En matemáticas , y más específicamente en geometría , la parametrización (o parametrización ; también parametrización , parametrización ) es el proceso de hallar ecuaciones paramétricas de una curva , una superficie o, más generalmente, una variedad o variedad , definidas por una ecuación implícita . El proceso inverso se denomina implícitación . [1] "Parametrizar" por sí mismo significa "expresar en términos de parámetros ". [2]
La parametrización es un proceso matemático que consiste en expresar el estado de un sistema , proceso o modelo en función de unas magnitudes independientes llamadas parámetros . El estado del sistema está determinado generalmente por un conjunto finito de coordenadas , y la parametrización consiste, por tanto, en una función de varias variables reales para cada coordenada. El número de parámetros es el número de grados de libertad del sistema.
Por ejemplo, la posición de un punto que se mueve sobre una curva en el espacio tridimensional está determinada por el tiempo que tarda en alcanzar el punto partiendo de un origen fijo. Si x , y , z son las coordenadas del punto, el movimiento se describe entonces mediante una ecuación paramétrica [1]
donde t es el parámetro y denota el tiempo. Una ecuación paramétrica de este tipo determina completamente la curva, sin necesidad de ninguna interpretación de t como tiempo, y por lo tanto se denomina ecuación paramétrica de la curva (a veces se abrevia diciendo que se tiene una curva paramétrica ). De manera similar, se obtiene la ecuación paramétrica de una superficie considerando funciones de dos parámetros t y u .
Las parametrizaciones no son generalmente únicas . El objeto tridimensional ordinario puede parametrizarse (o "coordinarse") con igual eficiencia con coordenadas cartesianas ( x , y , z ), coordenadas polares cilíndricas ( ρ , φ , z ), coordenadas esféricas ( r , φ, θ) u otros sistemas de coordenadas .
De manera similar, el espacio de color de la visión tricromática humana se puede parametrizar en términos de los tres colores rojo, verde y azul, RGB , o con cian, magenta, amarillo y negro, CMYK .
En general, el número mínimo de parámetros necesarios para describir un modelo u objeto geométrico es igual a su dimensión , y el alcance de los parámetros (dentro de sus rangos permitidos) es el espacio de parámetros . Aunque un buen conjunto de parámetros permite la identificación de cada punto en el espacio de objetos, puede ser que, para una parametrización dada, diferentes valores de parámetros puedan referirse al mismo punto. Tales aplicaciones son sobreyectivas pero no inyectivas . Un ejemplo es el par de coordenadas polares cilíndricas (ρ, φ, z ) y (ρ, φ + 2π, z ).
Como se ha indicado anteriormente, la elección de los parámetros de un determinado modelo, objeto geométrico, etc. es arbitraria. A menudo, se desea determinar propiedades intrínsecas de un objeto que no dependen de esta arbitrariedad, y que, por lo tanto, son independientes de cualquier elección particular de parámetros. Este es particularmente el caso en física, donde la invariancia de parametrización (o "invariancia de reparametrización") es un principio rector en la búsqueda de teorías físicamente aceptables (particularmente en la relatividad general ).
Por ejemplo, mientras que la ubicación de un punto fijo en una línea curva puede darse mediante un conjunto de números cuyos valores dependen de cómo se parametriza la curva, la longitud (definida apropiadamente) de la curva entre dos de esos puntos fijos será independiente de la elección particular de parametrización (en este caso: el método por el cual se indexa de manera única un punto arbitrario en la línea). La longitud de la curva es, por lo tanto, una cantidad invariante a la parametrización. En tales casos, la parametrización es una herramienta matemática empleada para extraer un resultado cuyo valor no depende de los detalles de la parametrización ni hace referencia a ellos. De manera más general, la invariancia de la parametrización de una teoría física implica que la dimensionalidad o el volumen del espacio de parámetros es mayor de lo necesario para describir la física (las cantidades de significación física) en cuestión.
Aunque la teoría de la relatividad general puede expresarse sin referencia a un sistema de coordenadas, los cálculos de magnitudes físicas (es decir, observables) como la curvatura del espacio-tiempo implican invariablemente la introducción de un sistema de coordenadas particular para hacer referencia a los puntos del espacio-tiempo implicados en el cálculo. En el contexto de la relatividad general, la elección del sistema de coordenadas puede considerarse como un método de "parametrización" del espacio-tiempo, y la insensibilidad del resultado de un cálculo de una magnitud físicamente significativa a esa elección puede considerarse como un ejemplo de invariancia de parametrización.
Como otro ejemplo, las teorías físicas cuyas cantidades observables dependen únicamente de las distancias relativas (la relación de distancias) entre pares de objetos se dice que son invariantes de escala . En tales teorías, cualquier referencia en el curso de un cálculo a una distancia absoluta implicaría la introducción de un parámetro al cual la teoría es invariante.
