Semigrupo inverso

En teoría de grupos , un semigrupo inverso (ocasionalmente llamado semigrupo de inversión ^[1] ) S es un semigrupo en el que cada elemento x en S tiene una única inversa y en S en el sentido de que x = xyx e y = yxy , es decir, un semigrupo inverso semigrupo en el que cada elemento tiene un inverso único. Los semigrupos inversos aparecen en diversos contextos; por ejemplo, pueden emplearse en el estudio de simetrías parciales . ^[2]

(La convención seguida en este artículo será la de escribir una función a la derecha de su argumento, por ejemplo, x  f en lugar de f ( x ), y componer funciones de izquierda a derecha, una convención que se observa a menudo en la teoría de semigrupos).

Orígenes

Los semigrupos inversos fueron introducidos de forma independiente por Viktor Vladimirovich Wagner ^[3] en la Unión Soviética en 1952, ^[4] y por Gordon Preston en el Reino Unido en 1954. ^[5] Ambos autores llegaron a los semigrupos inversos mediante el estudio de biyecciones parciales de un conjunto : una transformación parcial α de un conjunto X es una función de A a B , donde A y B son subconjuntos de X. Sean α y β transformaciones parciales de un conjunto X ; α y β se pueden componer (de izquierda a derecha) en el dominio más grande en el que "tenga sentido" componerlos:

${\displaystyle \operatorname {dom} \alpha \beta =[\operatorname {im} \alpha \cap \operatorname {dom} \beta ]\alpha ^{-1}\,}$

donde α ⁻¹ denota la preimagen bajo  α . Las transformaciones parciales ya habían sido estudiadas en el contexto de pseudogrupos . ^[6] Fue Wagner, sin embargo, quien fue el primero en observar que la composición de transformaciones parciales es un caso especial de la composición de relaciones binarias . ^[7] Reconoció también que el dominio de composición de dos transformaciones parciales puede ser el conjunto vacío , por lo que introdujo una transformación vacía para tener en cuenta esto. Con la adición de esta transformación vacía, la composición de transformaciones parciales de un conjunto se convierte en una operación binaria asociativa definida en todas partes . Bajo esta composición, la colección de todas las transformaciones parciales uno-uno de un conjunto X forma un semigrupo inverso, llamado semigrupo inverso simétrico (o monoide) en X , con el inverso funcional definido de imagen a dominio (de manera equivalente, la relación inversa ). ^[8] Este es el semigrupo inverso "arquetípico", de la misma manera que un grupo simétrico es el grupo arquetípico . Por ejemplo, así como cada grupo puede estar incluido en un grupo simétrico , cada semigrupo inverso puede estar incluido en un semigrupo inverso simétrico (ver § Homomorfismos y representaciones de semigrupos inversos a continuación). ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}}$

Los basicos

La inversa de un elemento x de un semigrupo inverso S suele escribirse x ⁻¹ . Los inversos en un semigrupo inverso tienen muchas de las mismas propiedades que los inversos en un grupo , por ejemplo, ( ab ) ⁻¹ = b ⁻¹ a ⁻¹ . En un monoide inverso , xx ⁻¹ y x ⁻¹ x no son necesariamente iguales a la identidad, pero ambos son idempotentes . ^[9] Un monoide inverso S en el que xx ⁻¹ = 1 = x ⁻¹ x , para todo x en S (un monoide inverso unipotente ), es, por supuesto, un grupo .

Hay varias caracterizaciones equivalentes de un semigrupo inverso S : ^[10]

• Cada elemento de S tiene un inverso único, en el sentido anterior.
• Cada elemento de S tiene al menos un inverso ( S es un semigrupo regular ) y los idempotentes conmutan (es decir, los idempotentes de S forman una semired ).
• Cada clase y cada clase contiene precisamente un idempotente , donde y son dos de las relaciones de Green . ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

El idempotente en la clase de s es s ⁻¹ s , mientras que el idempotente en la clase de s es ss ⁻¹ . Por tanto, existe una caracterización simple de las relaciones de Green en un semigrupo inverso: ^[11] ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

${\displaystyle a\,{\mathcal {L}}\,b\Longleftrightarrow a^{-1}a=b^{-1}b,\quad a\,{\mathcal {R}}\,b\Longleftrightarrow aa^{-1}=bb^{-1}}$

A menos que se indique lo contrario, E(S) denotará la semired de idempotentes de un semigrupo inverso S.

