Operador de escalera

Raising and lowering operators in quantum mechanics

En álgebra lineal (y su aplicación a la mecánica cuántica ), un operador de elevación o de reducción (conocidos colectivamente como operadores de escalera ) es un operador que aumenta o disminuye el valor propio de otro operador. En mecánica cuántica, el operador de elevación a veces se denomina operador de creación y el operador de reducción, operador de aniquilación . Las aplicaciones bien conocidas de los operadores de escalera en mecánica cuántica se encuentran en los formalismos del oscilador armónico cuántico y el momento angular .

Terminología

Existe una relación entre los operadores de escalera de subida y bajada y los operadores de creación y aniquilación comúnmente utilizados en la teoría cuántica de campos que se encuentra en la teoría de la representación . El operador de creación a _i ^† incrementa el número de partículas en el estado i , mientras que el operador de aniquilación correspondiente a _i decrementa el número de partículas en el estado i . Esto satisface claramente los requisitos de la definición anterior de un operador de escalera: el incremento o decremento del valor propio de otro operador (en este caso el operador de número de partículas ).

La confusión surge porque el término operador de escalera se utiliza normalmente para describir un operador que actúa para incrementar o decrementar un número cuántico que describe el estado de un sistema. Para cambiar el estado de una partícula con los operadores de creación/aniquilación de la teoría cuántica de campos se requiere el uso de operadores de aniquilación y de creación. Un operador de aniquilación se utiliza para eliminar una partícula del estado inicial y un operador de creación se utiliza para agregar una partícula al estado final.

El término "operador de escalera" u "operadores de elevación y descenso" también se utiliza a veces en matemáticas, en el contexto de la teoría de las álgebras de Lie y en particular de las álgebras de Lie afines . Por ejemplo, para describir las subálgebras su(2) , el sistema raíz y los módulos de mayor peso se pueden construir por medio de los operadores de escalera. ^[1] En particular, el peso más alto es aniquilado por los operadores de elevación; el resto del espacio raíz positivo se obtiene aplicando repetidamente los operadores de descenso (un conjunto de operadores de escalera por subálgebra).

Motivación desde las matemáticas

Desde el punto de vista de la teoría de la representación, una representación lineal de un grupo de Lie semisimple en parámetros reales continuos induce un conjunto de generadores para el álgebra de Lie . Una combinación lineal compleja de estos son los operadores de escalera. ^{[ aclaración necesaria ]} Para cada parámetro hay un conjunto de operadores de escalera; estos son entonces una forma estandarizada de navegar por una dimensión del sistema raíz y la red raíz . ^[2] Los operadores de escalera del oscilador armónico cuántico o la "representación numérica" ​​de la segunda cuantificación son solo casos especiales de este hecho. Los operadores de escalera luego se vuelven omnipresentes en la mecánica cuántica desde el operador de momento angular , hasta los estados coherentes y los operadores de traducción magnética discretos .

Formulación general

Supóngase que dos operadores X y N tienen la relación de conmutación para algún escalar c . Si es un estado propio de N con ecuación de valor propio entonces el operador X actúa de tal manera que desplaza el valor propio en c : $${\displaystyle [N,X]=cX}$$ ${\displaystyle {|n\rangle }}$ $${\displaystyle N|n\rangle =n|n\rangle ,}$$ ${\displaystyle |n\rangle }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}NX|n\rangle &=(XN+[N,X])|n\rangle \\&=XN|n\rangle +[N,X]|n\rangle \\&=Xn|n\rangle +cX|n\rangle \\&=(n+c)X|n\rangle .\end{aligned}}}$$

En otras palabras, si es un estado propio de N con valor propio n , entonces es un estado propio de N con valor propio n + c o es cero. El operador X es un operador de elevación para N si c es real y positivo, y un operador de reducción para N si c es real y negativo. ${\displaystyle |n\rangle }$ ${\displaystyle X|n\rangle }$

