Análisis no estándar

La historia del cálculo está plagada de debates filosóficos sobre el significado y la validez lógica de las fluxiones o números infinitesimales . La forma estándar de resolver estos debates es definir las operaciones del cálculo utilizando límites en lugar de infinitesimales. El análisis no estándar ^[1]^[2]^[3] , en cambio, reformula el cálculo utilizando una noción lógicamente rigurosa de números infinitesimales .

El análisis no estándar se originó a principios de la década de 1960 por el matemático Abraham Robinson . ^[4]^[5] Escribió:

... la idea de cantidades infinitamente pequeñas o infinitesimales parece apelar naturalmente a nuestra intuición. En cualquier caso, el uso de infinitesimales fue generalizado durante las etapas formativas del cálculo diferencial e integral. En cuanto a la objeción... de que la distancia entre dos números reales distintos no puede ser infinitamente pequeña, Gottfried Wilhelm Leibniz argumentó que la teoría de los infinitesimales implica la introducción de números ideales que podrían ser infinitamente pequeños o infinitamente grandes en comparación con los números reales, pero que tendrían las mismas propiedades que estos últimos.

Robinson argumentó que esta ley de continuidad de Leibniz es precursora del principio de transferencia . Robinson continuó:

Sin embargo, ni él ni sus discípulos y sucesores fueron capaces de desarrollar racionalmente un sistema de este tipo, por lo que la teoría de los infinitesimales fue cayendo en descrédito y fue sustituida finalmente por la teoría clásica de los límites. ^[6]

Robinson continúa:

... Las ideas de Leibniz pueden ser plenamente reivindicadas y... conducen a un enfoque novedoso y fructífero del análisis clásico y de muchas otras ramas de las matemáticas. La clave de nuestro método la proporciona el análisis detallado de la relación entre los lenguajes matemáticos y las estructuras matemáticas que se encuentra en la base de la teoría de modelos contemporánea .

En 1973, el intuicionista Arend Heyting elogió el análisis no estándar como "un modelo estándar de investigación matemática importante". ^[7]

Introducción

Un elemento distinto de cero de un cuerpo ordenado es infinitesimal si y solo si su valor absoluto es menor que cualquier elemento de que tenga la forma , para un número natural estándar. Los cuerpos ordenados que tienen elementos infinitesimales también se denominan no arquimedianos . En términos más generales, el análisis no estándar es cualquier forma de matemática que se basa en modelos no estándar y el principio de transferencia . Un cuerpo que satisface el principio de transferencia para números reales se denomina cuerpo real cerrado , y el análisis real no estándar utiliza estos cuerpos como modelos no estándar de los números reales. $\mathbb {F}$ $\mathbb {F}$ ${\frac {1}{n}}$ ${\estilo de visualización n}$

El enfoque original de Robinson se basaba en estos modelos no estándar del campo de los números reales. Su libro fundacional clásico sobre el tema Análisis no estándar se publicó en 1966 y todavía se publica. ^[8] En la página 88, Robinson escribe:

La existencia de modelos aritméticos no estándar fue descubierta por Thoralf Skolem (1934). El método de Skolem prefigura la construcción de ultrapotencias [...]

Para desarrollar un cálculo de infinitesimales es necesario abordar varias cuestiones técnicas. Por ejemplo, no basta con construir un campo ordenado con infinitesimales. Véase el artículo sobre números hiperreales para un análisis de algunas de las ideas relevantes.

Definiciones básicas

En esta sección describimos uno de los enfoques más simples para definir un cuerpo hiperreal . Sea el cuerpo de los números reales y sea el semianillo de los números naturales. Denotemos por el conjunto de sucesiones de números reales. Un cuerpo se define como un cociente adecuado de , de la siguiente manera. Tome un ultrafiltro no principal . En particular, contiene el filtro de Fréchet . Consideremos un par de sucesiones $^{*}\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ $^{*}\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ $F\subseteq P(\mathbb {N} )$ ${\estilo de visualización F}$

u=(u_{n}),v=(v_{n})\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }

Decimos que y son equivalentes si coinciden en un conjunto de índices que es miembro del ultrafiltro, o en fórmulas: ${\estilo de visualización u}$ ${\estilo de visualización v}$

\{n\in \mathbb {N} :u_{n}=v_{n}\}\in F

El cociente de por la relación de equivalencia resultante es un campo hiperreal , situación resumida por la fórmula . $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ $^{*}\mathbb {R}$ $^{*}\mathbb {R} ={\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}/{F}$

Motivación

Hay al menos tres razones para considerar un análisis no estándar: histórico, pedagógico y técnico.

