Álgebra de composición

En matemáticas , un álgebra de composición $A$ sobre un campo $K$ es un álgebra no necesariamente asociativa sobre $K$ junto con una forma cuadrática no degenerada $N$ que satisface

N(xy)=N(x)N(y)

para todo $x$ e $y$ en $A$ .

Un álgebra de composición incluye una involución llamada conjugación : la forma cuadrática se llama norma del álgebra. $x\mapsto x^{*}.$ $N(x)=xx^{*}$

Un álgebra de composición ( A , ∗, N ) es un álgebra de división o un álgebra dividida , dependiendo de la existencia de una v distinta de cero en A tal que N ( v ) = 0, llamada vector nulo . ^[1] Cuando x no es un vector nulo, el inverso multiplicativo de x es . Cuando hay un vector nulo distinto de cero, N es una forma cuadrática isotrópica y "el álgebra se divide". ${\estilo de texto {\frac {x^{*}}{N(x)}}}$

Teorema de estructura

Cada álgebra de composición unital sobre un campo $K$ se puede obtener mediante la aplicación repetida de la construcción de Cayley-Dickson a partir de $K$ (si la característica de $K$ es diferente de $2$ ) o una subálgebra de composición bidimensional (si $char(K) = 2$ ) . Las posibles dimensiones de un álgebra de composición son $1$ , $2$ , $4$ y $8$ . ^[2]^[3]^[4]

Las álgebras de composición unidimensionales solo existen cuando $char(K) \neq 2$ .
Las álgebras de composición de dimensión 1 y 2 son conmutativas y asociativas.
Las álgebras de composición de dimensión 2 son extensiones de campo cuadrático de $K$ o isomorfas a $K \oplus K$ .
Las álgebras de composición de dimensión 4 se denominan álgebras de cuaterniones . Son asociativos pero no conmutativos.
Las álgebras de composición de dimensión 8 se denominan álgebras de octonión . No son asociativos ni conmutativos.

Para lograr una terminología coherente, las álgebras de dimensión 1 se han denominado unarión y las de dimensión 2 binarion . ^[5]

Cada álgebra de composición es un álgebra alternativa . ^[3]

Usando la forma duplicada ( _ : _ ): A × A → K entonces la traza de a está dada por ( a :1) y el conjugado por a * = ( a :1)e – a donde e es el elemento base para 1. Una serie de ejercicios demuestran que un álgebra de composición es siempre un álgebra alternativa. ^[6] $(a:b)=n(a+b)-n(a)-n(b),$

Instancias y uso

Cuando el campo $K$ se toma como números complejos $C$ y la forma cuadrática $z 2$ , entonces cuatro álgebras de composición sobre $C$ son $el propio$ $C$ , los números bicomplejos , los bicuaterniones (isomorfos al anillo de matriz complejo 2 × 2 $M(2,$ $C$ $)$ ), y los bioctoniones $C$ $\otimes$ $O$ , que también se denominan octoniones complejos.

El anillo matricial $M(2, C)$ ha sido durante mucho tiempo objeto de interés, primero como bicuaterniones por Hamilton (1853), más tarde en la forma de matriz isomórfica, y especialmente como álgebra de Pauli .

La función de elevación al cuadrado $N (x) = x 2$ en el campo de números reales forma el álgebra de composición primordial. Cuando se toma el campo $K$ como números reales $R$ , entonces hay sólo otras seis álgebras de composición real. ^[3]^{: 166} En dos, cuatro y ocho dimensiones hay tanto un álgebra de división como un álgebra de división :

binarions: números complejos con forma cuadrática

x 2 + y 2

y números complejos divididos con forma cuadrática

x 2 - y 2

cuaterniones y cuaterniones divididos ,

octoniones y octoniones divididas .

Cada álgebra de composición tiene asociada una forma bilineal B( x,y ) construida con la norma N y una identidad de polarización :

B(x,y)\ =\ [N(x+y)-N(x)-N(y)]/2.

^[7]

Historia

Varios de los primeros autores observaron la composición de las sumas de cuadrados. Diofanto era consciente de la identidad que implica la suma de dos cuadrados, ahora llamada identidad Brahmagupta-Fibonacci , que también se articula como una propiedad de las normas euclidianas de los números complejos cuando se multiplican. Leonhard Euler discutió la identidad de los cuatro cuadrados en 1748, y esto llevó a WR Hamilton a construir su álgebra de cuaterniones de cuatro dimensiones . ^[5]^{: 62} En 1848 se describieron los tesarinos dando la primera luz a los números bicomplejos.

