimensiones, en particular a dimensiones superiores. [7]
Una rotación general en un espacio de cuatro dimensiones tiene un único punto fijo, el origen. Por lo tanto, no se puede utilizar un eje de rotación en cuatro dimensiones. Pero sí se pueden utilizar planos de rotación, y cada rotación no trivial en cuatro dimensiones tiene uno o dos planos de rotación.
Una rotación con un solo plano de rotación es una rotación simple . En una rotación simple hay un plano fijo y se puede decir que la rotación tiene lugar alrededor de este plano, por lo que los puntos a medida que giran no cambian su distancia con respecto a este plano. El plano de rotación es ortogonal a este plano y se puede decir que la rotación tiene lugar en este plano.
Por ejemplo, la siguiente matriz fija el plano xy : los puntos en ese plano y solo en ese plano no cambian. El plano de rotación es el plano zw , los puntos en este plano rotan a través de un ángulo θ . Un punto general rota solo en el plano zw , es decir, rota alrededor del plano xy cambiando solo sus coordenadas z y w .
En dos y tres dimensiones, todas las rotaciones son simples, en el sentido de que tienen un solo plano de rotación. Solo en cuatro dimensiones y más hay rotaciones que no son rotaciones simples. En particular, en cuatro dimensiones también hay rotaciones dobles e isoclínicas.
En una rotación doble hay dos planos de rotación, no hay planos fijos y el único punto fijo es el origen. Se puede decir que la rotación tiene lugar en ambos planos de rotación, ya que los puntos en ellos rotan dentro de los planos. Estos planos son ortogonales, es decir, no tienen vectores en común, por lo que cada vector en un plano forma ángulos rectos con cada vector en el otro plano. Los dos planos de rotación abarcan un espacio de cuatro dimensiones, por lo que cada punto en el espacio puede especificarse mediante dos puntos, uno en cada uno de los planos.
Una rotación doble tiene dos ángulos de rotación, uno para cada plano de rotación. La rotación se especifica dando los dos planos y dos ángulos distintos de cero, α y β (si cualquiera de los ángulos es cero, la rotación es simple). Los puntos en el primer plano rotan a través de α , mientras que los puntos en el segundo plano rotan a través de β . Todos los demás puntos rotan a través de un ángulo entre α y β , por lo que en cierto sentido juntos determinan la cantidad de rotación. Para una rotación doble general, los planos de rotación y los ángulos son únicos, y dada una rotación general se pueden calcular. Por ejemplo, una rotación de α en el plano xy y β en el plano zw se da por la matriz
Un caso especial de la doble rotación es cuando los ángulos son iguales, es decir, si α = β ≠ 0 . Esto se llama rotación isoclínica y difiere de una rotación doble general en varias formas. Por ejemplo, en una rotación isoclínica, todos los puntos distintos de cero giran a través del mismo ángulo, α . Lo más importante es que los planos de rotación no están identificados de forma única. En cambio, hay un número infinito de pares de planos ortogonales que pueden tratarse como planos de rotación. Por ejemplo, se puede tomar cualquier punto y el plano en el que gira junto con el plano ortogonal a él pueden usarse como dos planos de rotación. [8]
Como ya se señaló, el número máximo de planos de rotación en n dimensiones es
Por lo tanto, la complejidad aumenta rápidamente con más de cuatro dimensiones y categorizar las rotaciones como se indicó anteriormente se vuelve demasiado complejo para ser práctico, pero se pueden hacer algunas observaciones.
Las rotaciones simples se pueden identificar en todas las dimensiones como rotaciones con un solo plano de rotación. Una rotación simple en n dimensiones tiene lugar alrededor de (es decir, a una distancia fija de) un subespacio ( n − 2) -dimensional ortogonal al plano de rotación.
Una rotación general no es simple y tiene el número máximo de planos de rotación indicados anteriormente. En el caso general, los ángulos de rotación en estos planos son distintos y los planos están definidos de manera única. Si alguno de los ángulos es el mismo, entonces los planos no son únicos, como en cuatro dimensiones con una rotación isoclínica.
En dimensiones pares ( n = 2, 4, 6... ) hay hasta norte/2Los planos de rotación abarcan el espacio, por lo que una rotación general hace girar todos los puntos excepto el origen, que es el único punto fijo. En dimensiones impares ( n = 3, 5, 7, ... ) hayn - 1/2 planos y ángulos de rotación, los mismos que los de dimensión par inferior. Estos no abarcan el espacio, sino que dejan una línea que no gira, como el eje de rotación en tres dimensiones, excepto que las rotaciones no tienen lugar alrededor de esta línea sino en múltiples planos ortogonales a ella. [1]
Los ejemplos dados anteriormente fueron elegidos para ser ejemplos claros y simples de rotaciones, con planos generalmente paralelos a los ejes de coordenadas en tres y cuatro dimensiones. Pero este no es generalmente el caso: los planos no suelen ser paralelos a los ejes, y las matrices no pueden simplemente escribirse. En todas las dimensiones las rotaciones están completamente descritas por los planos de rotación y sus ángulos asociados, por lo que es útil poder determinarlos, o al menos encontrar formas de describirlos matemáticamente.
Toda rotación simple puede generarse mediante dos reflexiones . Las reflexiones pueden especificarse en n dimensiones dando un subespacio ( n − 1) -dimensional en el que reflejar, de modo que una reflexión bidimensional está en una línea, una reflexión tridimensional está en un plano, y así sucesivamente. Pero esto se vuelve cada vez más difícil de aplicar en dimensiones superiores, por lo que es mejor utilizar vectores en su lugar, como se indica a continuación.
