Pentágono

Forma con cinco lados

En geometría , un pentágono (del griego πέντε (pente)  'cinco' y γωνία (gonia)  'ángulo' ^{[1] ) es cualquier} polígono o 5-gono de cinco lados . La suma de los ángulos internos de un pentágono simple es 540°.

Un pentágono puede ser simple o autointersecante . Un pentágono regular autointersecante (o pentágono estrellado ) se llama pentagrama .

Pentágonos regulares

Lado ( ), radio circunscrito ( ), radio del círculo inscrito ( ), altura ( ) , ancho/diagonal ( ) ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R+r}$ ${\displaystyle \varphi t}$

Un pentágono regular tiene el símbolo de Schläfli {5} y ángulos interiores de 108°.

Un pentágono regular tiene cinco ejes de simetría reflexiva y simetría rotacional de orden 5 (a través de 72°, 144°, 216° y 288°). Las diagonales de un pentágono regular convexo están en proporción áurea con respecto a sus lados. Dada la longitud de sus lados, su altura (distancia de un lado al vértice opuesto), su ancho (distancia entre dos puntos más alejados, que es igual a la longitud de la diagonal ) y su radio circunscrito están dados por: ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}~t\approx 1.539~t,\\W=D&={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}~t\approx 1.618~t,\\W&={\sqrt {2-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\cdot H\approx 1.051~H,\\R&={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}t\approx 0.8507~t,\\D&=R\ {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\cos 18^{\circ }=2R\cos {\frac {\pi }{10}}\approx 1.902~R.\end{aligned}}}$

El área de un pentágono regular convexo con longitud de lado está dada por ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {t^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}={\frac {5t^{2}\tan 54^{\circ }}{4}}\\&={\frac {{\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}\;t^{2}}{4}}={\frac {t^{2}{\sqrt {4\varphi ^{5}+3}}}{4}}\approx 1.720~t^{2}\end{aligned}}}$

Si se da el radio circunscrito de un pentágono regular, la longitud de su arista se obtiene mediante la expresión ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle t=R\ {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\sin 36^{\circ }=2R\sin {\frac {\pi }{5}}\approx 1.176~R,}$

y su área es

${\displaystyle A={\frac {5R^{2}}{4}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}};}$

Dado que el área del círculo circunscrito es el pentágono regular llena aproximadamente 0,7568 de su círculo circunscrito. ${\displaystyle \pi R^{2},}$

Derivación de la fórmula del área

El área de cualquier polígono regular es:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}Pr}$

donde P es el perímetro del polígono y r es el radio interno (equivalentemente la apotema ). Sustituyendo los valores de P y r del pentágono regular se obtiene la fórmula

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\cdot 5t\cdot {\frac {t\tan {\mathord {\left({\frac {3\pi }{10}}\right)}}}{2}}={\frac {5t^{2}\tan {\mathord {\left({\frac {3\pi }{10}}\right)}}}{4}}}$

con longitud lateral t .

Inradio

Al igual que todo polígono regular convexo, el pentágono regular convexo tiene un círculo inscrito . La apotema , que es el radio r del círculo inscrito, de un pentágono regular está relacionada con la longitud del lado t por

${\displaystyle r={\frac {t}{2\tan {\mathord {\left({\frac {\pi }{5}}\right)}}}}={\frac {t}{2{\sqrt {5-{\sqrt {20}}}}}}\approx 0.6882\cdot t.}$

Cuerdas desde el círculo circunscrito hasta los vértices

Como todo polígono regular convexo, el pentágono regular convexo tiene un círculo circunscrito . Para un pentágono regular con vértices sucesivos A, B, C, D, E, si P es cualquier punto del círculo circunscrito entre los puntos B y C, entonces PA + PD = PB + PC + PE.

