Dominio integralmente cerrado

Estructura algebraica

En álgebra conmutativa , un dominio integralmente cerrado A es un dominio integral cuyo cierre integral en su campo de fracciones es A mismo. Expresado en palabras, esto significa que si x es un elemento del campo de fracciones de A que es una raíz de un polinomio mónico con coeficientes en A, entonces x es en sí mismo un elemento de A. Muchos dominios bien estudiados son integralmente cerrados, como lo muestra la siguiente cadena de inclusiones de clases :

rngs ⊃ anillos ⊃ anillos conmutativos ⊃ dominios integrales ⊃ dominios integralmente cerrados ⊃ dominios MCD ⊃ dominios de factorización única ⊃ dominios ideales principales ⊃ dominios euclidianos ⊃ campos ⊃ campos algebraicamente cerrados

Un ejemplo explícito es el anillo de números enteros Z , un dominio euclidiano . Todos los anillos locales regulares también son integralmente cerrados.

Un anillo cuyas localizaciones en todos los ideales primos son dominios integralmente cerrados es un anillo normal .

Propiedades básicas

Sea A un dominio integralmente cerrado con cuerpo de fracciones K y sea L una extensión de cuerpo de K. Entonces x ∈ L es integral sobre A si y solo si es algebraico sobre K y su polinomio minimal sobre K tiene coeficientes en A. ^[1] En particular, esto significa que cualquier elemento de L integral sobre A es raíz de un polinomio mónico en A [ X ] que es irreducible en K [ X ].

Si A es un dominio contenido en un cuerpo K, podemos considerar la clausura integral de A en K (es decir, el conjunto de todos los elementos de K que son integrales sobre A ). Esta clausura integral es un dominio integralmente cerrado.

Los dominios integralmente cerrados también desempeñan un papel en la hipótesis del teorema de Going-down . El teorema establece que si A ⊆ B es una extensión integral de dominios y A es un dominio integralmente cerrado, entonces la propiedad de going-down se cumple para la extensión A ⊆ B .

Ejemplos

Los siguientes son dominios integralmente cerrados.

• Un dominio ideal principal (en particular: los números enteros y cualquier cuerpo).
• Un dominio de factorización único (en particular, cualquier anillo polinomial sobre un campo, sobre los números enteros o sobre cualquier dominio de factorización único).
• Un dominio GCD (en particular, cualquier dominio Bézout o dominio de valoración ).
• Un dominio Dedekind .
• Un álgebra simétrica sobre un cuerpo (ya que toda álgebra simétrica es isomorfa a un anillo polinomial en varias variables sobre un cuerpo).
• Sea un cuerpo de característica distinta de 2 y un anillo de polinomios sobre él. Si es un polinomio no constante y sin cuadrados en , entonces es un dominio integralmente cerrado. ^[2] En particular, es un dominio integralmente cerrado si . ^[3] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S=k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S[y]/(y^{2}-f)}$ ${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{r}]/(x_{0}^{2}+\dots +x_{r}^{2})}$ ${\displaystyle r\geq 2}$

Para dar un ejemplo no convencional, ^[4] sea k un cuerpo y , la subálgebra generada por t ² y t ³ . Entonces A no es integralmente cerrada: tiene el cuerpo de fracciones , y el polinomio mónico en la variable X tiene raíz t que está en el cuerpo de fracciones pero no en A. Esto está relacionado con el hecho de que la curva plana tiene una singularidad en el origen. ${\displaystyle A=k[t^{2},t^{3}]\subset k[t]}$ ${\displaystyle k(t)}$ ${\displaystyle X^{2}-t^{2}}$ ${\displaystyle Y^{2}=X^{3}}$

Otro dominio que no está integralmente cerrado es ; su campo de fracciones contiene el elemento , que no está en A pero satisface el polinomio mónico . ${\displaystyle A=\mathbb {Z} [{\sqrt {5}}]}$ ${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$ ${\displaystyle X^{2}-X-1=0}$

Dominio integralmente cerrado noetheriano

Para un dominio local noetheriano A de dimensión uno, los siguientes son equivalentes.