Ejemplos de semigrupos inversos

• Las biyecciones parciales en un conjunto X forman un semigrupo inverso bajo composición.
• Todo grupo es un semigrupo inverso.
• El semigrupo bicíclico es inverso, con ( a , b ) ⁻¹ = ( b , a ) .
• Cada semired es inversa.
• El semigrupo de Brandt es inverso.
• El semigrupo de Munn es inverso.

Ejemplo de tabla de multiplicar. Es asociativo y cada elemento tiene su propio inverso según aba = a , bab = b . No tiene identidad y no es conmutativo.

El orden parcial natural

Un semigrupo inverso S posee una relación de orden parcial natural ≤ (a veces denotada por ω), que se define de la siguiente manera: ^[12]

${\displaystyle a\leq b\Longleftrightarrow a=eb,}$

para algunos idempotente e en S . De manera equivalente,

${\displaystyle a\leq b\Longleftrightarrow a=bf,}$

para algunos (en general, diferentes) idempotentes f en S . De hecho, se puede considerar que e es aa ⁻¹ y f es a ⁻¹ a . ^[13]

El orden parcial natural es compatible tanto con la multiplicación como con la inversión, es decir, ^[14]

${\displaystyle a\leq b,c\leq d\Longrightarrow ac\leq bd}$

y

${\displaystyle a\leq b\Longrightarrow a^{-1}\leq b^{-1}.}$

En un grupo , este orden parcial simplemente se reduce a la igualdad, ya que la identidad es la única idempotente . En un semigrupo inverso simétrico, el orden parcial se reduce a la restricción de asignaciones, es decir, α ≤ β si, y sólo si, el dominio de α está contenido en el dominio de β y xα = xβ , para todo x en el dominio de α . ^[15]

El orden parcial natural en un semigrupo inverso interactúa con las relaciones de Green de la siguiente manera: si s ≤ t y s t , entonces s = t . De manera similar, si s t . ^[dieciséis] ${\displaystyle \,{\mathcal {L}}\,}$ ${\displaystyle \,{\mathcal {R}}\,}$

En E ( S ), el orden parcial natural se convierte en:

${\displaystyle e\leq f\Longleftrightarrow e=ef,}$

entonces, dado que los idempotentes forman una semired bajo la operación del producto, los productos en E ( S ) dan límites superiores mínimos con respecto a ≤.

Si E ( S ) es finita y forma una cadena (es decir, E ( S ) está totalmente ordenada por ≤), entonces S es una unión de grupos . ^[17] Si E ( S ) es una cadena infinita , es posible obtener un resultado análogo bajo hipótesis adicionales sobre S y E ( S ). ^[18]

Homomorfismos y representaciones de semigrupos inversos.

Un homomorfismo (o morfismo ) de semigrupos inversos se define exactamente de la misma manera que para cualquier otro semigrupo: para semigrupos inversos S y T , una función θ de S a T es un morfismo si ( sθ )( tθ ) = ( st ) θ , para todos los s , t en S. La definición de un morfismo de semigrupos inversos podría ampliarse incluyendo la condición ( sθ ) ⁻¹ = s ⁻¹ θ , sin embargo, no es necesario hacerlo, ya que esta propiedad se deriva de la definición anterior, mediante el siguiente teorema:

Teorema. La imagen homomórfica de un semigrupo inverso es un semigrupo inverso; el inverso de un elemento siempre se asigna al inverso de la imagen de ese elemento. ^[19]

Uno de los primeros resultados demostrados sobre semigrupos inversos fue el teorema de Wagner-Preston , que es un análogo del teorema de Cayley para grupos :

Teorema de Wagner-Preston. Si S es un semigrupo inverso, entonces la función φ de S a , dada por ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{S}}$

dom ( aφ ) = Sa ⁻¹ y x ( aφ ) = xa

es una fiel representación de S . ^[20]

Por tanto, cualquier semigrupo inverso puede incrustarse en un semigrupo inverso simétrico y con imagen cerrada mediante la operación inversa sobre biyecciones parciales. Por el contrario, cualquier subsemigrupo del semigrupo inverso simétrico cerrado bajo la operación inversa es un semigrupo inverso. Por tanto, un semigrupo S es isomorfo a un subsemigrupo del semigrupo inverso simétrico cerrado bajo inversos si y sólo si S es un semigrupo inverso.