Si N es un operador hermítico , entonces c debe ser real y el adjunto hermítico de X obedece la relación de conmutación $${\displaystyle [N,X^{\dagger }]=-cX^{\dagger }.}$$

En particular, si X es un operador descendente para N , entonces X ^† es un operador ascendente para N y viceversa. ^{[ dudoso – discutir ]}

Momento angular

Una aplicación particular del concepto de operador de escalera se encuentra en el tratamiento mecánico cuántico del momento angular . Para un vector de momento angular general J con componentes J _x , J _y y J _z se definen los dos operadores de escalera ^[3] donde i es la unidad imaginaria . $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}&=J_{x}+iJ_{y},\\J_{-}&=J_{x}-iJ_{y},\end{aligned}}}$$

La relación de conmutación entre los componentes cartesianos de cualquier operador de momento angular está dada por donde ε _ijk es el símbolo de Levi-Civita , y cada uno de i , j y k puede tomar cualquiera de los valores x , y y z . $${\displaystyle [J_{i},J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k},}$$

A partir de esto, se obtienen las relaciones de conmutación entre los operadores de escalera y J _z : (técnicamente, esta es el álgebra de Lie de ). $${\displaystyle {\begin{aligned}{}[J_{z},J_{\pm }]&=\pm \hbar J_{\pm },\\{}[J_{+},J_{-}]&=2\hbar J_{z}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {{\mathfrak {s}}l}(2,\mathbb {R} )}$

Las propiedades de los operadores de escalera se pueden determinar observando cómo modifican la acción del operador J _z en un estado dado: $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}J_{\pm }|j\,m\rangle &={\big (}J_{\pm }J_{z}+[J_{z},J_{\pm }]{\big )}|j\,m\rangle \\&=(J_{\pm }J_{z}\pm \hbar J_{\pm })|j\,m\rangle \\&=\hbar (m\pm 1)J_{\pm }|j\,m\rangle .\end{aligned}}}$$

Compare este resultado con $${\displaystyle J_{z}|j\,(m\pm 1)\rangle =\hbar (m\pm 1)|j\,(m\pm 1)\rangle .}$$

Por lo tanto, se concluye que es un escalar multiplicado por : ${\displaystyle {J_{\pm }|j\,m\rangle }}$ ${\displaystyle {|j\,(m\pm 1)\rangle }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j\,m\rangle &=\alpha |j\,(m+1)\rangle ,\\J_{-}|j\,m\rangle &=\beta |j\,(m-1)\rangle .\end{aligned}}}$$

Esto ilustra la característica definitoria de los operadores de escalera en la mecánica cuántica: el incremento (o decremento) de un número cuántico, lo que hace que un estado cuántico se convierta en otro. Esta es la razón por la que a menudo se los conoce como operadores de elevación y de reducción.

Para obtener los valores de α y β , primero tome la norma de cada operador, reconociendo que J ₊ y J ₋ son un par conjugado hermítico ( ): ${\displaystyle J_{\pm }=J_{\mp }^{\dagger }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle j\,m|J_{+}^{\dagger }J_{+}|j\,m\rangle =\langle j\,m|J_{-}J_{+}|j\,m\rangle =\langle j\,(m+1)|\alpha ^{*}\alpha |j\,(m+1)\rangle =|\alpha |^{2},\\&\langle j\,m|J_{-}^{\dagger }J_{-}|j\,m\rangle =\langle j\,m|J_{+}J_{-}|j\,m\rangle =\langle j\,(m-1)|\beta ^{*}\beta |j\,(m-1)\rangle =|\beta |^{2}.\end{aligned}}}$$

