A medida que el número entero positivo se hace cada vez más grande, el valor se acerca arbitrariamente a . Decimos que "el límite de la sucesión es igual a ".
En matemáticas , el límite de una secuencia es el valor al que "tienden" los términos de una secuencia , y a menudo se denota utilizando el símbolo (por ejemplo, ). [1] Si tal límite existe y es finito, la secuencia se llama convergente . [2] Una secuencia que no converge se dice que es divergente . [3] Se dice que el límite de una secuencia es la noción fundamental en la que se basa en última instancia todo el análisis matemático . [1]
Los límites se pueden definir en cualquier espacio métrico o topológico , pero normalmente se encuentran por primera vez en los números reales .
Grégoire de Saint-Vincent dio la primera definición de límite (término) de una serie geométrica en su obra Opus Geometricum (1647): "El término de una progresión es el fin de la serie, al que ninguna progresión puede llegar, ni siquiera si continúa en el infinito, pero al que puede aproximarse más cerca que un segmento dado". [4]
Pietro Mengoli anticipó la idea moderna de límite de una sucesión con su estudio de las cuasiproporciones en Geometriae speciosae elementa (1659). Utilizó el término cuasi-infinito para lo ilimitado y cuasi-nulo para lo que se desvanece .
Newton se ocupó de las series en sus obras Análisis con series infinitas (escritas en 1669, circuladas en manuscrito, publicadas en 1711), Método de fluxiones y series infinitas (escritas en 1671, publicadas en traducción inglesa en 1736, el original en latín se publicó mucho más tarde) y Tractatus de Quadratura Curvarum (escritas en 1693, publicadas en 1704 como apéndice a su Óptica ). En esta última obra, Newton considera el desarrollo binomial de , que luego linealiza tomando el límite como tiende a .
En el siglo XVIII, matemáticos como Euler consiguieron sumar algunas series divergentes deteniéndose en el momento justo; no les importaba demasiado si existía un límite, siempre que fuera posible calcularlo. A finales de siglo, Lagrange, en su Théorie des fonctions analytiques (1797), opinó que la falta de rigor impedía un mayor desarrollo del cálculo. Gauss, en su estudio de las series hipergeométricas (1813), investigó por primera vez de forma rigurosa las condiciones en las que una serie convergía hacia un límite.
La definición moderna de un límite (para cualquier número existe un índice tal que ...) fue dada por Bernard Bolzano ( Der binomische Lehrsatz , Praga 1816, que pasó inadvertida en su época), y por Karl Weierstrass en la década de 1870.
Números reales
En los números reales , un número es el límite de la secuencia , si los números en la secuencia se acercan cada vez más a , y no a cualquier otro número.
Ejemplos
Si para constante , entonces . [prueba 1] [5]
Si , entonces . [prueba 2] [5]
Si cuando es par y cuando es impar, entonces . (El hecho de que cuando sea impar es irrelevante).
Dado cualquier número real, se puede construir fácilmente una secuencia que converja a ese número tomando aproximaciones decimales. Por ejemplo, la secuencia converge a . La representación decimal es el límite de la secuencia anterior, definida por
En otras palabras, para cada medida de cercanía , los términos de la secuencia están eventualmente tan cerca del límite. Se dice que la secuencia converge o tiende al límite .
Simbólicamente esto es:
.
Si una secuencia converge a un límite , entonces es convergente y es el único límite; en caso contrario, es divergente . Una secuencia que tiene cero como límite a veces se denomina secuencia nula .
Ilustración
Ejemplo de una secuencia que converge al límite
Independientemente de lo que tengamos, hay un índice , de modo que la secuencia se encuentra después completamente en el tubo épsilon .
También hay un índice más pequeño , de modo que la secuencia quede después dentro del tubo épsilon .
Para cada uno sólo hay un número finito de miembros de secuencia fuera del tubo épsilon.
