En geometría algebraica , se dice que un anillo local A es unibranquio si el anillo reducido A rojo (obtenido cociente A por su nilradical ) es un dominio integral , y la clausura integral B de A rojo es también un anillo local. [ cita requerida ] Se dice que un anillo local unibranquio es geométricamente unibranquio si el cuerpo de residuos de B es una extensión puramente inseparable del cuerpo de residuos de A rojo . Una variedad compleja X se llama topológicamente unibranquia en un punto x si para todos los complementos Y de subconjuntos algebraicos cerrados de X hay un sistema fundamental de vecindades (en la topología clásica) de x cuya intersección con Y es conexa.
En particular, un anillo normal es unibranquio. Los conceptos de unibranquio y de puntos geométricamente unibranquios se utilizan en algunos teoremas de geometría algebraica. Por ejemplo, se tiene el siguiente resultado:
Teorema [1] Sean X e Y dos esquemas localmente noetherianos integrales y un morfismo dominante propio . Denotemos sus cuerpos de funciones por K(X) y K(Y) , respectivamente. Supongamos que la clausura algebraica de K(Y) en K(X) tiene grado separable n y que es unibranquial. Entonces la fibra tiene como máximo n componentes conexos. En particular, si f es biracional , entonces las fibras de los puntos unibranquiales son conexas.
En EGA, el teorema se obtiene como corolario del teorema principal de Zariski .