Histórico

Gran parte del desarrollo inicial del cálculo infinitesimal por parte de Newton y Leibniz se formuló utilizando expresiones como número infinitesimal y cantidad evanescente . Como se señala en el artículo sobre números hiperreales , estas formulaciones fueron ampliamente criticadas por George Berkeley y otros. El desafío de desarrollar una teoría consistente y satisfactoria del análisis utilizando infinitesimales fue afrontado por primera vez por Abraham Robinson. ^[6]

En 1958, Curt Schmieden y Detlef Laugwitz publicaron un artículo titulado "Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung" ^[9] ("Una extensión del cálculo infinitesimal"), en el que proponían la construcción de un anillo que contenía infinitesimales. El anillo se construía a partir de sucesiones de números reales. Se consideraba que dos sucesiones eran equivalentes si diferían sólo en un número finito de elementos. Las operaciones aritméticas se definían elemento por elemento. Sin embargo, el anillo construido de esta manera contiene divisores de cero y, por lo tanto, no puede ser un cuerpo.

Pedagógico

H. Jerome Keisler , David Tall y otros educadores sostienen que el uso de infinitesimales es más intuitivo y más fácil de comprender para los estudiantes que el enfoque "épsilon-delta" para los conceptos analíticos. ^[10] Este enfoque a veces puede proporcionar pruebas de resultados más fáciles que la formulación épsilon-delta correspondiente de la prueba. Gran parte de la simplificación proviene de la aplicación de reglas muy fáciles de aritmética no estándar, como las siguientes:

infinitesimal × finito = infinitesimal

infinitesimal + infinitesimal = infinitesimal

junto con el principio de transferencia mencionado a continuación.

Otra aplicación pedagógica del análisis no estándar es el tratamiento que Edward Nelson hace de la teoría de los procesos estocásticos . ^[11]

Técnico

Recientemente se han realizado algunos trabajos de análisis que utilizan conceptos del análisis no estándar, en particular en la investigación de procesos limitantes de la estadística y la física matemática. Sergio Albeverio et al. ^[12] analizan algunas de estas aplicaciones.

Enfoques para el análisis no estándar

Existen dos enfoques principales y diferentes para el análisis no estándar: el enfoque semántico o basado en modelos y el enfoque sintáctico. Ambos enfoques se aplican a otras áreas de las matemáticas más allá del análisis, incluidas la teoría de números, el álgebra y la topología.

La formulación original de Robinson del análisis no estándar cae dentro de la categoría del enfoque semántico . Tal como lo desarrolló en sus artículos, se basa en el estudio de modelos (en particular modelos saturados ) de una teoría . Desde que apareció el trabajo de Robinson por primera vez, se ha desarrollado un enfoque semántico más simple (debido a Elias Zakon) utilizando objetos puramente teóricos de conjuntos llamados superestructuras . En este enfoque, un modelo de una teoría se reemplaza por un objeto llamado superestructura $V (S)$ sobre un conjunto $S$ . A partir de una superestructura $V (S)$ se construye otro objeto $* V (S)$ utilizando la construcción de ultrapotencia junto con una aplicación $V (S) \to * V (S)$ que satisface el principio de transferencia . La aplicación * relaciona propiedades formales de $V (S)$ y $* V (S)$ . Además, es posible considerar una forma más simple de saturación llamada saturación contable . Este enfoque simplificado también es más adecuado para su uso por parte de matemáticos que no son especialistas en teoría de modelos o lógica.

El enfoque sintáctico requiere mucho menos lógica y teoría de modelos para comprenderlo y utilizarlo. Este enfoque fue desarrollado a mediados de la década de 1970 por el matemático Edward Nelson . Nelson introdujo una formulación completamente axiomática de análisis no estándar que llamó teoría de conjuntos internos (IST). ^[13] La IST es una extensión de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) en el sentido de que junto con la relación de pertenencia binaria básica ∈, introduce un nuevo predicado unario estándar , que se puede aplicar a elementos del universo matemático junto con algunos axiomas para razonar con este nuevo predicado.

El análisis sintáctico no estándar requiere un gran cuidado al aplicar el principio de formación de conjuntos (formalmente conocido como el axioma de comprensión ), que los matemáticos suelen dar por sentado. Como señala Nelson, una falacia en el razonamiento en IST es la de formación ilegal de conjuntos . Por ejemplo, no hay ningún conjunto en IST cuyos elementos sean precisamente los números enteros estándar (aquí, estándar se entiende en el sentido del nuevo predicado). Para evitar la formación ilegal de conjuntos, uno solo debe usar predicados de ZFC para definir subconjuntos. ^[13]

Otro ejemplo del enfoque sintáctico es la teoría de conjuntos alternativa de Vopěnka , ^[14] que intenta encontrar axiomas de teoría de conjuntos más compatibles con el análisis no estándar que los axiomas de ZF.