Propiedades
Algunas otras propiedades importantes de los límites de secuencias reales incluyen las siguientes:
Cuando existe, el límite de una secuencia es único. [5]
Los límites de sucesiones se comportan bien con respecto a las operaciones aritméticas habituales . Si y existe, entonces
[5]
[5]
[5]
proporcionado [5]
Para cualquier función continua , si existe, entonces también existe. De hecho, cualquier función de valor real es continua si y solo si conserva los límites de las sucesiones (aunque esto no es necesariamente cierto cuando se utilizan nociones más generales de continuidad).
Si para todos es mayor que para algunos , entonces .
Una secuencia es convergente si y sólo si cada subsecuencia es convergente.
Si cada subsecuencia de una secuencia tiene su propia subsecuencia que converge al mismo punto, entonces la secuencia original converge a ese punto.
Estas propiedades se utilizan ampliamente para demostrar límites, sin necesidad de utilizar directamente la engorrosa definición formal. Por ejemplo, una vez que se demuestra que , resulta fácil demostrar (utilizando las propiedades anteriores) que (suponiendo que ).
Límites infinitos
Se dice que una secuencia tiende al infinito , escrito
, o
,
Si se cumple lo siguiente:
Para cada número real , existe un número natural tal que para cada número natural , tenemos ; es decir, los términos de la secuencia son eventualmente mayores que cualquier fijo .
Simbólicamente esto es:
.
De manera similar, decimos que una secuencia tiende a menos infinito , escrito
, o
,
Si se cumple lo siguiente:
Para cada número real , existe un número natural tal que para cada número natural , tenemos ; es decir, los términos de la secuencia son eventualmente menores que cualquier fijo .
Simbólicamente esto es:
.
Si una sucesión tiende a infinito o a menos infinito, entonces es divergente. Sin embargo, una sucesión divergente no necesariamente tiende a más o menos infinito, y la sucesión es un ejemplo de ello.
Esto coincide con la definición dada para los números reales cuando y .
Propiedades
Cuando existe, el límite de una secuencia es único, ya que los puntos distintos están separados por una distancia positiva, por lo que para menos de la mitad de esta distancia, los términos de la secuencia no pueden estar dentro de una distancia de ambos puntos.
Para cualquier función continua f , si existe, entonces . De hecho, una función f es continua si y solo si conserva los límites de las sucesiones.
Secuencias de Cauchy
Una secuencia de Cauchy es una secuencia cuyos términos terminan por acercarse arbitrariamente entre sí, después de que se hayan descartado suficientes términos iniciales. La noción de secuencia de Cauchy es importante en el estudio de secuencias en espacios métricos y, en particular, en el análisis real . Un resultado particularmente importante en el análisis real es el criterio de Cauchy para la convergencia de secuencias : una secuencia de números reales es convergente si y solo si es una secuencia de Cauchy. Esto sigue siendo cierto en otros espacios métricos completos .
Espacios topológicos
Definición
Un punto del espacio topológico es unlímite opunto límite [7][8]de lasecuencia si:
Para cada vecindad de , existe alguna tal que para cada , tenemos . [9]
Esto coincide con la definición dada para los espacios métricos, si es un espacio métrico y es la topología generada por .
En un espacio de Hausdorff , los límites de las sucesiones son únicos siempre que existan. Esto no tiene por qué ser así en espacios que no sean de Hausdorff; en particular, si dos puntos y son topológicamente indistinguibles , entonces cualquier sucesión que converja a debe converger a y viceversa.
Números hiperreales
La definición del límite mediante los números hiperreales formaliza la intuición de que para un valor "muy grande" del índice, el término correspondiente está "muy cerca" del límite. Más precisamente, una sucesión real tiende a L si para cada hipernatural infinito , el término está infinitamente cerca de (es decir, la diferencia es infinitesimal ). De manera equivalente, L es la parte estándar de :
.
Por tanto, el límite se puede definir mediante la fórmula
.
donde el límite existe si y sólo si el lado derecho es independiente de la elección de un infinito .
Secuencia de más de un índice
A veces, también se puede considerar una secuencia con más de un índice, por ejemplo, una secuencia doble . Esta secuencia tiene un límite si se acerca cada vez más a cuando tanto n como m se vuelven muy grandes.