• A está integralmente cerrado.
• El ideal máximo de A es principal.
• A es un anillo de valoración discreto (equivalentemente A es Dedekind).
• A es un anillo local regular.

Sea A un dominio integral noetheriano. Entonces A es integralmente cerrado si y solo si (i) A es la intersección de todas las localizaciones sobre ideales primos de altura 1 y (ii) la localización en un ideal primo de altura 1 es un anillo de valoración discreto. ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Un anillo noetheriano es un dominio de Krull si y solo si es un dominio integralmente cerrado.

En el entorno no noetheriano, se tiene lo siguiente: un dominio integral está integralmente cerrado si y solo si es la intersección de todos los anillos de valoración que lo contienen.

Anillos normales

Autores como Serre , Grothendieck y Matsumura definen un anillo normal como un anillo cuyas localizaciones en ideales primos son dominios integralmente cerrados. Un anillo de este tipo es necesariamente un anillo reducido ^[5] y esto a veces se incluye en la definición. En general, si A es un anillo noetheriano cuyas localizaciones en ideales máximos son todos dominios, entonces A es un producto finito de dominios ^[6] . En particular, si A es un anillo noetheriano normal, entonces los dominios en el producto son dominios integralmente cerrados ^[7] . Por el contrario, cualquier producto finito de dominios integralmente cerrados es normal. En particular, si es noetheriano, normal y conexo, entonces A es un dominio integralmente cerrado (cf. variedad suave ) . ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$

Sea A un anillo noetheriano. Entonces ( criterio de Serre ) A es normal si y sólo si satisface lo siguiente: para cualquier ideal primo , ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

1. Si tiene altura , entonces es regular (es decir, es un anillo de valoración discreto ). ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \leq 1}$ ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$
2. Si tiene altura , entonces tiene profundidad . ^[8] ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \geq 2}$ ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \geq 2}$

El elemento (i) se suele expresar como "regular en codimensión 1". Nota (i) implica que el conjunto de primos asociados no tiene primos incrustados y, cuando (i) es el caso, (ii) significa que no tiene ningún primo incrustado para ningún divisor distinto de cero f . En particular, un anillo de Cohen-Macaulay satisface (ii). Geométricamente, tenemos lo siguiente: si X es una intersección completa local en una variedad no singular; ^[9] p. ej., X en sí mismo es no singular, entonces X es Cohen-Macaulay; es decir, los tallos del haz de estructura son Cohen-Macaulay para todos los ideales primos p. Entonces podemos decir: X es normal (es decir, los tallos de su haz de estructura son todos normales) si y solo si es regular en codimensión 1 . ${\displaystyle Ass(A)}$ ${\displaystyle Ass(A/fA)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{p}}$

Dominios completamente cerrados integralmente

Sea A un dominio y K su campo de fracciones. Se dice que un elemento x en K es casi integral sobre A si el subanillo A [ x ] de K generado por A y x es un ideal fraccionario de A ; es decir, si existe un no cero tal que para todo . Entonces se dice que A es completamente integralmente cerrado si cada elemento casi integral de K está contenido en A . Un dominio completamente integralmente cerrado es integralmente cerrado. Por el contrario, un dominio noetheriano integralmente cerrado es completamente integralmente cerrado. ${\displaystyle d\in A}$ ${\displaystyle dx^{n}\in A}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

Supongamos que A está completamente cerrado integralmente. Entonces, el anillo de la serie de potencias formal está completamente cerrado integralmente. ^[10] Esto es significativo ya que la analogía es falsa para un dominio integralmente cerrado: sea R un dominio de valoración de altura al menos 2 (que está integralmente cerrado). Entonces, no está integralmente cerrado. ^[11] Sea L una extensión de campo de K. Entonces, el cierre integral de A en L está completamente cerrado integralmente. ^[12] ${\displaystyle A[[X]]}$ ${\displaystyle R[[X]]}$

Un dominio integral está completamente cerrado integralmente si y sólo si el monoide de divisores de A es un grupo. ^[13]

"Cerrado integralmente" en construcciones

Las siguientes condiciones son equivalentes para un dominio integral A :

1. A está integralmente cerrado;
2. A _p (la localización de A con respecto a p ) es integralmente cerrada para cada ideal primo p ;
3. A _m es integralmente cerrado para cada ideal maximalista m .

