Operador (física)

Función que actúa sobre el espacio de estados físicos en física.

En física, un operador es una función sobre un espacio de estados físicos en otro espacio de estados físicos. El ejemplo más simple de la utilidad de los operadores es el estudio de la simetría (lo que hace que el concepto de grupo sea útil en este contexto). Por ello, son herramientas útiles en la mecánica clásica . Los operadores son aún más importantes en la mecánica cuántica , donde forman parte intrínseca de la formulación de la teoría.

Operadores en mecánica clásica.

En mecánica clásica, el movimiento de una partícula (o sistema de partículas) está completamente determinado por el lagrangiano o equivalentemente el hamiltoniano , función de las coordenadas generalizadas q , las velocidades generalizadas y sus momentos conjugados : ${\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)}$ ${\displaystyle H(q,p,t)}$ ${\displaystyle {\dot {q}}=\mathrm {d} q/\mathrm {d} t}$

${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}}$

Si L o H es independiente de una coordenada generalizada q , lo que significa que L y H no cambian cuando se cambia q , lo que a su vez significa que la dinámica de la partícula sigue siendo la misma incluso cuando q cambia, los momentos correspondientes se conjugan con aquellos las coordenadas se conservarán (esto es parte del teorema de Noether , y la invariancia del movimiento respecto de la coordenada q es una simetría ). Los operadores de la mecánica clásica están relacionados con estas simetrías.

Más técnicamente, cuando H es invariante bajo la acción de un determinado grupo de transformaciones G :

${\displaystyle S\in G,H(S(q,p))=H(q,p)}$.

Los elementos de G son operadores físicos que mapean estados físicos entre sí.

Tabla de operadores de mecánica clásica.

donde es la matriz de rotación alrededor de un eje definido por el vector unitario y el ángulo θ . ${\displaystyle R({\hat {\boldsymbol {n}}},\theta )}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {n}}}}$

Generadores

Si la transformación es infinitesimal , la acción del operador debe ser de la forma

${\displaystyle I+\epsilon A,}$

donde es el operador identidad, es un parámetro con un valor pequeño, y dependerá de la transformación que se realice, y se llama generador del grupo . Nuevamente, como ejemplo simple, derivaremos el generador de traslaciones espaciales en funciones 1D. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle A}$

Como se dijo, . Si es infinitesimal, entonces podemos escribir ${\displaystyle T_{a}f(x)=f(x-a)}$ ${\displaystyle a=\epsilon }$

${\displaystyle T_{\epsilon }f(x)=f(x-\epsilon )\approx f(x)-\epsilon f'(x).}$

Esta fórmula puede reescribirse como

${\displaystyle T_{\epsilon }f(x)=(I-\epsilon D)f(x)}$

donde está el generador del grupo de traducción, que en este caso resulta ser el operador derivativo . Así, se dice que el generador de traducciones es la derivada. ${\displaystyle D}$

El mapa exponencial

Todo el grupo se puede recuperar, en circunstancias normales, de los generadores, mediante el mapa exponencial . En el caso de las traducciones la idea funciona así.

La traducción para un valor finito de puede obtenerse mediante la aplicación repetida de la traducción infinitesimal: ${\displaystyle a}$

${\displaystyle T_{a}f(x)=\lim _{N\to \infty }T_{a/N}\cdots T_{a/N}f(x)}$

con el stand para los tiempos de aplicación. Si es grande, cada uno de los factores puede considerarse infinitesimal: ${\displaystyle \cdots }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle T_{a}f(x)=\lim _{N\to \infty }\left(I-{\frac {a}{N}}D\right)^{N}f(x).}$

Pero este límite puede reescribirse como exponencial:

${\displaystyle T_{a}f(x)=\exp(-aD)f(x).}$

Para convencernos de la validez de esta expresión formal, podemos expandir la exponencial en una serie de potencias :

${\displaystyle T_{a}f(x)=\left(I-aD+{a^{2}D^{2} \over 2!}-{a^{3}D^{3} \over 3!}+\cdots \right)f(x).}$

El lado derecho puede reescribirse como

${\displaystyle f(x)-af'(x)+{\frac {a^{2}}{2!}}f''(x)-{\frac {a^{3}}{3!}}f^{(3)}(x)+\cdots }$

que es simplemente la expansión de Taylor de , que era nuestro valor original para . ${\displaystyle f(x-a)}$ ${\displaystyle T_{a}f(x)}$

Las propiedades matemáticas de los operadores físicos son un tema de gran importancia en sí mismo. Para obtener más información, consulte C*-álgebra y teorema de Gelfand-Naimark .

