En matemáticas , una ecuación diferencial algebraica es una ecuación diferencial que puede expresarse mediante álgebra diferencial . Existen varias nociones de este tipo, según el concepto de álgebra diferencial que se utilice.
La intención es incluir ecuaciones formadas mediante operadores diferenciales , en las que los coeficientes son funciones racionales de las variables (p. ej. la ecuación hipergeométrica ). Las ecuaciones diferenciales algebraicas son ampliamente utilizadas en álgebra computacional y teoría de números .
Un concepto sencillo es el de campo vectorial polinómico , es decir, un campo vectorial expresado con respecto a una base de coordenadas estándar como las primeras derivadas parciales con coeficientes polinómicos. Se trata de un tipo de operador diferencial algebraico de primer orden.
No suele suceder que la solución general de una ecuación diferencial algebraica sea una función algebraica : la resolución de ecuaciones produce típicamente nuevas funciones trascendentales . Sin embargo, el caso de las soluciones algebraicas es de considerable interés; la lista clásica de Schwarz trata el caso de la ecuación hipergeométrica. En la teoría diferencial de Galois, el caso de las soluciones algebraicas es aquel en el que el grupo diferencial de Galois G es finito (equivalentemente, de dimensión 0, o de un grupo monodromía finito para el caso de superficies de Riemann y ecuaciones lineales). Este caso se relaciona con toda la teoría aproximadamente como la teoría invariante se relaciona con la teoría de representación de grupos . El grupo G es en general difícil de calcular, la comprensión de las soluciones algebraicas es una indicación de los límites superiores para G.