Número irracional cuadrático

Concepto matemático

En matemáticas , un número irracional cuadrático (también conocido como irracional cuadrático o surd cuadrático ) es un número irracional que es la solución de alguna ecuación cuadrática con coeficientes racionales que es irreducible sobre los números racionales . ^[1] Dado que las fracciones en los coeficientes de una ecuación cuadrática se pueden borrar multiplicando ambos lados por su mínimo común denominador , un irracional cuadrático es una raíz irracional de alguna ecuación cuadrática con coeficientes enteros . Los números irracionales cuadráticos, un subconjunto de los números complejos , son números algebraicos de grado 2 , y por tanto pueden expresarse como

${\displaystyle {a+b{\sqrt {c}} \over d},}$

para números enteros a , b , c , d ; con b , c y d distintos de cero, y con c libre de cuadrados . Cuando c es positiva, obtenemos números irracionales cuadráticos reales , mientras que una c negativa da números irracionales cuadráticos complejos que no son números reales . Esto define una inyección de los irracionales cuadráticos a cuádruples de números enteros, por lo que su cardinalidad es como mucho contable ; dado que, por otro lado, cada raíz cuadrada de un número primo es un irracional cuadrático distinto, y hay muchos números primos contables, al menos son contables; por tanto, los irracionales cuadráticos son un conjunto contable .

Los irracionales cuadráticos se utilizan en teoría de campos para construir extensiones de campo del campo de números racionales Q. Dado el entero libre de cuadrados c , el aumento de Q mediante irracionales cuadráticos usando √ c produce un campo cuadrático Q ( √ c ). Por ejemplo, los inversos de los elementos de Q ( √ c ) tienen la misma forma que los números algebraicos anteriores:

${\displaystyle {d \over a+b{\sqrt {c}}}={ad-bd{\sqrt {c}} \over a^{2}-b^{2}c}.}$

Los irracionales cuadráticos tienen propiedades útiles, especialmente en relación con las fracciones continuas , donde tenemos el resultado de que todos los irracionales cuadráticos reales, y sólo los irracionales cuadráticos reales, tienen formas de fracción continua periódica . Por ejemplo

${\displaystyle {\sqrt {3}}=1.732\ldots =[1;1,2,1,2,1,2,\ldots ]}$

Las fracciones continuas periódicas se pueden colocar en correspondencia uno a uno con los números racionales. La correspondencia la proporciona explícitamente la función de signo de interrogación de Minkowski , y en ese artículo se da una construcción explícita. Es completamente análoga a la correspondencia entre números racionales y cadenas de dígitos binarios que tienen una cola que eventualmente se repite, que también proporciona la función del signo de interrogación. Estas secuencias repetidas corresponden a órbitas periódicas de la transformación diádica (para los dígitos binarios) y al mapa de Gauss para fracciones continuas. ${\displaystyle h(x)=1/x-\lfloor 1/x\rfloor }$

Números irracionales cuadráticos reales y formas cuadráticas binarias indefinidas

Podemos reescribir una irracionalidad cuadrática de la siguiente manera:

${\displaystyle {\frac {a+b{\sqrt {c}}}{d}}={\frac {a+{\sqrt {b^{2}c}}}{d}}.}$

De ello se deduce que todo número irracional cuadrático se puede escribir en la forma

${\displaystyle {\frac {a+{\sqrt {c}}}{d}}.}$

Esta expresión no es única.

Fije un entero positivo no cuadrado congruente con o módulo y defina un conjunto como ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle S_{c}}$

${\displaystyle S_{c}=\left\{{\frac {a+{\sqrt {c}}}{d}}\colon a,d{\text{ integers, }}\,d{\text{ even}},\,a^{2}\equiv c{\pmod {2d}}\right\}.}$

Toda irracionalidad cuadrática está en algún conjunto , ya que las condiciones de congruencia se pueden cumplir escalando el numerador y el denominador por un factor apropiado. ${\displaystyle S_{c}}$

una matriz

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}}$

con entradas de números enteros y se puede utilizar para transformar un número en . El número transformado es ${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =1}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle S_{c}}$

${\displaystyle z={\frac {\alpha y+\beta }{\gamma y+\delta }}}$

Si está dentro , entonces también lo está. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle S_{c}}$ ${\displaystyle z}$

La relación entre y arriba es una relación de equivalencia . (Esto se debe, por ejemplo, a que la transformación anterior proporciona una acción de grupo del grupo de matrices enteras con determinante 1 en el conjunto ). Por lo tanto, particiones en clases de equivalencia . Cada clase de equivalencia comprende una colección de irracionalidades cuadráticas y cada par es equivalente mediante la acción de alguna matriz. El teorema de Serret implica que las expansiones regulares en fracciones continuas de irracionalidades cuadráticas equivalentes son eventualmente las mismas, es decir, sus secuencias de cocientes parciales tienen la misma cola. Por lo tanto, todos los números en una clase de equivalencia tienen expansiones fraccionarias continuas que eventualmente son periódicas con la misma cola. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle S_{c}}$ ${\displaystyle S_{c}}$

Hay un número finito de clases de equivalencia de irracionalidades cuadráticas en . La prueba estándar de esto implica considerar el mapa desde formas cuadráticas binarias de discriminante hasta dado por ${\displaystyle S_{c}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle S_{c}}$