El libro de Robinson

El libro de Abraham Robinson Non-standard Analysis fue publicado en 1966. Algunos de los temas desarrollados en el libro ya estaban presentes en su artículo de 1961 con el mismo título (Robinson 1961). ^[15] Además de contener el primer tratamiento completo del análisis no estándar, el libro contiene una sección histórica detallada donde Robinson desafía algunas de las opiniones recibidas sobre la historia de las matemáticas basadas en la percepción previa al análisis no estándar de los infinitesimales como entidades inconsistentes. Así, Robinson desafía la idea de que el " teorema de la suma " de Augustin-Louis Cauchy en Cours d'Analyse sobre la convergencia de una serie de funciones continuas era incorrecto, y propone una interpretación basada en infinitesimales de su hipótesis que da como resultado un teorema correcto.

Problema del subespacio invariante

Abraham Robinson y Allen Bernstein utilizaron el análisis no estándar para demostrar que cada operador lineal polinomialmente compacto en un espacio de Hilbert tiene un subespacio invariante . ^[16]

Dado un operador $T$ en el espacio de Hilbert $H$ , considérese la órbita de un punto $v$ en $H$ bajo las iteraciones de $T$ . Aplicando Gram–Schmidt se obtiene una base ortonormal $(e i)$ para $H$ . Sea $(H i)$ la secuencia anidada correspondiente de subespacios "coordenados" de $H$ . La matriz $a i,j$ que expresa $T$ con respecto a $(e i)$ es casi triangular superior, en el sentido de que los coeficientes $a i +1, i$ son los únicos coeficientes subdiagonales distintos de cero. Bernstein y Robinson muestran que si $T$ es polinomialmente compacto, entonces hay un índice hiperfinito $w$ tal que el coeficiente de matriz $a w +1, w$ es infinitesimal. A continuación, considérese el subespacio $H w$ de $* H$ . Si $y$ en $H w$ tiene norma finita, entonces $T (y)$ es infinitamente cercano a $H w$ .

Sea ahora $T w$ el operador que actúa sobre $H$ $w$ , donde $P$ $w$ es la proyección ortogonal a $H$ $w$ . Denotemos por $q$ el polinomio tal que $q$ $($ $T$ $)$ es compacto. El subespacio $H$ $w$ es interno de dimensión hiperfinita. Al transferir la triangularización superior de los operadores del espacio vectorial complejo de dimensión finita, existe una base de espacio de Hilbert ortonormal interno $($ $e$ $k$ $)$ para $H$ $w$ donde $k$ va de $1$ a $w$ , tal que cada uno de los subespacios $k -dimensionales correspondientes$ $E$ $k$ es $T$ -invariante. Denotemos por $Π$ $k$ la proyección al subespacio $E$ $k$ . Para un vector $x$ distinto de cero de norma finita en $H$ , se puede suponer que $q$ $($ $T$ $)($ $x$ $)$ es distinto de cero, o $|$ $q$ $($ $T$ $)($ $x$ $)| > 1$ para fijar las ideas. Dado que $q$ $($ $T$ $)$ es un operador compacto, $($ $q$ $($ $T$ $w$ $))($ $x$ $)$ es infinitamente cercano a $q$ $($ $T$ $)($ $x$ $)$ y, por lo tanto, también se tiene $|$ $q$ $($ $T$ $w$ $)($ $x$ $)| > 1$ . Ahora sea $j$ el mayor índice tal que . Entonces el espacio de todos los elementos estándar infinitamente cercanos a $E$ $j$ es el subespacio invariante deseado. $Estilo de visualización P_{w}\circ T$ ${\textstyle \left|q(T_{w})\left(\prod _{j}(x)\right)\right|<{\tfrac {1}{2}}}$

Tras leer una versión preliminar del artículo de Bernstein y Robinson, Paul Halmos reinterpretó su prueba utilizando técnicas estándar. ^[17] Ambos artículos aparecieron uno tras otro en el mismo número del Pacific Journal of Mathematics . Algunas de las ideas utilizadas en la prueba de Halmos reaparecieron muchos años después en el propio trabajo de Halmos sobre operadores cuasi-triangulares.