Punto en el plano

Para un punto arbitrario en el plano de un pentágono regular con radio circunscrito , cuyas distancias al centroide del pentágono regular y sus cinco vértices son y respectivamente, tenemos ^[2] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{2}&=5\left(R^{2}+L^{2}\right),\\\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{4}&=5\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+2R^{2}L^{2}\right),\\\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{6}&=5\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{3}+6R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)\right),\\\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{8}&=5\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{4}+12R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+6R^{4}L^{4}\right).\end{aligned}}}$

Si son las distancias desde los vértices de un pentágono regular a cualquier punto de su circunferencia circunscrita, entonces ^[2] ${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle 3\left(\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{2}\right)^{2}=10\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{4}.}$

Construcciones geométricas

El pentágono regular se puede construir con compás y regla , ya que 5 es un primo de Fermat . Se conocen diversos métodos para construir un pentágono regular. Algunos de ellos se analizan a continuación.

El método de Richmond

^{Richmond [3]} describe un método para construir un pentágono regular en un círculo dado y lo analiza con más detalle en Poliedros de Cromwell . ^[4]

El panel superior muestra la construcción utilizada en el método de Richmond para crear el lado del pentágono inscrito. El círculo que define el pentágono tiene un radio unitario. Su centro está ubicado en el punto C y un punto medio M está marcado a la mitad de su radio. Este punto está unido a la periferia verticalmente por encima del centro en el punto D. El ángulo CMD está bisectriz y la bisectriz interseca el eje vertical en el punto Q. Una línea horizontal que pasa por Q interseca el círculo en el punto P y la cuerda PD es el lado requerido del pentágono inscrito.

Para determinar la longitud de este lado, se representan los dos triángulos rectángulos DCM y QCM debajo del círculo. Utilizando el teorema de Pitágoras y dos lados, la hipotenusa del triángulo más grande se encuentra como . El lado h del triángulo más pequeño se encuentra utilizando la fórmula del medio ángulo : ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {5}}/2}$

${\displaystyle \tan(\phi /2)={\frac {1-\cos(\phi )}{\sin(\phi )}}\ ,}$

donde se conocen el coseno y el seno de ϕ del triángulo mayor. El resultado es:

${\displaystyle h={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\ .}$

Si DP es verdaderamente el lado de un pentágono regular , entonces DP = 2 cos(54°), QD = DP cos(54°) = 2cos ² (54°), y CQ = 1 − 2cos ² (54°), que es igual a −cos(108°) por la fórmula del ángulo doble del coseno . Este es el coseno de 72°, que es igual a lo deseado. ${\displaystyle m\angle \mathrm {CDP} =54^{\circ }}$ ${\displaystyle \left({\sqrt {5}}-1\right)/4}$

Círculos de Carlyle

Método que utiliza círculos de Carlyle

El círculo de Carlyle fue inventado como un método geométrico para hallar las raíces de una ecuación cuadrática . ^[5] Esta metodología conduce a un procedimiento para construir un pentágono regular. Los pasos son los siguientes: ^[6]

1. Dibuja un círculo en el que inscribir el pentágono y marca el punto central O.
2. Dibuje una línea horizontal a través del centro del círculo. Marque la intersección izquierda con el círculo como el punto B.
3. Construye una línea vertical a través del centro. Marca una intersección con el círculo como punto A.
4. Construya el punto M como el punto medio de O y B.
5. Dibuje un círculo centrado en M a través del punto A. Marque su intersección con la línea horizontal (dentro del círculo original) como el punto W y su intersección fuera del círculo como el punto V.
6. Dibuje un círculo de radio OA y centro W. Interseca el círculo original en dos de los vértices del pentágono.
7. Dibuje un círculo de radio OA y centro V. Interseca el círculo original en dos de los vértices del pentágono.
8. El quinto vértice es la intersección más a la derecha de la línea horizontal con el círculo original.

Los pasos 6 a 8 son equivalentes a la siguiente versión, que se muestra en la animación:

6a. Construya el punto F como el punto medio de O y W.

