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Polígono

Algunos polígonos de diferentes tipos: abiertos (excluyendo su límite), solo su límite (excluyendo el interior), cerrados (incluyendo tanto el límite como el interior) y autointersecantes.

En geometría , un polígono ( / ˈpɒlɪɡɒn / ) es una figura plana formada por segmentos de línea conectados para formar una cadena poligonal cerrada .

Los segmentos de una cadena poligonal cerrada se denominan aristas o lados . Los puntos en los que se encuentran dos aristas son los vértices o esquinas del polígono . Un n -gono es un polígono con n lados; por ejemplo, un triángulo es un 3-gono.

Un polígono simple es aquel que no se interseca consigo mismo. Más precisamente, las únicas intersecciones permitidas entre los segmentos de línea que forman el polígono son los puntos finales compartidos de segmentos consecutivos en la cadena poligonal. Un polígono simple es el límite de una región del plano que se llama polígono sólido . El interior de un polígono sólido es su cuerpo , también conocido como región poligonal o área poligonal . En contextos en los que uno se ocupa solo de polígonos simples y sólidos, un polígono puede referirse solo a un polígono simple o a un polígono sólido.

Una cadena poligonal puede cruzarse consigo misma, creando polígonos en estrella y otros polígonos que se intersecan entre sí . Algunas fuentes también consideran que las cadenas poligonales cerradas en el espacio euclidiano son un tipo de polígono (un polígono oblicuo ), incluso cuando la cadena no se encuentra en un solo plano.

Un polígono es un ejemplo bidimensional de un politopo más general en cualquier número de dimensiones. Existen muchas más generalizaciones de polígonos definidos para diferentes propósitos.

Etimología

La palabra polígono deriva del adjetivo griego πολύς ( polús ) 'mucho', 'muchos' y γωνία ( gōnía ) 'esquina' o 'ángulo'. Se ha sugerido que γόνυ ( gónu ) 'rodilla' puede ser el origen de gon . [1]

Clasificación

Algunos tipos diferentes de polígono

Número de lados

Los polígonos se clasifican principalmente por el número de lados.

Convexidad e intersección

Los polígonos pueden caracterizarse por su convexidad o tipo de no convexidad:

Igualdad y simetría

La propiedad de regularidad puede definirse de otras maneras: un polígono es regular si y solo si es isogonal e isotoxal, o equivalentemente, es cíclico y equilátero. Un polígono regular no convexo se denomina polígono regular en estrella .

Misceláneas

Propiedades y fórmulas

Partición de un n -gono en n − 2 triángulos

Se asume la geometría euclidiana en todo momento.

Anglos

Cualquier polígono tiene tantos vértices como lados. Cada vértice tiene varios ángulos. Los dos más importantes son:

Área

Coordenadas de un pentágono no convexo

En esta sección se supone que los vértices del polígono en cuestión están ordenados . Por conveniencia en algunas fórmulas también se utilizará la notación ( x n , y n ) = ( x 0 , y 0 ) .

Polígonos simples

Si el polígono no se autointersecta (es decir, es simple ), el área firmada es

o, utilizando determinantes

¿Dónde está la distancia al cuadrado entre y [4] [5]?

El área con signo depende del orden de los vértices y de la orientación del plano. Comúnmente, la orientación positiva se define por la rotación (en sentido antihorario) que asigna el eje x positivo al eje y positivo . Si los vértices están ordenados en sentido antihorario (es decir, según la orientación positiva), el área con signo es positiva; de lo contrario, es negativa. En cualquier caso, la fórmula del área es correcta en valor absoluto . Esto se denomina comúnmente fórmula del cordón o fórmula del topógrafo . [6]

El área A de un polígono simple también se puede calcular si se conocen las longitudes de los lados, a 1 , a 2 , ..., a n y los ángulos exteriores , θ 1 , θ 2 , ..., θ n , a partir de:

La fórmula fue descrita por Lopshits en 1963. [7]

Si el polígono se puede dibujar en una cuadrícula igualmente espaciada de modo que todos sus vértices sean puntos de la cuadrícula, el teorema de Pick proporciona una fórmula simple para el área del polígono basada en el número de puntos de la cuadrícula interior y límite: el primer número más la mitad del segundo número, menos 1.

En todo polígono con perímetro p y área A , se cumple la desigualdad isoperimétrica . [8]

Para dos polígonos simples de igual área, el teorema de Bolyai-Gerwien afirma que el primero puede cortarse en trozos poligonales que pueden volver a ensamblarse para formar el segundo polígono.

Las longitudes de los lados de un polígono no determinan en general su área. [9] Sin embargo, si el polígono es simple y cíclico, entonces los lados determinan el área. [10] De todos los n -gonos con longitudes de lado dadas, el que tiene el área más grande es cíclico. De todos los n -gonos con un perímetro dado, el que tiene el área más grande es regular (y por lo tanto cíclico). [11]

Polígonos regulares

Muchas fórmulas especializadas se aplican a las áreas de polígonos regulares .

El área de un polígono regular se da en términos del radio r de su círculo inscrito y su perímetro p por

Este radio también se denomina apotema y a menudo se representa como .