Otras aplicaciones

Se han obtenido otros resultados que reinterpretan o reprueban resultados ya conocidos. De particular interés es la prueba de Teturo Kamae ^[18] del teorema ergódico individual o el tratamiento de L. van den Dries y Alex Wilkie ^[19] del teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinomial . Larry Manevitz y Shmuel Weinberger utilizaron el análisis no estándar para demostrar un resultado en topología algebraica. ^[20]

Sin embargo, las verdaderas contribuciones del análisis no estándar residen en los conceptos y teoremas que utilizan el nuevo lenguaje extendido de la teoría de conjuntos no estándar. Entre la lista de nuevas aplicaciones en matemáticas, hay nuevos enfoques para la probabilidad, ^[11] la hidrodinámica, ^[21] la teoría de la medida, ^[22] el análisis no uniforme y armónico, ^[23] etc.

También existen aplicaciones del análisis no estándar a la teoría de procesos estocásticos, en particular construcciones de movimiento browniano como caminatas aleatorias . Albeverio et al. ^[12] tienen una introducción a esta área de investigación.

En términos de axiomática, el axioma de superuniversalidad de Boffa ha encontrado aplicación como base para el análisis axiomático no estándar. ^[24]

Aplicaciones al cálculo

Como aplicación a la educación matemática , H. Jerome Keisler escribió Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach . ^[10] Abarcando el cálculo no estándar , desarrolla el cálculo diferencial e integral utilizando los números hiperreales, que incluyen elementos infinitesimales. Estas aplicaciones del análisis no estándar dependen de la existencia de la parte estándar de un hiperreal finito $r$ . La parte estándar de $r$ , denotada $st(r)$ , es un número real estándar infinitamente cercano a $r$ . Uno de los dispositivos de visualización que utiliza Keisler es el de un microscopio imaginario de aumento infinito para distinguir puntos infinitamente cercanos entre sí. El libro de Keisler está ahora agotado, pero está disponible gratuitamente en su sitio web; consulte las referencias a continuación.

Crítica

A pesar de la elegancia y el atractivo de algunos aspectos del análisis no estándar, también se han expresado críticas, como las de Errett Bishop , Alain Connes y Paul Halmos , como se documenta en la crítica del análisis no estándar .

Marco lógico

Dado cualquier conjunto $S$ , la superestructura sobre un conjunto $S$ es el conjunto $V (S)$ definido por las condiciones

V_{0}(S)=S,

V_{n+1}(S)=V_{n}(S)\cup \wp (V_{n}(S)),

V(S)=\bigcup _{n\in \mathbf {N} }V_{n}(S).

Así, la superestructura sobre $S$ se obtiene partiendo de $S$ e iterando la operación de adjuntar el conjunto potencia de $S$ y tomando la unión de la secuencia resultante. La superestructura sobre los números reales incluye una gran cantidad de estructuras matemáticas: por ejemplo, contiene copias isomorfas de todos los espacios métricos separables y espacios vectoriales topológicos metrizables . Prácticamente todas las matemáticas que interesan a un analista se desarrollan dentro de $V$ $($ $R$ $)$ .

La visión de trabajo del análisis no estándar es un conjunto $* R$ y una función $* : V (R) \to V (* R)$ que satisface algunas propiedades adicionales. Para formular estos principios, primero enunciamos algunas definiciones.

Una fórmula tiene cuantificación acotada si y solo si los únicos cuantificadores que aparecen en la fórmula tienen un rango restringido sobre conjuntos, es decir, todos tienen la forma:

\forall x\in A,\Phi (x,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})

\exists x\in A,\Phi (x,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})

Por ejemplo, la fórmula

\forall x\in A,\ \exists y\in 2^{B},\quad x\in y

tiene cuantificación acotada, la variable cuantificada universalmente $x$ se extiende sobre $A$ , la variable cuantificada existencialmente $y$ se extiende sobre el conjunto potencia de $B.$ Por otro lado,

\forall x\in A,\ \exists y,\quad x\in y

no tiene cuantificación acotada porque la cuantificación de y no tiene restricciones.

Conjuntos internos

Un conjunto x es interno si y sólo si x es un elemento de * A para algún elemento A de $V (R)$ . * A en sí mismo es interno si A pertenece a $V (R)$ .