El producto de los operadores de escalera se puede expresar en términos del par conmutativo J ² y J _z : $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{-}J_{+}&=(J_{x}-iJ_{y})(J_{x}+iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}-\hbar J_{z},\\J_{+}J_{-}&=(J_{x}+iJ_{y})(J_{x}-iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}-i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}+\hbar J_{z}.\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, se pueden expresar los valores de | α | ² y | β | ² en términos de los valores propios de J ² y J _z : $${\displaystyle {\begin{aligned}|\alpha |^{2}&=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}-\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(j-m)(j+m+1),\\|\beta |^{2}&=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}+\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(j+m)(j-m+1).\end{aligned}}}$$

Las fases de α y β no son físicamente significativas, por lo que se pueden elegir como positivas y reales ( convención de fases de Condon-Shortley ). Entonces tenemos ^[4] $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j-m)(j+m+1)}}|j,m+1\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m+1)}}|j,m+1\rangle ,\\J_{-}|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j+m)(j-m+1)}}|j,m-1\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m-1)}}|j,m-1\rangle .\end{aligned}}}$$

Confirmando que m está acotado por el valor de j ( ), se tiene ${\displaystyle -j\leq m\leq j}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j,\,+j\rangle &=0,\\J_{-}|j,\,-j\rangle &=0.\end{aligned}}}$$

La demostración anterior es efectivamente la construcción de los coeficientes Clebsch-Gordan .

Aplicaciones en física atómica y molecular

Muchos términos de los hamiltonianos de sistemas atómicos o moleculares implican el producto escalar de operadores de momento angular. Un ejemplo es el término dipolar magnético en el hamiltoniano hiperfino : ^[5] donde I es el espín nuclear. $${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{D}}={\hat {A}}\mathbf {I} \cdot \mathbf {J} ,}$$

El álgebra del momento angular se puede simplificar a menudo reformulándola en la base esférica . Utilizando la notación de operadores tensoriales esféricos , los componentes "−1", "0" y "+1" de J ⁽¹⁾ ≡ J se dan por ^[6] $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{-1}^{(1)}&={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}(J_{x}-iJ_{y})={\dfrac {J_{-}}{\sqrt {2}}},\\J_{0}^{(1)}&=J_{z},\\J_{+1}^{(1)}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(J_{x}+iJ_{y})=-{\frac {J_{+}}{\sqrt {2}}}.\end{aligned}}}$$

A partir de estas definiciones, se puede demostrar que el producto escalar anterior se puede expandir como $${\displaystyle \mathbf {I} ^{(1)}\cdot \mathbf {J} ^{(1)}=\sum _{n=-1}^{+1}(-1)^{n}I_{n}^{(1)}J_{-n}^{(1)}=I_{0}^{(1)}J_{0}^{(1)}-I_{-1}^{(1)}J_{+1}^{(1)}-I_{+1}^{(1)}J_{-1}^{(1)}.}$$

La importancia de esta expansión es que indica claramente qué estados están acoplados por este término en el hamiltoniano, es decir, aquellos cuyos números cuánticos difieren en m _i = ±1 y m _j = ∓1 solamente .

Oscilador armónico

Otra aplicación del concepto de operador de escalera se encuentra en el tratamiento mecánico cuántico del oscilador armónico. Podemos definir los operadores de subida y bajada como $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {a}}&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}+{i \over m\omega }{\hat {p}}\right),\\{\hat {a}}^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}-{i \over m\omega }{\hat {p}}\right).\end{aligned}}}$$

Proporcionan un medio conveniente para extraer valores propios de energía sin resolver directamente la ecuación diferencial del sistema.

Átomo similar al hidrógeno

En la literatura se dan dos enfoques principales que utilizan operadores de escalera: uno que utiliza el vector de Laplace-Runge-Lenz y otro que utiliza la factorización del hamiltoniano.