Operadores en mecánica cuántica

La formulación matemática de la mecánica cuántica (QM) se basa en el concepto de operador.

Los estados físicos puros en la mecánica cuántica se representan como vectores de norma unitaria (las probabilidades están normalizadas a uno) en un espacio de Hilbert complejo especial . La evolución temporal en este espacio vectorial viene dada por la aplicación del operador de evolución .

Cualquier observable , es decir, cualquier cantidad que pueda medirse en un experimento físico, debe asociarse con un operador lineal autoadjunto . Los operadores deben arrojar valores propios reales , ya que son valores que pueden surgir como resultado del experimento. Matemáticamente esto significa que los operadores deben ser hermitianos . ^[1] La probabilidad de cada valor propio está relacionada con la proyección del estado físico en el subespacio relacionado con ese valor propio. Consulte a continuación para obtener detalles matemáticos sobre los operadores hermitianos.

En la formulación de QM en mecánica ondulatoria , la función de onda varía con el espacio y el tiempo, o de manera equivalente con el impulso y el tiempo (consulte posición y espacio de impulso para obtener más detalles), por lo que los observables son operadores diferenciales .

En la formulación de la mecánica matricial , la norma del estado físico debe permanecer fija, por lo que el operador de evolución debe ser unitario y los operadores pueden representarse como matrices. Cualquier otra simetría, que mapee un estado físico en otro, debería mantener esta restricción.

Función de onda

La función de onda debe ser integrable al cuadrado (ver L ^p espacios ), lo que significa:

${\displaystyle \iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} =\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}\psi (\mathbf {r} )^{*}\psi (\mathbf {r} )\,d^{3}\mathbf {r} <\infty }$

y normalizable, de modo que:

${\displaystyle \iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} =1}$

Dos casos de estados propios (y valores propios) son:

• para estados propios discretos que forman una base discreta, por lo que cualquier estado es una suma ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$
  $${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|\phi _{i}\rangle }$$
  donde c _i son números complejos tales que | c _i | ² = c _i ^* c _i es la probabilidad de medir el estado , y el conjunto correspondiente de valores propios a _i también es discreto, ya sea finito o contablemente infinito . En este caso, el producto interno de dos estados propios viene dado por , donde denota el delta de Kronecker . Sin embargo, ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle \langle \phi _{i}\vert \phi _{j}\rangle =\delta _{ij}}$ ${\displaystyle \delta _{mn}}$
• para un continuo de estados propios que forman una base continua, cualquier estado es una integral ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$
  $${\displaystyle |\psi \rangle =\int c(\phi )\,d\phi |\phi \rangle }$$
  donde c ( φ ) es una función compleja tal que | c (φ)| ² = c (φ) ^* c (φ) es la probabilidad de medir el estado , y hay un conjunto infinito e incontable de valores propios a . En este caso, el producto interno de dos estados propios se define como , donde aquí denota el Delta de Dirac . ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \phi '\vert \phi \rangle =\delta (\phi -\phi ')}$ ${\displaystyle \delta (x-y)}$

Operadores lineales en mecánica ondulatoria.

Sea ψ la función de onda de un sistema cuántico y cualquier operador lineal para algún A observable (como posición, momento, energía, momento angular, etc.). Si ψ es una función propia del operador , entonces ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$

${\displaystyle {\hat {A}}\psi =a\psi ,}$

donde a es el valor propio del operador, correspondiente al valor medido del observable, es decir, el observable A tiene un valor medido a .

Si ψ es una función propia de un operador dado , entonces se observará una cantidad definida (el valor propio a ) si se realiza una medición del observable A en el estado ψ . Por el contrario, si ψ no es una función propia de , entonces no tiene valor propio para , y el observable no tiene un único valor definido en ese caso. En cambio, las mediciones del observable A producirán cada valor propio con una cierta probabilidad (relacionada con la descomposición de ψ en relación con la base propia ortonormal de ). ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$

En notación bracket se puede escribir lo anterior;

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}\psi &={\hat {A}}\psi (\mathbf {r} )={\hat {A}}\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \left\vert {\hat {A}}\right\vert \psi \right\rangle \\a\psi &=a\psi (\mathbf {r} )=a\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \mid a\mid \psi \right\rangle \\\end{aligned}}}$

que son iguales si es un vector propio , o mercado propio del observable A. ${\displaystyle \left|\psi \right\rangle }$

Debido a la linealidad, los vectores se pueden definir en cualquier número de dimensiones, ya que cada componente del vector actúa sobre la función por separado. Un ejemplo matemático es el operador del , que es en sí mismo un vector (útil en operadores cuánticos relacionados con el momento, en la tabla siguiente).