El área de un n -gono regular en términos del radio R de su círculo circunscrito se puede expresar trigonométricamente como: [12] [13]

El área de un n -gono regular inscrito en un círculo de radio unitario, con lado s y ángulo interior también se puede expresar trigonométricamente como:

Autointersecante

El área de un polígono autointersecante se puede definir de dos maneras diferentes, obteniendo respuestas diferentes:

Centroide

Utilizando la misma convención para las coordenadas de los vértices que en la sección anterior, las coordenadas del centroide de un polígono sólido simple son

En estas fórmulas se debe utilizar el valor del área con signo.

Para los triángulos ( n = 3 ), los centroides de los vértices y de la figura sólida son los mismos, pero, en general, esto no es cierto para n > 3. El centroide del conjunto de vértices de un polígono con n vértices tiene las coordenadas

Generalizaciones

La idea de polígono se ha generalizado de diversas maneras. Algunas de las más importantes son:

Nombramiento

La palabra polígono proviene del latín tardío polygōnum (un sustantivo), del griego πολύγωνον ( polygōnon/polugōnon ), sustantivo que utiliza el neutro de πολύγωνος ( polygōnos/polugōnos , el adjetivo masculino), que significa "de muchos ángulos". Los polígonos individuales se nombran (y a veces se clasifican) según el número de lados, combinando un prefijo numérico derivado del griego con el sufijo -gon , p. ej. pentágono , dodecágono . El triángulo , el cuadrilátero y el nonágono son excepciones.

Más allá de los decágonos (de 10 lados) y los dodecágonos (de 12 lados), los matemáticos generalmente utilizan notación numérica, por ejemplo 17-gono y 257-gono. [17]

Existen excepciones para los números de lados que se expresan fácilmente en forma verbal (por ejemplo, 20 y 30) o que son utilizados por personas que no son matemáticas. Algunos polígonos especiales también tienen sus propios nombres; por ejemplo, el pentágono regular en forma de estrella también se conoce como pentagrama .

Para construir el nombre de un polígono con más de 20 y menos de 100 aristas, combine los prefijos de la siguiente manera. [21] El término "kai" se aplica a 13-gonos y superiores y fue utilizado por Kepler y defendido por John H. Conway para la claridad de los números de prefijo concatenados en la denominación de poliedros cuasirregulares , [25] aunque no todas las fuentes lo utilizan.

Historia

Imagen histórica de polígonos (1699)

Los polígonos se conocen desde la antigüedad. Los polígonos regulares eran conocidos por los antiguos griegos, y el pentagrama , un polígono regular no convexo ( polígono estrellado ), apareció ya en el siglo VII a. C. en una crátera de Aristófanes , encontrada en Caere y ahora en el Museo Capitolino . [40] [41]

El primer estudio sistemático conocido de polígonos no convexos en general fue realizado por Thomas Bradwardine en el siglo XIV. [42]

En 1952, Geoffrey Colin Shephard generalizó la idea de polígonos al plano complejo, donde cada dimensión real está acompañada por una imaginaria , para crear polígonos complejos . [43]

En la naturaleza

La Calzada del Gigante , en Irlanda del Norte

Los polígonos aparecen en las formaciones rocosas, más comúnmente como facetas planas de los cristales , donde los ángulos entre los lados dependen del tipo de mineral del que está hecho el cristal.

Los hexágonos regulares pueden formarse cuando el enfriamiento de la lava forma áreas de columnas de basalto muy compactas , que pueden verse en la Calzada del Gigante en Irlanda del Norte o en el Pilar del Diablo en California .

En biología , la superficie del panal de cera fabricado por las abejas es una matriz de hexágonos , y los lados y la base de cada celda también son polígonos.

Gráficos de computadora

En gráficos por computadora , un polígono es un elemento primitivo utilizado en modelado y renderizado. Se definen en una base de datos que contiene matrices de vértices (las coordenadas de los vértices geométricos , así como otros atributos del polígono, como el color, el sombreado y la textura), información de conectividad y materiales. [44] [45]

Cualquier superficie se modela como una teselación llamada malla poligonal . Si una malla cuadrada tiene n + 1 puntos (vértices) por lado, hay n cuadrados cuadrados en la malla, o 2 n triángulos cuadrados, ya que hay dos triángulos en un cuadrado. Hay ( n + 1) 2 / 2( n 2 ) vértices por triángulo. Cuando n es grande, esto se aproxima a la mitad. O bien, cada vértice dentro de la malla cuadrada conecta cuatro bordes (líneas).

El sistema de procesamiento de imágenes recupera de la base de datos la estructura de polígonos necesaria para la creación de la escena. Esta se transfiere a la memoria activa y, finalmente, al sistema de visualización (pantalla, monitores de TV, etc.) para que se pueda visualizar la escena. Durante este proceso, el sistema de procesamiento de imágenes reproduce los polígonos en la perspectiva correcta, listos para la transmisión de los datos procesados ​​al sistema de visualización. Aunque los polígonos son bidimensionales, a través del ordenador del sistema se colocan en una escena visual en la orientación tridimensional correcta.

En los gráficos por computadora y la geometría computacional , a menudo es necesario determinar si un punto dado se encuentra dentro de un polígono simple dado por una secuencia de segmentos de línea. Esto se denomina prueba del punto en el polígono . [46]

Véase también

Referencias

Bibliografía

Notas

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