Congruencias en semigrupos inversos

Las congruencias se definen en semigrupos inversos exactamente de la misma manera que para cualquier otro semigrupo: una congruencia ρ es una relación de equivalencia que es compatible con la multiplicación de semigrupos, es decir,

${\displaystyle a\,\rho \,b,\quad c\,\rho \,d\Longrightarrow ac\,\rho \,bd.}$^[21]

De particular interés es la relación , definida en un semigrupo inverso S por ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle a\,\sigma \,b\Longleftrightarrow }$existe un con ^[22] ${\displaystyle c\in S}$ ${\displaystyle c\leq a,b.}$

Se puede demostrar que σ es una congruencia y, de hecho, es una congruencia de grupo , es decir, que el factor semigrupo S / σ es un grupo. En el conjunto de todas las congruencias de grupos en un semigrupo S , el elemento mínimo (para el orden parcial definido por la inclusión de conjuntos) no tiene por qué ser el elemento más pequeño. En el caso específico en el que S es un semigrupo inverso σ es la congruencia más pequeña en S tal que S / σ es un grupo, es decir, si τ es cualquier otra congruencia en S con S / τ un grupo, entonces σ está contenida en τ . La congruencia σ se llama congruencia mínima de grupo en S. ^[23] La congruencia mínima de grupo se puede utilizar para dar una caracterización de E -semigrupos inversos unitarios (ver más abajo).

Una congruencia ρ en un semigrupo inverso S se llama idempotente pura si

${\displaystyle a\in S,e\in E(S),a\,\rho \,e\Longrightarrow a\in E(S).}$^[24]

E -semigrupos inversos unitarios

Una clase de semigrupos inversos que se ha estudiado ampliamente a lo largo de los años es la clase de semigrupos inversos mi -unitarios: un semigrupo inverso S (con semired E de idempotentes ) es E - unitario si, para todo e en E y todo s en S ,

${\displaystyle es\in E\Longrightarrow s\in E.}$

De manera equivalente,

${\displaystyle se\in E\Rightarrow s\in E.}$^[25]

Una caracterización adicional de un semigrupo S inverso unitario E es la siguiente: si e está en E y e ≤ s , para algunos s en S , entonces s está en E. ^[26]

Teorema. Sea S un semigrupo inverso con semired E de idempotentes y congruencia mínima de grupo σ . Entonces los siguientes son equivalentes: ^[27]

• S es E -unitario;
• σ es idempotente puro;
• ${\displaystyle \sim }$= σ ,

¿Dónde está la relación de compatibilidad en S , definida por ${\displaystyle \sim }$

${\displaystyle a\sim b\Longleftrightarrow ab^{-1},a^{-1}b}$son idempotentes.

Teorema de cobertura de McAlister. Todo semigrupo inverso S tiene una cubierta E-unitaria; es decir, existe un homomorfismo sobreyectivo de separación idempotente de algún semigrupo E-unitario T sobre S. ^[28]

Central para el estudio de E -semigrupos inversos unitarios es la siguiente construcción. ^[29] Sea un conjunto parcialmente ordenado , con orden ≤, y sea un subconjunto de con las propiedades que ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

• ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$es una semired inferior , es decir, cada par de elementos A , B in tiene un límite inferior máximo A B in (con respecto a ≤); ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$es un ideal de orden de , es decir, para A , B en , si A está en y B ≤ A , entonces B está en . ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$

Ahora sea G un grupo que actúa sobre (a la izquierda), tal que ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

• para todo g en G y todo A , B en , gA = gB si, y sólo si, A = B ; ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$
• para cada g en G y cada B en , existe una A en tal que gA = B ; ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$
• para todo A , B en , A ≤ B si, y sólo si, gA ≤ gB ; ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$
• para todo g , h en G y todo A en , g ( hA ) = ( gh ) A. ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

También se supone que el triple tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$

• para cada X en , existe una g en G y una A en tal que gA = X ; ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$
• para todo g en G , g y tiene intersección no vacía. ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$

Tal triple se llama triple de McAlister . Se utiliza una tripleta de McAlister para definir lo siguiente: ${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$

${\displaystyle P(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})=\{(A,g)\in {\mathcal {Y}}\times G:g^{-1}A\in {\mathcal {Y}}\}}$

junto con la multiplicación

${\displaystyle (A,g)(B,h)=(A\wedge gB,gh)}$.