Una reflexión en n dimensiones se especifica mediante un vector perpendicular al subespacio ( n − 1) -dimensional. Para generar rotaciones simples solo se necesitan reflexiones que fijen el origen, por lo que el vector no tiene posición, solo dirección. Tampoco importa hacia dónde esté orientado: se puede reemplazar por su negativo sin cambiar el resultado. De manera similar, se pueden usar vectores unitarios para simplificar los cálculos.
Por lo tanto, la reflexión en un espacio ( n − 1) -dimensional está dada por el vector unitario perpendicular a ella, m , por lo tanto:
donde el producto es el producto geométrico del álgebra geométrica .
Si x′ se refleja en otro espacio distinto, de dimensión ( n − 1) , descrito por un vector unitario n perpendicular a él, el resultado es
Se trata de una rotación simple en n dimensiones, a través del doble del ángulo entre los subespacios, que es también el ángulo entre los vectores m y n . Se puede comprobar mediante álgebra geométrica que se trata de una rotación y que gira todos los vectores como se esperaba.
La cantidad mn es un rotor , y nm es su inversa como
Así que la rotación se puede escribir
donde R = mn es el rotor.
El plano de rotación es el plano que contiene m y n , que deben ser distintos, de lo contrario las reflexiones son las mismas y no se produce rotación. Como cada vector puede reemplazarse por su negativo, el ángulo entre ellos siempre puede ser agudo o, como máximo, agudo .π/2 . La rotación se realiza a través del doble del ángulo entre los vectores, hasta π o media vuelta. El sentido de la rotación es rotar de m hacia n : el producto geométrico no es conmutativo por lo que el producto nm es la rotación inversa, con sentido de n a m .
Por el contrario, todas las rotaciones simples pueden generarse de esta manera, con dos reflexiones, mediante dos vectores unitarios en el plano de rotación separados por la mitad del ángulo de rotación deseado. Estos pueden componerse para producir rotaciones más generales, utilizando hasta n reflexiones si la dimensión n es par, n − 2 si n es impar, eligiendo pares de reflexiones dadas por dos vectores en cada plano de rotación. [9] [10]
Los bivectores son magnitudes del álgebra geométrica , el álgebra de Clifford y el álgebra exterior , que generalizan la idea de los vectores en dos dimensiones. Así como los vectores son a las líneas, los bivectores son a los planos. Por lo tanto, cada plano (en cualquier dimensión) se puede asociar con un bivector, y cada bivector simple se asocia con un plano. Esto los convierte en una buena opción para describir planos de rotación.
Cada plano de rotación en una rotación tiene un bivector simple asociado a él. Este es paralelo al plano y tiene una magnitud igual al ángulo de rotación en el plano. Estos bivectores se suman para producir un único bivector, generalmente no simple, para toda la rotación. Esto puede generar un rotor a través del mapa exponencial , que se puede utilizar para rotar un objeto.
Los bivectores se relacionan con los rotores a través de la función exponencial (que aplicada a los bivectores genera rotores y rotaciones utilizando la fórmula de De Moivre ). En particular, dado cualquier bivector B, el rotor asociado con él es
Se trata de una rotación simple si el bivector es simple, una rotación más general en caso contrario. Cuando se eleva al cuadrado,
Esto da como resultado un rotor que gira el doble del ángulo. Si B es simple, entonces esta es la misma rotación que se genera por dos reflexiones, ya que el producto mn da una rotación que abarca el doble del ángulo entre los vectores. Estos pueden ser equiparados,
de lo cual se sigue que el bivector asociado al plano de rotación que contiene m y n que gira m a n es
Este es un bivector simple, asociado con la rotación simple descrita. Las rotaciones más generales en cuatro o más dimensiones están asociadas con sumas de bivectores simples, uno para cada plano de rotación, calculados como se indicó anteriormente.
Los ejemplos incluyen las dos rotaciones en cuatro dimensiones dadas anteriormente. La rotación simple en el plano zw por un ángulo θ tiene bivector e 34 θ , un bivector simple. La rotación doble por α y β en el plano xy y los planos zw tiene bivector e 12 α + e 34 β , la suma de dos bivectores simples e 12 α y e 34 β que son paralelos a los dos planos de rotación y tienen magnitudes iguales a los ángulos de rotación.
Dado un rotor, el bivector asociado a él se puede recuperar tomando el logaritmo del rotor, que luego se puede dividir en bivectores simples para determinar los planos de rotación, aunque en la práctica, excepto en los casos más simples, esto puede resultar poco práctico. Pero dados los bivectores simples, el álgebra geométrica es una herramienta útil para estudiar los planos de rotación utilizando álgebra como la anterior. [1] [11]
Los planos de rotación para una rotación particular utilizando los valores propios . Dada una matriz de rotación general en n dimensiones, su ecuación característica tiene una raíz real (en dimensiones impares) o cero (en dimensiones pares). Las otras raíces están en pares conjugados complejos, exactamente
Tales pares corresponden a los planos de rotación, los planos propios de la matriz, que pueden calcularse utilizando técnicas algebraicas. Además, los argumentos de las raíces complejas son las magnitudes de los bivectores asociados a los planos de rotación. La forma de la ecuación característica está relacionada con los planos, lo que permite relacionar sus propiedades algebraicas, como raíces repetidas, con los bivectores, donde las magnitudes repetidas de los bivectores tienen interpretaciones geométricas particulares. [1] [12]