${\displaystyle \phi (tx^{2}+uxy+vy^{2})={\frac {-u+{\sqrt {c}}}{2t}}}$

Un cálculo muestra que es una biyección que respeta la acción de la matriz en cada conjunto. Las clases de equivalencia de irracionalidades cuadráticas están entonces en biyección con las clases de equivalencia de formas cuadráticas binarias, y Lagrange demostró que hay un número finito de clases de equivalencia de formas cuadráticas binarias de un discriminante dado. ${\displaystyle \phi }$

Mediante la biyección , expandir un número en una fracción continua corresponde a reducir la forma cuadrática. La naturaleza eventualmente periódica de la fracción continua se refleja entonces en la naturaleza eventualmente periódica de la órbita de una forma cuadrática bajo reducción, con irracionalidades cuadráticas reducidas (aquellas con una fracción continua puramente periódica) correspondientes a formas cuadráticas reducidas. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle S_{c}}$

La raíz cuadrada de algo no cuadrado es irracional

La definición de irracionales cuadráticos requiere que cumplan dos condiciones: deben satisfacer una ecuación cuadrática y deben ser irracionales. Las soluciones de la ecuación cuadrática ax ²  +  bx  +  c  = 0 son

${\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

Por tanto, los irracionales cuadráticos son precisamente aquellos números reales en esta forma que no son racionales. Dado que b y 2 a son números enteros, preguntar cuándo la cantidad anterior es irracional es lo mismo que preguntar cuándo la raíz cuadrada de un número entero es irracional. La respuesta a esto es que la raíz cuadrada de cualquier número natural que no sea un número cuadrado es irracional.

La raíz cuadrada de 2 fue el primer número que se demostró que era irracional. Teodoro de Cirene demostró la irracionalidad de las raíces cuadradas de números naturales no cuadrados hasta 17, pero se detuvo ahí, probablemente porque el álgebra que utilizó no podía aplicarse a la raíz cuadrada de números mayores que 17. El Libro 10 de los Elementos de Euclides está dedicado a la clasificación de magnitudes irracionales. La prueba original de la irracionalidad de los números naturales no cuadrados depende del lema de Euclides .

Muchas pruebas de la irracionalidad de las raíces cuadradas de números naturales no cuadrados asumen implícitamente el teorema fundamental de la aritmética , que fue demostrado por primera vez por Carl Friedrich Gauss en sus Disquisitiones Arithmeticae . Esto afirma que cada número entero tiene una factorización única en números primos. Para cualquier número racional no entero en términos mínimos, debe haber un primo en el denominador que no se divida en el numerador. Cuando el numerador se eleva al cuadrado, ese primo aún no se dividirá debido a la factorización única. Por tanto, el cuadrado de un número racional no entero es siempre un número no entero; por contrapositiva , la raíz cuadrada de un número entero es siempre otro número entero o irracional.

Euclides utilizó una versión restringida del teorema fundamental y algunos argumentos cuidadosos para demostrar el teorema. Su prueba se encuentra en la Proposición 9 del Libro X de los Elementos de Euclides . ^[2]

Sin embargo, en realidad no se requiere el teorema fundamental de la aritmética para demostrar el resultado. Hay pruebas independientes de Richard Dedekind , ^[3] entre otros. La siguiente prueba fue adaptada por Colin Richard Hughes a partir de una prueba de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 encontrada por Theodor Estermann en 1975. ^{[4] [5]}

Si D es un número natural no cuadrado, entonces existe un número natural n tal que:

norte ² < re < ( norte  + 1 ) ² ,

así en particular

0 < √ re - norte < 1.

Si la raíz cuadrada de D es racional, entonces se puede escribir como fracción irreducible p / q , de modo que q es el menor denominador posible y, por tanto, el número más pequeño para el cual q √ D también es un número entero. Entonces:

( √ D − n ) q √ D = qD − nq √ D

que por tanto también es un número entero. Pero 0 < ( √ D  −  n ) < 1 entonces ( √ D  −  n ) q  <  q . Por lo tanto ( √ D  −  n ) q es un número entero menor que q que multiplicado por √ D da un número entero. Esto es una contradicción, porque q se definió como el número más pequeño. Por tanto, √ D no puede ser racional.

Ver también

• campo de números algebraicos
• Apótoma (matemáticas)
• fracción continua periódica
• Cocientes parciales restringidos
• Entero cuadrático

Referencias

1. Jörn Steuding, Análisis diofántico , (2005), Chapman & Hall, p.72.
2. Euclides. "Proposición 9 del libro X de los elementos de Euclides". DEJoyce, Universidad Clark . Consultado el 29 de octubre de 2008 .
3. Bogomolny, Alejandro . "La raíz cuadrada de 2 es irracional". Miscelánea interactiva de matemáticas y acertijos . Consultado el 5 de mayo de 2016 .
4. Hughes, Colin Richard (1999). "Raíces irracionales". Gaceta Matemática . 83 (498): 502–503. doi :10.2307/3620972. JSTOR  3620972. S2CID  149602021.
5. Estermann, Theodor (1975). "La irracionalidad de √2". Gaceta Matemática . 59 (408): 110. doi : 10.2307/3616647. JSTOR  3616647. S2CID  126072097.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Número irracional cuadrático". MundoMatemático .
• Calculadora de fracción continua para irracionales cuadráticos
• Prueba de que e no es un irracional cuadrático