Un operador en un espacio n -dimensional se puede escribir:

${\displaystyle \mathbf {\hat {A}} =\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}}$

donde e _j son vectores base correspondientes a cada operador componente A _j . Cada componente producirá un valor propio correspondiente . Actuando esto sobre la función de onda ψ : ${\displaystyle a_{j}}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {A}} \psi =\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi =\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\psi \right)=\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {e} _{j}a_{j}\psi \right)}$

en el que hemos utilizado ${\displaystyle {\hat {A}}_{j}\psi =a_{j}\psi .}$

En notación bra-ket:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {A}} \psi =\mathbf {\hat {A}} \psi (\mathbf {r} )=\mathbf {\hat {A}} \left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle &=\left\langle \mathbf {r} \left\vert \mathbf {\hat {A}} \right\vert \psi \right\rangle \\\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi =\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle &=\left\langle \mathbf {r} \left\vert \sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right\vert \psi \right\rangle \end{aligned}}}$

Conmutación de operadores en Ψ

Si dos observables A y B tienen operadores lineales y , el conmutador está definido por, ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}$

El conmutador es en sí mismo un operador (compuesto). Al actuar el conmutador sobre ψ se obtiene:

${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi ={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi .}$

Si ψ es una función propia con valores propios a y b para los observables A y B respectivamente, y si los operadores conmutan:

${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi =0,}$

entonces los observables A y B pueden medirse simultáneamente con precisión infinita, es decir, incertidumbres , simultáneamente. Entonces se dice que ψ es la función propia simultánea de A y B. Para ilustrar esto: ${\displaystyle \Delta A=0}$ ${\displaystyle \Delta B=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi &={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi \\&=a(b\psi )-b(a\psi )\\&=0.\\\end{aligned}}}$

Muestra que la medición de A y B no causa ningún cambio de estado, es decir, los estados inicial y final son iguales (no hay perturbaciones debidas a la medición). Supongamos que medimos A para obtener el valor a. Luego medimos B para obtener el valor b. Medimos A nuevamente. Seguimos obteniendo el mismo valor a. Claramente el estado ( ψ ) del sistema no se destruye y por eso podemos medir A y B simultáneamente con precisión infinita.

Si los operadores no se desplazan:

${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi \neq 0,}$

no pueden prepararse simultáneamente con una precisión arbitraria y existe una relación de incertidumbre entre los observables

${\displaystyle \Delta A\Delta B\geq \left|{\frac {1}{2}}\langle [A,B]\rangle \right|}$

incluso si ψ es una función propia, la relación anterior se cumple. Los pares notables son las relaciones de incertidumbre de posición y momento y de energía y tiempo, y los momentos angulares (de giro, orbitales y totales) alrededor de dos ejes ortogonales cualesquiera (como L _x y L _y , o s _y y s _z , etc. .). ^[2]

Valores esperados de operadores en Ψ

El valor esperado (equivalentemente el valor promedio o medio) es la medida promedio de un observable, para una partícula en la región R. El valor esperado del operador se calcula a partir de: ^[3] ${\displaystyle \left\langle {\hat {A}}\right\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$

${\displaystyle \left\langle {\hat {A}}\right\rangle =\int _{R}\psi ^{*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}\psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left|{\hat {A}}\right|\psi \right\rangle .}$

Esto se puede generalizar a cualquier función F de un operador:

${\displaystyle \left\langle F\left({\hat {A}}\right)\right\rangle =\int _{R}\psi (\mathbf {r} )^{*}\left[F\left({\hat {A}}\right)\psi (\mathbf {r} )\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left|F\left({\hat {A}}\right)\right|\psi \right\rangle ,}$

Un ejemplo de F es la acción doble de A sobre ψ , es decir, elevar al cuadrado un operador o hacerlo dos veces:

${\displaystyle {\begin{aligned}F\left({\hat {A}}\right)&={\hat {A}}^{2}\\\Rightarrow \left\langle {\hat {A}}^{2}\right\rangle &=\int _{R}\psi ^{*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}^{2}\psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left\vert {\hat {A}}^{2}\right\vert \psi \right\rangle \\\end{aligned}}\,\!}$

Operadores hermitianos

La definición de operador hermitiano es: ^[1]

${\displaystyle {\hat {A}}={\hat {A}}^{\dagger }}$

A continuación de esto, en notación bra-ket:

${\displaystyle \left\langle \phi _{i}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{j}\right\rangle =\left\langle \phi _{j}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{i}\right\rangle ^{*}.}$

