Onda trocoidal

Solución de ecuaciones de Euler

Elevación de la superficie de una onda trocoidal (azul oscuro) que se propaga hacia la derecha. Las trayectorias de las partículas libres de la superficie son círculos cerrados (en cian) y la velocidad del flujo se muestra en rojo, para las partículas negras. La altura de la ola (diferencia entre la elevación de la cresta y del valle) se denota como , la longitud de onda como y la velocidad de fase como ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle c.}$

En dinámica de fluidos , una onda trocoidal u onda de Gerstner es una solución exacta de las ecuaciones de Euler para ondas gravitacionales superficiales periódicas . Describe una onda progresiva de forma permanente en la superficie de un fluido incompresible de profundidad infinita. La superficie libre de esta solución de onda es una trocoide invertida (al revés) , con crestas más pronunciadas y valles planos. Esta solución de onda fue descubierta por Gerstner en 1802 y redescubierta independientemente por Rankine en 1863.

El campo de flujo asociado con la onda trocoidal no es irrotacional : tiene vorticidad . La vorticidad tiene una fuerza específica y una distribución vertical tal que las trayectorias de las parcelas de fluido son círculos cerrados. Esto contrasta con la observación experimental habitual de la deriva de Stokes asociada con el movimiento de las olas. Además, la velocidad de fase es independiente de la amplitud de la onda trocoidal , a diferencia de otras teorías de ondas no lineales (como las de la onda de Stokes y la onda cnoidal ) y observaciones. Por estas razones, así como por el hecho de que faltan soluciones para la profundidad finita del fluido, las ondas trocoidales tienen un uso limitado para aplicaciones de ingeniería.

En gráficos por computadora , la representación de olas oceánicas de aspecto realista se puede realizar mediante el uso de las llamadas ondas de Gerstner . Se trata de una extensión multidireccional y multicomponente de la onda de Gerstner tradicional, que a menudo utiliza transformadas rápidas de Fourier para hacer posible la animación (en tiempo real) . ^[1]

Descripción de la onda trocoidal clásica

Las contribuciones vectoriales de la fuerza gravitacional (gris medio) y el gradiente de la presión (negro) se combinan de una manera sorprendente para producir el movimiento circular uniforme de las partículas del fluido. Para el movimiento circular uniforme, la fuerza neta (gris claro) tiene una magnitud constante y siempre apunta hacia el centro del círculo. Las partículas del fluido están coloreadas según sus valores. Dado que la presión es una función únicamente de , la animación ilustra cómo los vectores del gradiente de presión son siempre perpendiculares a las bandas de color y sus magnitudes son mayores cuando las bandas de color están más juntas. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$

Utilizando una especificación lagrangiana del campo de flujo , el movimiento de las parcelas de fluido es – para una onda periódica en la superficie de una capa de fluido de profundidad infinita: ^[2] donde y son las posiciones de las parcelas de fluido en el plano en el tiempo , con la coordenada horizontal y la coordenada vertical (positiva hacia arriba, en la dirección opuesta a la gravedad). Las coordenadas lagrangianas etiquetan las parcelas de fluido, con los centros de las órbitas circulares – alrededor de las cuales la parcela de fluido correspondiente se mueve con velocidad constante Además es el número de onda (y la longitud de onda ), mientras que es la velocidad de fase con la que la onda se propaga en la dirección -. La velocidad de fase satisface la relación de dispersión : que es independiente de la no linealidad de la onda (es decir, no depende de la altura de la ola ), y esta velocidad de fase es la misma que para las ondas lineales de Airy en aguas profundas. $${\displaystyle {\begin{aligned}X(a,b,t)&=a+{\frac {e^{kb}}{k}}\sin \left(k(a+ct)\right),\\Y(a,b,t)&=b-{\frac {e^{kb}}{k}}\cos \left(k(a+ct)\right),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle x=X(a,b,t)}$ ${\displaystyle y=Y(a,b,t)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (x,y)=(a,b)}$ ${\displaystyle c\,\exp(kb).}$ ${\textstyle k=2\pi /\lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle c^{2}={\frac {g}{k}},}$$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle c}$