Vector de Laplace-Runge-Lenz

Otra aplicación del concepto de operador de escalera se encuentra en el tratamiento mecánico cuántico de la energía electrónica de átomos e iones similares al hidrógeno. El vector de Laplace-Runge-Lenz conmuta con el hamiltoniano para un potencial simétrico esférico cuadrado inverso y se puede utilizar para determinar operadores de escalera para este potencial. ^{[7] [8]} Podemos definir los operadores de subida y bajada (basados ​​en el vector clásico de Laplace-Runge-Lenz ) donde es el momento angular, es el momento lineal, es la masa reducida del sistema, es la carga electrónica y es el número atómico del núcleo. De manera análoga a los operadores de escalera de momento angular, se tiene y . $${\displaystyle {\vec {A}}=\left({\frac {1}{Ze^{2}\mu }}\right)\left\{{\vec {L}}\times {\vec {p}}-{\boldsymbol {i}}\hbar {\vec {p}}\right\}+{\frac {\vec {r}}{r}},}$$ ${\displaystyle {\vec {L}}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle A_{+}=A_{x}+iA_{y}}$ ${\displaystyle A_{-}=A_{x}-iA_{y}}$

Los conmutadores necesarios para proceder son y Por lo tanto, y entonces donde el "?" indica un número cuántico naciente que emerge de la discusión. $${\displaystyle [A_{\pm },L_{z}]=\mp {\boldsymbol {i}}\hbar A_{\mp }}$$ $${\displaystyle [A_{\pm },L^{2}]=\mp 2\hbar ^{2}A_{\pm }-2\hbar A_{\pm }L_{z}\pm 2\hbar A_{z}L_{\pm }.}$$ $${\displaystyle A_{+}|?,\ell ,m_{\ell }\rangle \rightarrow |?,\ell ,m_{\ell }+1\rangle }$$ $${\displaystyle -L^{2}\left(A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \right)=-\hbar ^{2}(\ell +1)((\ell +1)+1)\left(A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \right),}$$ $${\displaystyle A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \rightarrow |?,\ell +1,\ell +1\rangle ,}$$

Dadas las ecuaciones de Pauli ^{[9] [10]} IV: y III: y comenzando con la ecuación y desarrollando, se obtiene (asumiendo que es el valor máximo del número cuántico del momento angular consonante con todas las demás condiciones) lo que conduce a la fórmula de Rydberg implicando que , donde es el número cuántico tradicional. $${\displaystyle 1-A\cdot A=-\left({\frac {2E}{\mu Z^{2}e^{4}}}\right)(L^{2}+\hbar ^{2})}$$ $${\displaystyle \left(A\times A\right)_{j}=-\left({\frac {2{\boldsymbol {i}}\hbar E}{\mu Z^{2}e^{4}}}\right)L_{j},}$$ $${\displaystyle A_{-}A_{+}|\ell ^{*},\ell ^{*}\rangle =0}$$ ${\displaystyle \ell ^{*}}$ $${\displaystyle \left(1+{\frac {2E}{\mu Z^{2}e^{4}}}(L^{2}+\hbar ^{2})-i{\frac {2i\hbar E}{\mu Z^{2}e^{4}}}L_{z}\right)|?,\ell ^{*},\ell ^{*}\rangle =0,}$$ $${\displaystyle E_{n}=-{\frac {\mu Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(\ell ^{*}+1)^{2}}},}$$ ${\displaystyle \ell ^{*}+1=n=?}$ ${\displaystyle n}$

Factorización del hamiltoniano

El hamiltoniano para un potencial similar al del hidrógeno se puede escribir en coordenadas esféricas como donde , y el momento radial que es real y autoconjugado. $${\displaystyle H={\frac {1}{2\mu }}\left[p_{r}^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}L^{2}\right]+V(r),}$$ ${\displaystyle V(r)=-Ze^{2}/r}$ $${\displaystyle p_{r}={\frac {x}{r}}p_{x}+{\frac {y}{r}}p_{y}+{\frac {z}{r}}p_{z},}$$

Supongamos que es un vector propio del hamiltoniano, donde es el momento angular, y representa la energía, por lo que , y podemos etiquetar al hamiltoniano como : ${\displaystyle |nl\rangle }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L^{2}|nl\rangle =l(l+1)\hbar ^{2}|nl\rangle }$ ${\displaystyle H_{l}}$ $${\displaystyle H_{l}={\frac {1}{2\mu }}\left[p_{r}^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}l(l+1)\hbar ^{2}\right]+V(r).}$$

El método de factorización fue desarrollado por Infeld y Hull ^[11] para ecuaciones diferenciales. Newmarch y Golding ^[12] lo aplicaron a potenciales esféricamente simétricos utilizando la notación de operadores.