7a. Construye una línea vertical a través de F. Intersecta el círculo original en dos de los vértices del pentágono. El tercer vértice es la intersección más a la derecha de la línea horizontal con el círculo original.

8a. Construye los otros dos vértices usando el compás y la longitud del vértice encontrado en el paso 7a.

El método de Euclides

Método de Euclides para el pentágono en un círculo dado, utilizando el triángulo áureo , animación 1 min 39 s

Un pentágono regular se puede construir con un compás y una regla , ya sea inscribiéndolo en un círculo dado o construyéndolo sobre una arista dada. Este proceso fue descrito por Euclides en sus Elementos alrededor del año 300 a. C. ^{[7] [8]}

Métodos de construcción física

Nudo simple de una tira de papel

• Se puede crear un pentágono regular a partir de una simple tira de papel, haciendo un nudo simple en la tira y aplanando cuidadosamente el nudo tirando de los extremos de la tira de papel. Al doblar uno de los extremos hacia atrás sobre el pentágono, se revelará un pentagrama cuando se lo ilumine desde atrás. ^[9]
• Construye un hexágono regular sobre papel rígido o cartulina. Haz un pliegue a lo largo de los tres diámetros entre los vértices opuestos. Corta desde un vértice hasta el centro para formar una solapa triangular equilátera. Fija esta solapa debajo de su vecina para formar una pirámide pentagonal . La base de la pirámide es un pentágono regular.

Simetría

Simetrías de un pentágono regular. Los vértices están coloreados según sus posiciones de simetría. Se dibujan líneas de espejo azules a través de los vértices y las aristas. Las órdenes de giro se dan en el centro.

El pentágono regular tiene simetría Dih ₅ , orden 10. Como 5 es un número primo, existe un subgrupo con simetría diedral: Dih ₁ , y 2 simetrías de grupo cíclicas : Z ₅ , y Z ₁ .

Estas 4 simetrías se pueden ver en 4 simetrías distintas en el pentágono. John Conway las etiqueta con una letra y un orden de grupo. ^[10] La simetría completa de la forma regular es r10 y ninguna simetría se etiqueta como a1 . Las simetrías diedras se dividen dependiendo de si pasan por vértices ( d para diagonales) o aristas ( p para perpendiculares), e i cuando las líneas de reflexión pasan por aristas y vértices. Las simetrías cíclicas en la columna del medio se etiquetan como g para sus órdenes de giro centrales.

Cada subgrupo de simetría permite uno o más grados de libertad para las formas irregulares. Solo el subgrupo g5 no tiene grados de libertad, pero puede verse como aristas dirigidas .

Pentagrama regular

Un pentagrama o pentágono es un pentágono regular con forma de estrella . Su símbolo de Schläfli es {5/2}. Sus lados forman las diagonales de un pentágono regular convexo; en esta disposición, los lados de los dos pentágonos están en proporción áurea .

Pentágonos equiláteros

Pentágono equilátero construido con cuatro círculos iguales dispuestos en cadena.

Un pentágono equilátero es un polígono con cinco lados de igual longitud. Sin embargo, sus cinco ángulos internos pueden tomar un rango de valores, lo que le permite formar una familia de pentágonos. En cambio, el pentágono regular es único hasta el punto de la semejanza, porque es equilátero y es equiangular (sus cinco ángulos son iguales).

Pentágonos cíclicos

Un pentágono cíclico es aquel en el que un círculo llamado circuncírculo pasa por sus cinco vértices. El pentágono regular es un ejemplo de pentágono cíclico. El área de un pentágono cíclico, regular o no, se puede expresar como la cuarta parte de la raíz cuadrada de una de las raíces de una ecuación séptica cuyos coeficientes son funciones de los lados del pentágono. ^{[11] [12] [13]}

Existen pentágonos cíclicos con lados racionales y área racional; estos se llaman pentágonos de Robbins . Se ha demostrado que las diagonales de un pentágono de Robbins deben ser todas racionales o todas irracionales, y se conjetura que todas las diagonales deben ser racionales. ^[14]

Pentágonos convexos generales

Para todos los pentágonos convexos con lados y diagonales , se cumple la siguiente desigualdad: ^{[15] : p.75, #1854} ${\displaystyle a,b,c,d,e}$ ${\displaystyle d_{1},d_{2},d_{3},d_{4},d_{5}}$

${\displaystyle 3(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2})>d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}+d_{5}^{2}}$.