Alrededor de 1818, el erudito danés Ferdinand Degen mostró la identidad de los ocho cuadrados de Degen , que más tarde se relacionó con normas de elementos del álgebra de octoniones :

Históricamente, la primera álgebra no asociativa, los números de Cayley ... surgió en el contexto del problema de la teoría de números de las formas cuadráticas que permiten la composición... esta pregunta de la teoría de números puede transformarse en una que se refiere a ciertos sistemas algebraicos, las álgebras de composición. .. ^[5]^{: 61}

En 1919, Leonard Dickson avanzó en el estudio del problema de Hurwitz con un estudio de los esfuerzos realizados hasta esa fecha y exhibiendo el método de duplicar los cuaterniones para obtener números de Cayley . Introdujo una nueva unidad imaginaria $e$ , y para los cuaterniones $q$ y $Q$ escribe un número de Cayley $q + Q e$ . Denotando el cuaternión conjugado por $q'$ , el producto de dos números de Cayley es ^[8]

(q+Qe)(r+Re)=(qr-R'Q)+(Rq+Qr')e.

El conjugado de un número de Cayley es $q' - Q e$ , y la forma cuadrática es $qq' + QQ'$ , que se obtiene multiplicando el número por su conjugado. El método de duplicación ha pasado a denominarse construcción de Cayley-Dickson .

En 1923 el caso de las álgebras reales con formas definidas positivas fue delimitado por el teorema de Hurwitz (álgebras de composición) .

En 1931, Max Zorn introdujo una gamma (γ) en la regla de multiplicación en la construcción de Dickson para generar octoniones divididos . ^[9] Adrian Albert también utilizó la gamma en 1942 cuando demostró que la duplicación de Dickson se podía aplicar a cualquier campo con la función de cuadratura para construir álgebras binarias, cuaterniones y octoniónas con sus formas cuadráticas. ^[10] Nathan Jacobson describió los automorfismos de las álgebras de composición en 1958. ^[2]

Las álgebras de composición clásica sobre $R$ y $C$ son álgebras unitarias . HP Petersson ( álgebras de Petersson ) y Susumu Okubo ( álgebras de Okubo ) y otros encontraron álgebras de composición sin identidad multiplicativa . ^[11]^{: 463–81}

Ver también

Referencias

Wikilibros tiene un libro sobre el tema: Álgebra de composición asociativa

^ Springer, TA ; FD Veldkamp (2000). Octoniones, álgebras de Jordan y grupos excepcionales . Springer-Verlag . pag. 18.ISBN 3-540-66337-1.
^ ab Jacobson, Nathan (1958). "Álgebras de composición y sus automorfismos". Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 7 : 55–80. doi :10.1007/bf02854388. Zbl 0083.02702.
^ abc Guy Roos (2008) "Dominios simétricos excepcionales", §1: Álgebras de Cayley, en Simetrías en análisis complejo de Bruce Gilligan y Guy Roos, volumen 468 de Matemáticas contemporáneas , Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-4459- 5
^ Schafer, Richard D. (1995) [1966]. Una introducción a las álgebras no asociativas. Publicaciones de Dover . págs. 72–75. ISBN 0-486-68813-5. Zbl 0145.25601.
^ abc Kevin McCrimmon (2004) Un sabor de las álgebras de Jordania , Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 SEÑOR 2014924
^ Álgebra de composición asociativa / paradigma trascendental # Tratamiento categórico en Wikilibros
^ Arthur A. Sagle y Ralph E. Walde (1973) Introducción a los grupos de mentiras y las álgebras de mentiras , páginas 194-200, Academic Press
^ Dickson, LE (1919), "Sobre los cuaterniones y su generalización y la historia del teorema de los ocho cuadrados", Annals of Mathematics , segunda serie, Annals of Mathematics, 20 (3): 155–171, doi :10.2307/1967865, ISSN 0003-486X, JSTOR 1967865
^ Max Zorn (1931) "Alternativekörper und quadratische Systeme", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 9(3/4): 395–402
^ Albert, Adrián (1942). "Formas cuadráticas que permiten la composición". Anales de Matemáticas . 43 (1): 161-177. doi :10.2307/1968887. JSTOR 1968887. Zbl 0060.04003.
^ Max-Albert Knus, Alexander Merkurjev , Markus Rost , Jean-Pierre Tignol (1998) "Composition and Triality", capítulo 8 de El libro de las involuciones , págs. 451–511, Colloquium Publications v 44, American Mathematical Society ISBN 0- 8218-0904-0

Otras lecturas

Faraut, Jacques; Korányi, Adam (1994). Análisis sobre conos simétricos . Monografías de matemáticas de Oxford. The Clarendon Press, Oxford University Press, Nueva York. págs. 81–86. ISBN 0-19-853477-9. SEÑOR 1446489.
Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre campos . Estudios de Posgrado en Matemáticas . vol. 67. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023.
Harvey, F.Reese (1990). Spinores y Calibraciones . Perspectivas en Matemáticas. vol. 9. San Diego: Prensa académica . ISBN 0-12-329650-1. Zbl 0694.53002.