Emparejamiento

Mapa bilineal en matemáticas

En matemáticas , un emparejamiento es un mapa R - bilineal del producto cartesiano de dos R - módulos , donde el anillo subyacente R es conmutativo .

Definición

Sea R un anillo conmutativo con unidad , y sean M , N y L R - módulos .

Un emparejamiento es cualquier función R -bilineal . Es decir, satisface ${\displaystyle e:M\times N\to L}$

${\displaystyle e(r\cdot m,n)=e(m,r\cdot n)=r\cdot e(m,n)}$,

${\displaystyle e(m_{1}+m_{2},n)=e(m_{1},n)+e(m_{2},n)}$y ${\displaystyle e(m,n_{1}+n_{2})=e(m,n_{1})+e(m,n_{2})}$

para cualquier y cualquier y cualquier . Equivalentemente, un emparejamiento es una función R -lineal ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle m,m_{1},m_{2}\in M}$ ${\displaystyle n,n_{1},n_{2}\in N}$

${\displaystyle M\otimes _{R}N\to L}$

donde denota el producto tensorial de M y N . ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

Un emparejamiento también puede considerarse como un mapa R -lineal , que coincide con la primera definición estableciendo . ${\displaystyle \Phi :M\to \operatorname {Hom} _{R}(N,L)}$ ${\displaystyle \Phi (m)(n):=e(m,n)}$

Un emparejamiento se llama perfecto si el mapa anterior es un isomorfismo de R -módulos. ${\displaystyle \Phi }$

Un emparejamiento se llama no degenerado por la derecha si para el mapa anterior tenemos que para todo implica ; de manera similar, se llama no degenerado por la izquierda si para todo implica . ${\displaystyle e(m,n)=0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e(m,n)=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m=0}$

Un emparejamiento se denomina alternado si y para todo m . En particular, esto implica , mientras que la bilinealidad muestra . Por lo tanto, para un emparejamiento alternado, . ${\displaystyle N=M}$ ${\displaystyle e(m,m)=0}$ ${\displaystyle e(m+n,m+n)=0}$ ${\displaystyle e(m+n,m+n)=e(m,m)+e(m,n)+e(n,m)+e(n,n)=e(m,n)+e(n,m)}$ ${\displaystyle e(m,n)=-e(n,m)}$

Ejemplos

Cualquier producto escalar en un espacio vectorial real V es un emparejamiento (conjunto M = N = V , R = R en las definiciones anteriores).

El mapa determinante (matrices 2 × 2 sobre k ) → k puede verse como un emparejamiento . ${\displaystyle k^{2}\times k^{2}\to k}$

El mapa de Hopf escrito como es un ejemplo de emparejamiento. Por ejemplo, Hardie et al. ^[1] presentan una construcción explícita del mapa utilizando modelos poset. ${\displaystyle S^{3}\to S^{2}}$ ${\displaystyle h:S^{2}\times S^{2}\to S^{2}}$

Emparejamientos en criptografía

En criptografía , a menudo se utiliza la siguiente definición especializada: ^[2]

Sean grupos aditivos y un grupo multiplicativo , todos de orden primo . Sean generadores de y respectivamente . ${\displaystyle \textstyle G_{1},G_{2}}$ ${\displaystyle \textstyle G_{T}}$ ${\displaystyle \textstyle p}$ ${\displaystyle \textstyle P\in G_{1},Q\in G_{2}}$ ${\displaystyle \textstyle G_{1}}$ ${\displaystyle \textstyle G_{2}}$

Un emparejamiento es un mapa: ${\displaystyle e:G_{1}\times G_{2}\rightarrow G_{T}}$

para lo cual se cumple lo siguiente:

1. Bilinealidad : ${\displaystyle \textstyle \forall a,b\in \mathbb {Z} :\ e\left(aP,bQ\right)=e\left(P,Q\right)^{ab}}$
2. No degeneración : ${\displaystyle \textstyle e\left(P,Q\right)\neq 1}$
3. Para fines prácticos, debe ser computable de manera eficiente. ${\displaystyle \textstyle e}$

Tenga en cuenta que también es común en la literatura criptográfica que todos los grupos se escriban en notación multiplicativa.

En los casos en que , el emparejamiento se llama simétrico. Como es cíclico , la función será conmutativa ; es decir, para cualquier , tenemos . Esto se debe a que para un generador , existen enteros , tales que y . Por lo tanto . ${\displaystyle \textstyle G_{1}=G_{2}=G}$ ${\displaystyle \textstyle G}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle P,Q\in G}$ ${\displaystyle e(P,Q)=e(Q,P)}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle P=g^{p}}$ ${\displaystyle Q=g^{q}}$ ${\displaystyle e(P,Q)=e(g^{p},g^{q})=e(g,g)^{pq}=e(g^{q},g^{p})=e(Q,P)}$

El emparejamiento de Weil es un concepto importante en la criptografía de curva elíptica ; por ejemplo, se puede utilizar para atacar ciertas curvas elípticas (véase ataque MOV). Este y otros emparejamientos se han utilizado para desarrollar esquemas de cifrado basados ​​en identidad .

Usos ligeramente diferentes de la noción de emparejamiento

Los productos escalares en espacios vectoriales complejos a veces se denominan emparejamientos, aunque no sean bilineales. Por ejemplo, en teoría de representaciones , se tiene un producto escalar sobre los caracteres de representaciones complejas de un grupo finito que se denomina frecuentemente emparejamiento de caracteres .

Véase también

• Sistema dual
• Producto Yoneda

Referencias

1. Hardie KA1; Vermeulen JJC; Witbooi PJ, Un emparejamiento no trivial de espacios T0 finitos, Topología y sus aplicaciones, Volumen 125, Número 3, 20 de noviembre de 2002, págs. 533–542.
2. Dan Boneh, Matthew K. Franklin, Cifrado basado en identidad a partir del emparejamiento de Weil, SIAM J. of Computing, vol. 32, n.º 3, págs. 586–615, 2003.

Enlaces externos

• La biblioteca de criptografía basada en emparejamiento