Base de Chevalley

En matemáticas, una base de Chevalley para un álgebra de Lie compleja simple es una base construida por Claude Chevalley con la propiedad de que todas las constantes de estructura son números enteros. Chevalley utilizó estas bases para construir análogos de los grupos de Lie sobre cuerpos finitos , llamados grupos de Chevalley . La base de Chevalley es la base de Cartan-Weyl , pero con una normalización diferente.

Los generadores de un grupo de Lie se dividen en los generadores H y E indexados por raíces simples y sus negativos . La base de Cartan-Weyl puede escribirse como ${\displaystyle \pm \alpha _{i}}$

${\displaystyle [H_{i},H_{j}]=0}$

${\displaystyle [H_{i},E_{\alpha }]=\alpha _{i}E_{\alpha }}$

Definiendo la raíz dual o co-raíz de como ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha ^{\vee }={\frac {2\alpha }{(\alpha ,\alpha )}}}$

donde es el producto interno euclidiano. Se puede realizar un cambio de base para definir ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$

${\displaystyle H_{\alpha _{i}}=(\alpha _{i}^{\vee },H)}$

Los números enteros de Cartan son

${\displaystyle A_{ij}=(\alpha _{i},\alpha _{j}^{\vee })}$

Las relaciones resultantes entre los generadores son las siguientes:

${\displaystyle [H_{\alpha _{i}},H_{\alpha _{j}}]=0}$

${\displaystyle [H_{\alpha _{i}},E_{\alpha _{j}}]=A_{ji}E_{\alpha _{j}}}$

${\displaystyle [E_{-\alpha _{i}},E_{\alpha _{i}}]=H_{\alpha _{i}}}$

${\displaystyle [E_{\beta },E_{\gamma }]=\pm (p+1)E_{\beta +\gamma }}$

donde en la última relación es el mayor entero positivo tal que es una raíz y consideramos si no es una raíz. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \gamma -p\beta }$ ${\displaystyle E_{\beta +\gamma }=0}$ ${\displaystyle \beta +\gamma }$

Para determinar el signo en la última relación se fija un ordenamiento de raíces que respeta la adición, es decir, si entonces siempre que las cuatro sean raíces. Entonces llamamos un par de raíces extraespeciales si ambos son positivos y es mínimo entre todos los que ocurren en pares de raíces positivas que satisfacen . El signo en la última relación se puede elegir arbitrariamente siempre que sea un par de raíces extraespeciales. Esto determina entonces los signos para todos los pares de raíces restantes. ${\displaystyle \beta \prec \gamma }$ ${\displaystyle \beta +\alpha \prec \gamma +\alpha }$ ${\displaystyle (\beta ,\gamma )}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta _{0}}$ ${\displaystyle (\beta _{0},\gamma _{0})}$ ${\displaystyle \beta _{0}+\gamma _{0}=\beta +\gamma }$ ${\displaystyle (\beta ,\gamma )}$

Referencias

• Carter, Roger W. (1993). Grupos finitos de tipo Lie: clases de conjugación y caracteres complejos . Biblioteca de clásicos de Wiley. Chichester: Wiley. ISBN 978-0-471-94109-5.
• Chevalley, Claude (1955). "Sur ciertos grupos simples". Revista Matemática Tohoku (en francés). 7 (1–2): 14–66. doi : 10.2748/tmj/1178245104 . Señor  0073602. Zbl  0066.01503.
• Tetas, Jacques (1966). "Sur les constantes de estructura y le théorème d'existence des algèbres de Lie semi-simples". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS (en francés). 31 : 21–58. SEÑOR  0214638. Zbl  0145.25804.