Entonces es un semigrupo inverso bajo esta multiplicación, con ( A , g ) ⁻¹ = ( g ⁻¹ A , g ⁻¹ ) . Uno de los principales resultados en el estudio de E -semigrupos inversos unitarios es el teorema P de McAlister : ${\displaystyle P(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$

Teorema P de McAlister. Sea un triple de McAlister. Entonces es un semigrupo inverso unitario E. Por el contrario, cada E -semigrupo inverso unitario es isomorfo a uno de este tipo. ^[30] ${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$ ${\displaystyle P(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$

F -semigrupos inversos

Se dice que un semigrupo inverso es F -inverso si cada elemento tiene un elemento máximo único encima de él en el orden parcial natural, es decir, cada σ -clase tiene un elemento máximo. Cada F -semigrupo inverso es un E -monoide unitario. MV Lawson ha perfeccionado el teorema de cobertura de McAlister para:

Teorema. Cada semigrupo inverso tiene una F -cobertura inversa. ^[31]

El teorema P de McAlister también se ha utilizado para caracterizar semigrupos inversos F. Una tripleta de McAlister es un semigrupo F -inverso si y sólo si es un ideal principal de y es una semired. ${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

Semigrupos inversos libres

Es posible una construcción similar a un grupo libre para semigrupos inversos. Se puede obtener una presentación del semigrupo inverso libre en un conjunto X considerando el semigrupo libre con involución , donde involución es la toma del inverso, y luego tomando el cociente por la congruencia de Vagner.

${\displaystyle \{(xx^{-1}x,x),\;(xx^{-1}yy^{-1},yy^{-1}xx^{-1})\;|\;x,y\in (X\cup X^{-1})^{+}\}.}$

El problema planteado para semigrupos inversos libres es mucho más complejo que el de grupos libres. Un resultado celebrado en esta área se debe a WD Munn, quien demostró que los elementos del semigrupo inverso libre pueden considerarse naturalmente como árboles, conocidos como árboles de Munn. La multiplicación en el semigrupo inverso libre tiene un correspondiente en los árboles de Munn, que esencialmente consiste en superponer porciones comunes de los árboles. (ver Lawson 1998 para más detalles)

Cualquier semigrupo inverso libre es F -inverso. ^[31]

Conexiones con la teoría de categorías

La composición anterior de transformaciones parciales de un conjunto da lugar a un semigrupo inverso simétrico. Hay otra forma de componer transformaciones parciales, que es más restrictiva que la utilizada anteriormente: dos transformaciones parciales α y β se componen si, y sólo si, la imagen de α es igual al dominio de β ; de lo contrario, la composición αβ no está definida. Bajo esta composición alternativa, la colección de todas las transformaciones parciales uno-uno de un conjunto no forma un semigrupo inverso sino un grupoide inductivo, en el sentido de la teoría de categorías . Esta estrecha conexión entre semigrupos inversos y grupoides inductivos está incorporada en el teorema de Ehresmann-Schein-Nambooripad , que establece que un grupoide inductivo siempre se puede construir a partir de un semigrupo inverso, y viceversa. ^[32] Más precisamente, un semigrupo inverso es precisamente un grupoide en la categoría de posets que es un grupoide étale con respecto a su topología (dual) Alexandrov y cuyo poset de objetos es una semirretícula de encuentro.

Generalizaciones de semigrupos inversos.

Como se señaló anteriormente, un semigrupo inverso S puede definirse mediante las condiciones (1) S es un semigrupo regular y (2) los idempotentes en S conmutan; esto ha llevado a dos clases distintas de generalizaciones de un semigrupo inverso: semigrupos en los que (1) se cumple, pero (2) no, y viceversa.

Ejemplos de generalizaciones regulares de un semigrupo inverso son: ^[33]

• Semigrupos regulares : un semigrupo S es regular si cada elemento tiene al menos un inverso; de manera equivalente, para cada a en S , hay una x en S tal que axa = a .
• Semigrupos localmente inversos : un semigrupo regular S es localmente inverso si eSe es un semigrupo inverso, para cada idempotente e .
• Semigrupos ortodoxos : un semigrupo regular S es ortodoxo si su subconjunto de idempotentes forma un subsemigrupo.
• Semigrupos inversos generalizados : un semigrupo regular S se llama semigrupo inverso generalizado si sus idempotentes forman una banda normal, es decir, xyzx = xzyx , para todos los idempotentes x , y , z .