La superficie libre es una línea de presión constante, y se encuentra que corresponde a una línea , donde es una constante (no positiva). Las ondas más altas se presentan con una cresta en forma de cúspide . Nótese que la onda de Stokes más alta (irrotacional) tiene un ángulo de cresta de 120°, en lugar de los 0° de la onda trocoidal rotacional. ^[3] ${\displaystyle b=b_{s}}$ ${\displaystyle b_{s}}$ ${\displaystyle b_{s}=0}$

La altura de ola de la onda trocoidal es La onda es periódica en la dirección , con longitud de onda y también periódica en el tiempo con período ${\textstyle H={\frac {2}{k}}\exp(kb_{s}).}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \lambda ;}$ ${\textstyle T=\lambda /c={\sqrt {2\pi \lambda /g}}.}$

La vorticidad bajo la onda trocoidal es: ^[2] varía con la elevación lagrangiana y disminuye rápidamente con la profundidad debajo de la superficie libre. ${\displaystyle \varpi }$ $${\displaystyle \varpi (a,b,t)=-{\frac {2kce^{2kb}}{1-e^{2kb}}},}$$ ${\displaystyle b}$

En gráficos por computadora

Animación (5 MB) de olas de oleaje utilizando ondas Gerstner multidireccionales y multicomponentes para la simulación de la superficie del océano y POV-Ray para la representación 3D . (La animación es periódica en el tiempo; se puede configurar para que se repita después de hacer clic derecho sobre ella mientras se reproduce).

Una extensión multidireccional y multicomponente de la descripción lagrangiana del movimiento de superficie libre –como se usa en la onda trocoidal de Gerstner– se usa en gráficos de computadora para la simulación de olas oceánicas. ^[1] Para la onda clásica de Gerstner, el movimiento del fluido satisface exactamente las ecuaciones de flujo no lineal , incompresible e inviscioso debajo de la superficie libre. Sin embargo, las ondas de Gerstner extendidas en general no satisfacen exactamente estas ecuaciones de flujo (aunque las satisfacen aproximadamente, es decir, para la descripción lagrangiana linealizada por flujo potencial ). Esta descripción del océano se puede programar de manera muy eficiente mediante el uso de la transformada rápida de Fourier (FFT). Además, las olas oceánicas resultantes de este proceso parecen realistas, como resultado de la deformación no lineal de la superficie libre (debido a la especificación lagrangiana del movimiento): crestas más agudas y valles más planos .

La descripción matemática de la superficie libre en estas ondas de Gerstner puede ser la siguiente: ^[1] las coordenadas horizontales se denotan como y , y la coordenada vertical es . El nivel medio de la superficie libre está en y la dirección positiva es hacia arriba, oponiéndose a la fuerza de gravedad de la Tierra La superficie libre se describe paramétricamente como una función de los parámetros y así como del tiempo Los parámetros están conectados a los puntos de superficie media alrededor de los cuales el fluido se parcela en la órbita de la superficie ondulada. La superficie libre se especifica a través de y con: donde es la función tangente hiperbólica , es el número de componentes de onda considerados, es la amplitud del componente y su fase . Además es su número de onda y su frecuencia angular . Los dos últimos, y no se pueden elegir independientemente sino que están relacionados a través de la relación de dispersión : con la profundidad media del agua. En aguas profundas ( ) la tangente hiperbólica va a uno: Los componentes y del vector de número de onda horizontal determinan la dirección de propagación de la onda del componente ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle g.}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta ,}$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle (x,y,z)=(\alpha ,0,\beta )}$ ${\displaystyle x=\xi (\alpha ,\beta ,t),}$ ${\displaystyle y=\zeta (\alpha ,\beta ,t)}$ ${\displaystyle z=\eta (\alpha ,\beta ,t)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\xi &=\alpha -\sum _{m=1}^{M}{\frac {k_{x,m}}{k_{m}}}\,{\frac {a_{m}}{\tanh \left(k_{m}\,h\right)}}\,\sin \left(\theta _{m}\right),\\\eta &=\beta -\sum _{m=1}^{M}{\frac {k_{z,m}}{k_{m}}}\,{\frac {a_{m}}{\tanh \left(k_{m}\,h\right)}}\,\sin \left(\theta _{m}\right),\\\zeta &=\sum _{m=1}^{M}a_{m}\,\cos \left(\theta _{m}\right),\\\theta _{m}&=k_{x,m}\,\alpha +k_{z,m}\,\beta -\omega _{m}\,t-\phi _{m},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \tanh }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle a_{m}}$ ${\displaystyle {m=1\dots M}}$ ${\displaystyle \phi _{m}}$ ${\textstyle k_{m}={\sqrt {\scriptstyle k_{x,m}^{2}+k_{z,m}^{2}}}}$ ${\displaystyle \omega _{m}}$ ${\displaystyle k_{m}}$ ${\displaystyle \omega _{m},}$ $${\displaystyle \omega _{m}^{2}=g\,k_{m}\tanh \left(k_{m}\,h\right),}$$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h\to \infty }$ ${\displaystyle {\tanh(k_{m}\,h)\to 1.}}$ ${\displaystyle k_{x,m}}$ ${\displaystyle k_{z,m}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}_{m}}$ ${\displaystyle m.}$