Pentágonos en mosaico

La estructura de empaquetamiento más conocida de pentágonos regulares de igual tamaño en un plano es una estructura de red doble que cubre el 92,131% del plano.

Un pentágono regular no puede aparecer en ningún mosaico de polígonos regulares. En primer lugar, para demostrar que un pentágono no puede formar un mosaico regular (uno en el que todas las caras son congruentes, lo que requiere que todos los polígonos sean pentágonos), observe que 360° / 108° = 3 1 ⁄ 3 (donde 108° es el ángulo interior), que no es un número entero; por lo tanto, no existe un número entero de pentágonos que compartan un único vértice y no dejen espacios entre ellos. Más difícil es demostrar que un pentágono no puede estar en ningún mosaico de borde con borde formado por polígonos regulares:

La máxima densidad de empaquetamiento conocida de un pentágono regular es , lograda por el empaquetamiento de doble red mostrado. En una preimpresión publicada en 2016, Thomas Hales y Wöden Kusner anunciaron una prueba de que este empaquetamiento de doble red del pentágono regular (conocido como el diseño de red chino de "rayos de hielo pentagonales", que data de alrededor de 1900) tiene la densidad óptima entre todos los empaquetamientos de pentágonos regulares en el plano. ^[16] ${\displaystyle (5-{\sqrt {5}})/3\approx 0.921}$

No existen combinaciones de polígonos regulares con 4 o más que se encuentren en un vértice que contengan un pentágono. Para combinaciones con 3, si 3 polígonos se encuentran en un vértice y uno tiene un número impar de lados, los otros 2 deben ser congruentes. La razón de esto es que los polígonos que tocan los bordes del pentágono deben alternarse alrededor del pentágono, lo que es imposible debido al número impar de lados del pentágono. Para el pentágono, esto da como resultado un polígono cuyos ángulos son todos (360 − 108) / 2 = 126° . Para encontrar el número de lados que tiene este polígono, el resultado es 360 / (180 − 126) = 6 2 ⁄ 3 , que no es un número entero. Por lo tanto, un pentágono no puede aparecer en ningún mosaico hecho por polígonos regulares.

Existen 15 clases de pentágonos que pueden teselar monoédricamente el plano . Ninguno de los pentágonos tiene simetría en general, aunque algunos tienen casos especiales con simetría especular.

Pentágonos en poliedros

Pentágonos en la naturaleza

Plantas

• 
  Sección transversal pentagonal de okra .
• 
  Las glorias de la mañana , como muchas otras flores, tienen forma pentagonal.
• 
  Tubo perigónico de la flor de Rafflesia .
• 
  El gineceo de una manzana contiene cinco carpelos, dispuestos en una estrella de cinco puntas.
• 
  La carambola es otra fruta con simetría quíntuple.

Animales

• 
  Una estrella de mar . Muchos equinodermos tienen simetría radial quíntuple.
• 
  Otro ejemplo de equinodermo, un endoesqueleto de erizo de mar .
• 
  Una ilustración de estrellas frágiles , también equinodermos con forma pentagonal.

Minerales

• 
  Cuasicristal icosaédrico de Ho-Mg-Zn formado como un dodecaedro pentagonal . Las caras son pentágonos regulares verdaderos.
• 
  Un cristal piritoédrico de pirita . Un piritoedro tiene 12 caras pentagonales idénticas que no están obligadas a ser regulares.
• 
  Un fiveling de oro, de medio centímetro de alto.