La clase de semigrupos inversos generalizados es la intersección de la clase de semigrupos localmente inversos y la clase de semigrupos ortodoxos. ^[34]

Entre las generalizaciones no regulares de un semigrupo inverso se encuentran: ^[35]

• (Izquierda, derecha, bilateral) semigrupos adecuados.
• (Izquierda, derecha, bilateral) semigrupos amplios.
• (Izquierda, derecha, bilateral) Semigrupos semiadecuados.
• Semigrupos débilmente amplios (izquierda, derecha, bilateral).

categoría inversa

Esta noción de inversa también se generaliza fácilmente a categorías . Una categoría inversa es simplemente una categoría en la que cada morfismo f  : X → Y tiene una inversa generalizada g  : Y → X tal que fgf = f y gfg = g . Una categoría inversa es autodual . La categoría de conjuntos y biyecciones parciales es el mejor ejemplo. ^[36]

Las categorías inversas han encontrado diversas aplicaciones en la informática teórica . ^[37]

Ver también

• Semigrupo ortodoxo
• conjunto bioordenado
• Pseudogrupo
• Simetrías parciales
• Semigrupo regular
• semirrejilla
• Las relaciones de Green
• Teoría de categorías
• Clases especiales de semigrupos.
• Inversa débil
• orden de nambooripad

Notas

1. Weisstein, Eric W. (2002). Enciclopedia concisa de matemáticas CRC (2ª ed.). Prensa CRC. pag. 1528.ISBN​ 978-1-4200-3522-3.
2. Lawson 1998
3. Dado que su padre era alemán, Wagner prefirió la transliteración alemana de su nombre (con una "W", en lugar de una "V") del cirílico; consulte Schein 1981.
4. Primero un breve anuncio en Wagner 1952, luego una exposición mucho más completa en Wagner 1953.
5. Preston 1954a, b, c.
6. Véase, por ejemplo, Gołab 1939.
7. Schein 2002, pag. 152
8. Howie 1995, pág. 149
9. Howie 1995, Proposición 5.1.2 (1)
10. Howie 1995, Teorema 5.1.1
11. Howie 1995, Proposición 5.1.2 (1)
12. Wagner 1952
13. Howie 1995, Proposición 5.2.1
14. Howie 1995, págs. 152-3
15. Howie 1995, pág. 153
16. Lawson 1998, Proposición 3.2.3
17. Clifford y Preston 1967, teorema 7.5
18. Gonçalves, D; Sobottka, M; Estornino, C (2017). "Desplazamientos de semigrupo inverso sobre alfabetos contables". Foro Semigrupo . 96 (2): 203–240. arXiv : 1510.04117 . doi :10.1007/s00233-017-9858-5Corolario 4.9{{cite journal}}: CS1 maint: postscript (link)
19. Clifford y Preston 1967, teorema 7.36
20. Howie 1995, Teorema 5.1.7 Originalmente, Wagner 1952 y, de forma independiente, Preston 1954c.
21. Howie 1995, pág. 22
22. Lawson 1998, pag. 62
23. Lawson 1998, Teorema 2.4.1
24. Lawson 1998, pag. sesenta y cinco
25. Howie 1995, pág. 192
26. Lawson 1998, Proposición 2.4.3
27. Lawson 1998, Teorema 2.4.6
28. Grillet, Pensilvania (1995). Semigrupos: una introducción a la teoría de la estructura. Prensa CRC. pag. 248.ISBN​ 978-0-8247-9662-4.
29. Howie 1995, págs. 193–4
30. Howie 1995, Teorema 5.9.2. Originalmente, McAlister 1974a,b.
31. Lawson 1998, pág. 230
32. Lawson 1998, 4.1.8
33. Howie 1995, sección 2.4 y capítulo 6
34. Howie 1995, pág. 222
35. Fuente 1979, Gould
36. Grandis, Marco (2012). Álgebra homológica: la interacción de la homología con redes distributivas y semigrupos ortodoxos. Científico mundial. pag. 55.ISBN​ 978-981-4407-06-9.
37. Hines, Pedro; Braunstein, Samuel L. (2010). "La estructura de las isometrías parciales". En Gay y, Simón; Mackie, Ian (eds.). Técnicas Semánticas en Computación Cuántica . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 369.ISBN​ 978-0-521-51374-6.

Referencias

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• Wagner, VV (1953). "La teoría de montones generalizados y grupos generalizados". Matematicheskii Sbornik . Novaya Seriya (en ruso). 32 (74): 545–632.

Otras lecturas

• Para una breve introducción a los semigrupos inversos, consulte Clifford & Preston 1967, Capítulo 7 o Howie 1995, Capítulo 5.
• Se pueden encontrar introducciones más completas en Petrich 1984 y Lawson 1998.
• Linckelmann, M. (2012). «Sobre categorías inversas y transferencia en cohomología» (PDF) . Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo . 56 : 187. doi : 10.1017/S0013091512000211.Preimpresión de acceso abierto