La elección de los diversos parámetros y para una cierta profundidad media determina la forma de la superficie del océano. Se necesita una elección inteligente para explotar la posibilidad de un cálculo rápido mediante la FFT. Véase, por ejemplo, Tessendorf (2001) para una descripción de cómo hacer esto. La mayoría de las veces, los números de onda se eligen en una cuadrícula regular en el espacio. A continuación, las amplitudes y fases se eligen aleatoriamente de acuerdo con el espectro de varianza-densidad de un cierto estado del mar deseado . Finalmente, mediante la FFT, la superficie del océano se puede construir de tal manera que sea periódica tanto en el espacio como en el tiempo, lo que permite el teselado , creando periodicidad en el tiempo al cambiar ligeramente las frecuencias de tal manera que para ${\displaystyle a_{m},k_{x,m},k_{z,m}}$ ${\displaystyle \phi _{m}}$ ${\displaystyle m=1,\dots ,M,}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (k_{x},k_{z})}$ ${\displaystyle a_{m}}$ ${\displaystyle \phi _{m}}$ ${\displaystyle \omega _{m}}$ ${\displaystyle \omega _{m}=m\,\Delta \omega }$ ${\displaystyle m=1,\dots ,M.}$

En el renderizado, también suele ser necesario el vector normal a la superficie. Estos se pueden calcular utilizando el producto vectorial ( ) como: ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$ ${\displaystyle \times }$ $${\displaystyle {\boldsymbol {n}}={\frac {\partial {\boldsymbol {s}}}{\partial \alpha }}\times {\frac {\partial {\boldsymbol {s}}}{\partial \beta }}\quad {\text{with}}\quad {\boldsymbol {s}}(\alpha ,\beta ,t)={\begin{pmatrix}\xi (\alpha ,\beta ,t)\\\zeta (\alpha ,\beta ,t)\\\eta (\alpha ,\beta ,t)\end{pmatrix}}.}$$

El vector normal unitario entonces tiene la norma de ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{n}={\boldsymbol {n}}/\|{\boldsymbol {n}}\|,}$ ${\displaystyle \|{\boldsymbol {n}}\|}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}.}$

Notas

1. Tessendorf (2001)
2. Lamb (1994, §251)
3. Stokes, GG (1880), "Suplemento a un artículo sobre la teoría de las ondas oscilatorias", Mathematical and Physical Papers, Volumen I, Cambridge University Press, págs. 314-326, OCLC  314316422

Referencias

• Gerstner, FJ (1802), "Theorie der Wellen", Abhandlunger der Königlichen Böhmischen Geselschaft der Wissenschaften , Praga. Reimpreso en: Annalen der Physik 32 (8), págs. 412–445, 1809.
• Craik, ADD (2004), "Los orígenes de la teoría de las ondas de agua", Annual Review of Fluid Mechanics , 36 : 1–28, Bibcode :2004AnRFM..36....1C, doi :10.1146/annurev.fluid.36.050802.122118
• Lamb, H. (1994), Hidrodinámica (6.ª ed.), Cambridge University Press, §251, ISBN 978-0-521-45868-9, OCLC  30070401Publicada originalmente en 1879, la sexta edición ampliada apareció por primera vez en 1932.
• Rankine, WJM (1863), "Sobre la forma exacta de las ondas cerca de la superficie de las aguas profundas", Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 153 : 127–138, Bibcode :1863RSPT..153..127M, doi : 10.1098/rstl.1863.0006
• Tessendorf, J. (2001), "Simulación del agua del océano" (PDF) , SIGGRAPH 2001