Supongamos que podemos encontrar una factorización del hamiltoniano por operadores como ${\displaystyle C_{l}}$

y para escalares y . El vector puede evaluarse de dos maneras diferentes como que puede reorganizarse como mostrando que es un estado propio de con valor propio Si , entonces , y los estados y tienen la misma energía. $${\displaystyle C_{l}C_{l}^{*}=2\mu H_{l+1}+G_{l}}$$ ${\displaystyle F_{l}}$ ${\displaystyle G_{l}}$ ${\displaystyle C_{l}C_{l}^{*}C_{l}|nl\rangle }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}C_{l}C_{l}^{*}C_{l}|nl\rangle &=(2\mu E_{l}^{n}+F_{l})C_{l}|nl\rangle \\&=(2\mu H_{l+1}+G_{l})C_{l}|nl\rangle ,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle H_{l+1}(C_{l}|nl\rangle )=[E_{l}^{n}+(F_{l}-G_{l})/(2\mu )](C_{l}|nl\rangle ),}$$ ${\displaystyle C_{l}|nl\rangle }$ ${\displaystyle H_{l+1}}$ $${\displaystyle E_{l+1}^{n'}=E_{l}^{n}+(F_{l}-G_{l})/(2\mu ).}$$ ${\displaystyle F_{l}=G_{l}}$ ${\displaystyle n'=n}$ ${\displaystyle |nl\rangle }$ ${\displaystyle C_{l}|nl\rangle }$

Para el átomo de hidrógeno, el establecimiento de una ecuación adecuada para es con Hay un límite superior para el operador de escalera si la energía es negativa (por lo que para algunos ), entonces si se deduce de la ecuación ( 1 ) que y se puede identificar con $${\displaystyle V(r)=-{\frac {B\hbar }{\mu r}}}$$ $${\displaystyle B={\frac {Z\mu e^{2}}{\hbar }},}$$ ${\displaystyle C_{l}}$ $${\displaystyle C_{l}=p_{r}+{\frac {i\hbar (l+1)}{r}}-{\frac {iB}{l+1}}}$$ $${\displaystyle F_{l}=G_{l}={\frac {B^{2}}{(l+1)^{2}}}.}$$ ${\displaystyle C_{l}|nl_{\text{max}}\rangle =0}$ ${\displaystyle l_{\text{max}}}$ $${\displaystyle E_{l}^{n}=-F_{l}/{2\mu }=-{\frac {B^{2}}{2\mu (l_{\text{max}}+1)^{2}}}=-{\frac {\mu Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(l_{\text{max}}+1)^{2}}},}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle l_{\text{max}}+1.}$

Relación con la teoría de grupos

Siempre que hay degeneración en un sistema, suele haber una propiedad y un grupo de simetría relacionados. La degeneración de los niveles de energía para el mismo valor pero con diferentes momentos angulares se ha identificado como la simetría SO(4) del potencial de Coulomb simétrico esférico. ^{[13] [14]} ${\displaystyle n}$

Oscilador armónico isotrópico 3D

El oscilador armónico isótropo 3D tiene un potencial dado por $${\displaystyle V(r)={\tfrac {1}{2}}\mu \omega ^{2}r^{2}.}$$

También se puede gestionar mediante el método de factorización.