1 → 2 resulta inmediatamente de la preservación del cierre integral bajo localización; 2 → 3 es trivial; 3 → 1 resulta de la preservación del cierre integral bajo localización, la exactitud de la localización y la propiedad de que un A -módulo M es cero si y sólo si su localización con respecto a cada ideal maximal es cero.

Por el contrario, el "integralmente cerrado" no pasa por el cociente, porque Z [t]/(t ² +4) no es integralmente cerrado.

La localización de un dominio completamente cerrado integralmente no necesita ser completamente cerrada integralmente. ^[14]

Un límite directo de dominios integralmente cerrados es un dominio integralmente cerrado.

Módulos sobre un dominio integralmente cerrado

Sea A un dominio integralmente cerrado noetheriano.

Un ideal I de A es divisorio si y sólo si cada primo asociado de A / I tiene altura uno. ^[15]

Sea P el conjunto de todos los ideales primos en A de altura uno. Si T es un módulo de torsión finitamente generado, se pone:

${\displaystyle \chi (T)=\sum _{p\in P}\operatorname {length} _{p}(T)p}$,

lo cual tiene sentido como suma formal, es decir, un divisor. Escribimos para la clase divisora ​​de d . Si son submódulos máximos de M , entonces ^[16] y se denota (en Bourbaki) por . ${\displaystyle c(d)}$ ${\displaystyle F,F'}$ ${\displaystyle c(\chi (M/F))=c(\chi (M/F'))}$ ${\displaystyle c(\chi (M/F))}$ ${\displaystyle c(M)}$

Véase también

• Anillo local unibranch

Citas

1. Matsumura, Teorema 9.2
2. Hartshorne 1977, Cap. II, Ejercicio 6.4.
3. Hartshorne 1977, Cap. II, Ejercicio 6.5. (a)
4. Tomado de Matsumura
5. Si todas las localizaciones en ideales máximos de un anillo conmutativo R son anillos reducidos (por ejemplo, dominios), entonces R se reduce. Demostración : supóngase que x es distinto de cero en R y x ² = 0. El aniquilador ann( x ) está contenido en algún ideal máximo . Ahora, la imagen de x es distinta de cero en la localización de R en ya que en significa para algún pero entonces está en el aniquilador de x , contradicción. Esto muestra que R localizado en no se reduce. ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle xs=0}$ ${\displaystyle s\not \in {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$
6. Kaplansky, Teorema 168, pág. 119.
7. Matsumura 1989, pág. 64
8. Matsumura, Álgebra conmutativa, pág. 125. Para un dominio, el teorema se debe a Krull (1931). El caso general se debe a Serre.
9. sobre un campo algebraicamente cerrado
10. Un ejercicio en Matsumura.
11. Matsumura, Ejercicio 10.4
12. Un ejercicio en Bourbaki.
13. Bourbaki 1972, Cap. VII, § 1, n. 2, Teorema 1
14. Un ejercicio en Bourbaki.
15. Bourbaki 1972, cap. VII, § 1, n. 6. Proposición 10.
16. Bourbaki 1972, cap. VII, § 4, n. 7

Referencias

• Bourbaki, Nicolás (1972). Álgebra conmutativa . París: Hermann.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157
• Kaplansky, Irving (septiembre de 1974). Anillos conmutativos . Lectures in Mathematics. University of Chicago Press . ISBN. 0-226-42454-5.
• Matsumura, Hideyuki (1989). Teoría de anillos conmutativos . Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2.ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-36764-6.
• Matsumura, Hideyuki (1970). Álgebra conmutativa . ISBN 0-8053-7026-9.