Ejemplo
Si para constante , entonces .
Si , entonces .
Si , entonces el límite no existe. Dependiendo de la "velocidad de crecimiento" relativa de y , esta secuencia puede acercarse a cualquier valor entre y .
Para cada número real , existe un número natural tal que, para cada par de números naturales , tenemos . [10]
En otras palabras, para cada medida de cercanía , los términos de la secuencia están eventualmente tan cerca del límite. Se dice que la secuencia converge o tiende al límite .
Simbólicamente esto es:
.
El límite doble es diferente de tomar primero el límite en n y luego en m . Esto último se conoce como límite iterado . Dado que tanto el límite doble como el límite iterado existen, tienen el mismo valor. Sin embargo, es posible que uno de ellos exista pero el otro no.
Límites infinitos
Se dice que una secuencia tiende al infinito , escrito
, o
,
Si se cumple lo siguiente:
Para cada número real , existe un número natural tal que para cada par de números naturales , tenemos ; es decir, los términos de la secuencia son eventualmente mayores que cualquier fijo .
Simbólicamente esto es:
.
De manera similar, una secuencia tiende a menos infinito , escrito
, o
,
Si se cumple lo siguiente:
Para cada número real , existe un número natural tal que para cada par de números naturales , tenemos ; es decir, los términos de la secuencia son eventualmente menores que cualquier fijo .
Simbólicamente esto es:
.
Si una sucesión tiende a infinito o a menos infinito, entonces es divergente. Sin embargo, una sucesión divergente no necesariamente tiende a más o menos infinito, y la sucesión es un ejemplo de ello.
Límites puntuales y límites uniformes
Para una doble sucesión , podemos tomar el límite en uno de los índices, por ejemplo, , para obtener una única sucesión . De hecho, hay dos posibles significados al tomar este límite. El primero se llama límite puntual , denotado
Para cada número real , existe un número natural tal que, para cada número natural y para cada número natural , tenemos . [11]
Simbólicamente esto es:
.
En esta definición, la elección de es independiente de . En otras palabras, la elección de es uniformemente aplicable a todos los números naturales . Por lo tanto, se puede ver fácilmente que la convergencia uniforme es una propiedad más fuerte que la convergencia puntual: la existencia de un límite uniforme implica la existencia e igualdad de un límite puntual:
Para una secuencia doble , podemos tomar el límite en uno de los índices, por ejemplo, para obtener una secuencia simple , y luego tomar el límite en el otro índice, es decir , para obtener un número . Simbólicamente,
.
Este límite se conoce como límite iterado de la doble sucesión. El orden de toma de los límites puede afectar el resultado, es decir,
en general.
Una condición suficiente de igualdad la da el teorema de Moore-Osgood , que requiere que el límite sea uniforme en . [10]
^ Weisstein, Eric W. "Secuencia convergente". mathworld.wolfram.com . Consultado el 18 de agosto de 2020 .
^ Courant (1961), pág. 39.
^ Van Looy, H. (1984). Una cronología y análisis histórico de los manuscritos matemáticos de Gregorius a Sancto Vincentio (1584-1667). Historia Mathematica, 11(1), 57-75.
^ abcdefg "Límites de las secuencias | Wiki brillante de matemáticas y ciencias". brillante.org . Consultado el 18 de agosto de 2020 .
^ Weisstein, Eric W. "Límite". mathworld.wolfram.com . Consultado el 18 de agosto de 2020 .
^ Dugundji 1966, págs. 209-210.
^ Császár 1978, pág. 61.
^ Zeidler, Eberhard (1995). Análisis funcional aplicado: principios fundamentales y sus aplicaciones (1.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. p. 29. ISBN978-0-387-94422-7.
^ ab Zakon, Elias (2011). "Capítulo 4. Límites y continuidad de funciones". Análisis matemático, volumen I. pág. 223. ISBN9781617386473.
^ ab Habil, Eissa (2005). «Secuencias dobles y series dobles» . Consultado el 28 de octubre de 2022 .