Método de factorización

Una factorización adecuada se da por ^[12] con y Entonces y continuando con esto, Ahora el hamiltoniano solo tiene niveles de energía positivos como se puede ver a partir de Esto significa que para algún valor de la serie debe terminar con y entonces Esto está disminuyendo en energía por a menos que para algún valor de . Identificar este valor como da $${\displaystyle C_{l}=p_{r}+{\frac {i\hbar (l+1)}{r}}-i\mu \omega r}$$ $${\displaystyle F_{l}=-(2l+3)\mu \omega \hbar }$$ $${\displaystyle G_{l}=-(2l+1)\mu \omega \hbar .}$$ $${\displaystyle E_{l+1}^{n^{'}}=E_{l}^{n}+{\frac {F_{l}-G_{l}}{2\mu }}=E_{l}^{n}-\omega \hbar ,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{l+2}^{n^{'}}&=E_{l}^{n}-2\omega \hbar \\E_{l+3}^{n^{'}}&=E_{l}^{n}-3\omega \hbar \\&\;\;\vdots \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi |2\mu H_{l}|\psi \rangle &=\langle \psi |C_{l}^{*}C_{l}|\psi \rangle +\langle \psi |(2l+3)\mu \omega \hbar |\psi \rangle \\&=\langle C_{l}\psi |C_{l}\psi \rangle +(2l+3)\mu \omega \hbar \langle \psi |\psi \rangle \\&\geq 0.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle C_{l_{\text{max}}}|nl_{\text{max}}\rangle =0,}$ $${\displaystyle E_{l_{\text{max}}}^{n}=-{\frac {F_{l_{\text{max}}}}{2\mu }}=\left(l_{\text{max}}+{\frac {3}{2}}\right)\omega \hbar .}$$ ${\displaystyle \omega \hbar }$ ${\displaystyle C_{l}|n,l\rangle =0}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle E_{l}^{n}=-F_{l}=\left(n+{\tfrac {3}{2}}\right)\omega \hbar .}$$

De ello se deduce que se da una relación de recursión con la solución. ${\displaystyle n'=n-1}$ $${\displaystyle C_{l}|nl\rangle =\lambda _{l}^{n}|n-1,\,l+1\rangle ,}$$ ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle \lambda _{l}^{n}=-\mu \omega \hbar {\sqrt {2(n-l)}}.}$$

Existe una degeneración causada por el momento angular; hay una degeneración adicional causada por el potencial del oscilador. Considere los estados y aplique los operadores de reducción : dando la secuencia con la misma energía pero con una disminución de 2. Además de la degeneración del momento angular, esto da una degeneración total de ^[15] ${\displaystyle |n,\,n\rangle ,|n-1,\,n-1\rangle ,|n-2,\,n-2\rangle ,\dots }$ ${\displaystyle C^{*}}$ ${\displaystyle C_{n-2}^{*}|n-1,\,n-1\rangle ,C_{n-4}^{*}C_{n-3}^{*}|n-2,\,n-2\rangle ,\dots }$ ${\displaystyle |n,n\rangle ,|n,\,n-2\rangle ,|n,\,n-4\rangle ,\dots }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle (n+1)(n+2)/2}$

Relación con la teoría de grupos

Las degeneraciones del oscilador armónico isótropo 3D están relacionadas con el grupo unitario especial SU(3) ^{[15] [16]}

Historia

Muchas fuentes atribuyen a Paul Dirac la invención de los operadores de escalera. ^[17] El uso de los operadores de escalera por parte de Dirac muestra que el número cuántico del momento angular total debe ser un múltiplo medio entero no negativo de ħ . ${\displaystyle j}$

Véase también

• Operadores de creación y aniquilación
• Oscilador armónico cuántico
• Base de Chevalley

Referencias

1. Fuchs, Jurgen (1992), Álgebras de Lie afines y grupos cuánticos , Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-X
2. Harris, Fulton, Teoría de la representaciónpág. 164
3. de Lange, OL; RE Raab (1986). "Operadores de escalera para momento angular orbital". American Journal of Physics . 54 (4): 372–375. Bibcode :1986AmJPh..54..372D. doi :10.1119/1.14625.
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