Las propiedades importantes de los operadores hermitianos incluyen:

• valores propios reales,
• los vectores propios con diferentes valores propios son ortogonales ,
• Los vectores propios se pueden elegir para que sean una base ortonormal completa ,

Operadores en mecánica matricial

Un operador se puede escribir en forma matricial para asignar un vector base a otro. Dado que los operadores son lineales, la matriz es una transformación lineal (también conocida como matriz de transición) entre bases. Cada elemento base se puede conectar con otro, ^[3] mediante la expresión: ${\displaystyle \phi _{j}}$

${\displaystyle A_{ij}=\left\langle \phi _{i}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{j}\right\rangle ,}$

que es un elemento matricial:

${\displaystyle {\hat {A}}={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nn}\\\end{pmatrix}}}$

Otra propiedad de un operador hermitiano es que las funciones propias correspondientes a diferentes valores propios son ortogonales. ^[1] En forma matricial, los operadores permiten encontrar valores propios reales, correspondientes a mediciones. La ortogonalidad permite que un conjunto básico adecuado de vectores represente el estado del sistema cuántico. Los valores propios del operador también se evalúan de la misma forma que para la matriz cuadrada, resolviendo el polinomio característico :

${\displaystyle \det \left({\hat {A}}-a{\hat {I}}\right)=0,}$

donde I es la matriz identidad n × n , como operador corresponde al operador identidad. Para una base discreta:

${\displaystyle {\hat {I}}=\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|}$

mientras que de forma continua:

${\displaystyle {\hat {I}}=\int |\phi \rangle \langle \phi |\mathrm {d} \phi }$

Inverso de un operador

Un operador no singular tiene una inversa definida por: ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}^{-1}}$

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {A}}^{-1}={\hat {A}}^{-1}{\hat {A}}={\hat {I}}}$

Si un operador no tiene inverso, es un operador singular. En un espacio de dimensión finita, un operador es no singular si y sólo si su determinante es distinto de cero:

${\displaystyle \det \left({\hat {A}}\right)\neq 0}$

y por tanto el determinante es cero para un operador singular.

Tabla de operadores QM

Los operadores utilizados en mecánica cuántica se recogen en la siguiente tabla (ver, por ejemplo, ^{[1] [4]} ). Los vectores en negrita con circunflejos no son vectores unitarios , son operadores de 3 vectores; los tres componentes espaciales tomados en conjunto.

Ejemplos de aplicación de operadores cuánticos.

El procedimiento para extraer información de una función de onda es el siguiente. Consideremos como ejemplo el momento p de una partícula. El operador de momento en base a la posición en una dimensión es:

${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$

Dejando que esto actúe sobre ψ obtenemos:

${\displaystyle {\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi ,}$

si ψ es una función propia de , entonces el valor propio del momento p es el valor del momento de la partícula, encontrado por: ${\displaystyle {\hat {p}}}$

${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p\psi .}$

Para tres dimensiones, el operador de impulso utiliza el operador nabla para convertirse en:

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla .}$

En coordenadas cartesianas (usando los vectores de base cartesiana estándar e _x , e _y , e _z ) esto se puede escribir;

${\displaystyle \mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\hat {p}}_{x}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\hat {p}}_{y}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\hat {p}}_{z}=-i\hbar \left(\mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\frac {\partial }{\partial z}}\right),}$

eso es:

${\displaystyle {\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}},\quad {\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}},\quad {\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\,\!}$

El proceso de encontrar valores propios es el mismo. Dado que se trata de una ecuación vectorial y de operador, si ψ es una función propia, entonces cada componente del operador de momento tendrá un valor propio correspondiente a ese componente del momento. Actuando sobre ψ se obtiene: ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p_{x}\psi \\{\hat {p}}_{y}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\psi =p_{y}\psi \\{\hat {p}}_{z}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\psi =p_{z}\psi \\\end{aligned}}\,\!}$

Ver también

• Operador lineal acotado
• Teoría de la representación

Referencias

1. Mecánica cuántica molecular, partes I y II: Introducción a la química cuántica (volumen 1), PW Atkins, Oxford University Press, 1977, ISBN  0-19-855129-0
2. Ballentine, LE (1970), "La interpretación estadística de la mecánica cuántica", Reseñas de física moderna , 42 (4): 358–381, Bibcode :1970RvMP...42..358B, doi :10.1103/RevModPhys.42.358
3. Mecánica cuántica desmitificada, D. McMahon, Mc Graw Hill (EE. UU.), 2006, ISBN 0-07-145546-9 
4. Operadores: las conferencias Feynman sobre física