Otros ejemplos

• 
  El Pentágono , sede del Departamento de Defensa de los Estados Unidos .
• 
  Plato de home de un campo de béisbol

Véase también

• Asociaedro ; Un pentágono es un asociaedro de orden 4
• Dodecaedro , poliedro cuya forma regular está compuesta por 12 caras pentagonales.
• Proporción áurea
• Lista de figuras geométricas
• Números pentagonales
• Pentagrama
• Mapa del pentagrama
• Pentastar , el logotipo de Chrysler
• Teorema de Pitágoras
• Constantes trigonométricas para un pentágono

Notas y referencias en línea

1. "pentágono, adj. y n." OED Online. Oxford University Press, junio de 2014. Web. 17 de agosto de 2014.
2. Meskhishvili, Mamuka (2020). "Promedios cíclicos de polígonos regulares y sólidos platónicos". Comunicaciones en matemáticas y aplicaciones . 11 : 335–355.
3. Richmond, Herbert W. (1893). "Una construcción para un polígono regular de diecisiete lados". Revista trimestral de matemáticas puras y aplicadas . 26 : 206–207.
4. Peter R. Cromwell (22 de julio de 1999). Polyhedra . Cambridge University Press. pág. 63. ISBN 0-521-66405-5.
5. Eric W. Weisstein (2003). Enciclopedia concisa de matemáticas del CRC (2.ª ed.). CRC Press. pág. 329. ISBN 1-58488-347-2.
6. DeTemple, Duane W. (febrero de 1991). "Los círculos de Carlyle y la simplicidad de Lemoine en las construcciones de polígonos" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 98 (2): 97–108. doi :10.2307/2323939. JSTOR  2323939. Archivado desde el original (PDF) el 21 de diciembre de 2015.
7. George Edward Martin (1998). Construcciones geométricas. Springer. pág. 6. ISBN 0-387-98276-0.
8. Fitzpatrick, Richard (2008). Elementos de geometría de Euclides, libro 4, proposición 11 (PDF) . Traducido por Richard Fitzpatrick. Lulu.com. p. 119. ISBN. 978-0-615-17984-1.
9. Modelos matemáticos de H. Martyn Cundy y AP Rollett, segunda edición, 1961 (Oxford University Press), pág. 57.
10. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, Símbolos generalizados de Schaefli, Tipos de simetría de un polígono, págs. 275-278) 
11. Weisstein, Eric W. "Pentágono cíclico". De MathWorld, un recurso web de Wolfram. [1]
12. Robbins, DP (1994). "Áreas de polígonos inscritos en un círculo". Geometría discreta y computacional . 12 (2): 223–236. doi : 10.1007/bf02574377 .
13. Robbins, DP (1995). "Áreas de polígonos inscritos en un círculo". The American Mathematical Monthly . 102 (6): 523–530. doi :10.2307/2974766. JSTOR  2974766.
14. * Buchholz, Ralph H.; MacDougall, James A. (2008), "Polígonos cíclicos con lados y área racionales", Journal of Number Theory , 128 (1): 17–48, doi : 10.1016/j.jnt.2007.05.005 , MR  2382768.
15. Desigualdades propuestas en “ Crux Mathematicorum ” , [2].
16. Hales, Thomas ; Kusner, Wöden (septiembre de 2016), Empaquetamientos de pentágonos regulares en el plano , arXiv : 1602.07220

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "El Pentágono". MathWorld .
• Demostración animada de cómo construir un pentágono inscrito con compás y regla.
• Cómo construir un pentágono regular con sólo un compás y una regla.
• Cómo doblar un pentágono regular usando solo una tira de papel
• Definición y propiedades del pentágono, con animación interactiva
• Construcciones aproximadas de pentágonos regulares realizadas por artistas del Renacimiento
• Pentágono. Cómo calcular las distintas dimensiones de pentágonos regulares.