Ahora formulamos el marco lógico básico del análisis no estándar:

Principio de extensión : La aplicación * es la identidad en $R.$
Principio de transferencia : Para cualquier fórmula $P (x 1, ..., x n)$ con cuantificación acotada y con variables libres $x 1, ..., x n$ , y para cualesquiera elementos $A 1, ..., A n$ de $V (R)$ , se cumple la siguiente equivalencia:

P(A_{1},\ldots ,A_{n})\iff P(*A_{1},\ldots ,*A_{n})

Saturación contable : Si { A _k } _{k ∈ N} es una secuencia decreciente de conjuntos internos no vacíos, con k abarcando todos los números naturales, entonces

\bigcap _{k}A_{k}\neq \emptyset

Se puede demostrar mediante ultraproductos que existe tal función *. Los elementos de $V (R)$ se denominan estándar . Los elementos de $* R$ se denominan números hiperreales .

Primeras consecuencias

El símbolo $* N$ denota los números naturales no estándar. Por el principio de extensión, este es un superconjunto de $N.$ El conjunto $* N - N$ no está vacío. Para comprobarlo, apliquemos la saturación numerable a la secuencia de conjuntos internos.

A_{n}=\{k\in {^{*}\mathbf {N} }:k\geq n\}

La secuencia ${A n} n \in N$ tiene una intersección no vacía, lo que demuestra el resultado.

Comenzamos con algunas definiciones: Los hiperreales r , s son infinitamente cercanos si y solo si

r\cong s\iff \forall \theta \in \mathbf {R} ^{+},\ |r-s|\leq \theta

Un hiperreal $r$ es infinitesimal si y solo si es infinitamente cercano a 0. Por ejemplo, si $n$ es un hiperentero , es decir, un elemento de $* N - N$ , entonces $1/ n$ es un infinitesimal. Un hiperreal $r$ es limitado (o finito ) si y solo si su valor absoluto está dominado por (menor que) un entero estándar. Los hiperreales limitados forman un subanillo de $* R$ que contiene los reales. En este anillo, los hiperreales infinitesimales son un ideal .

El conjunto de hiperreales limitados o el conjunto de hiperreales infinitesimales son subconjuntos externos de $V (* R)$ ; lo que esto significa en la práctica es que la cuantificación acotada, donde el límite es un conjunto interno, nunca se extiende sobre estos conjuntos.

Ejemplo : El plano $(x, y)$ con $x$ e $y$ que se extienden sobre $* R$ es interno y es un modelo de geometría euclidiana plana. El plano con $x$ e $y$ restringidos a valores limitados (análogo al plano de Dehn ) es externo y en este plano limitado se viola el postulado de las paralelas. Por ejemplo, cualquier línea que pase por el punto $(0, 1)$ en el $eje$ y y que tenga una pendiente infinitesimal es paralela al eje $x$ .

Teorema. Para cualquier hiperreal limitado $r$ existe un único real estándar denotado $st(r)$ infinitamente cercano a r $.$ La función $st$ es un homomorfismo de anillo del anillo de hiperreales limitados a $R.$

La st de mapeo también es externa.

Una forma de pensar en la parte estándar de un hiperreal es en términos de cortes de Dedekind ; cualquier hiperreal limitado $s$ define un corte considerando el par de conjuntos $(L, U)$ donde $L$ es el conjunto de racionales estándar $a$ menor que $s$ y $U$ es el conjunto de racionales estándar $b$ mayor que $s$ . Se puede ver que el número real correspondiente a $(L, U)$ satisface la condición de ser la parte estándar de $s$ .

Una caracterización intuitiva de la continuidad es la siguiente:

Teorema. Una función real $f$ en el intervalo $[a, b]$ es continua si y solo si para cada hiperreal $x$ en el intervalo $*[a, b]$ , tenemos: $* f (x) ≅ * f (st(x))$ .

(ver microcontinuidad para más detalles). De manera similar,

Teorema. Una función de valor real $f$ es diferenciable en el valor real $x$ si y sólo si para cada número hiperreal infinitesimal $h$ , el valor

f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {{^{*}f}(x+h)-{^{*}f}(x)}{h}}\right)

existe y es independiente de $h$ . En este caso $f'(x)$ es un número real y es la derivada de $f$ en $x$ .

k-saturación

Es posible "mejorar" la saturación permitiendo que se intersequen conjuntos de cardinalidad superior. Un modelo está $κ$ - saturado si siempre que es un conjunto de conjuntos internos con la propiedad de intersección finita y , $\{A_{i}\}_{i\in I}$ $|I|\leq \kappa$

\bigcap _{i\in I}A_{i}\neq \emptyset

Esto es útil, por ejemplo, en un espacio topológico $X$ , donde podemos querer que la $|2 X |$ -saturación asegure que la intersección de una base de vecindad estándar no esté vacía. ^[25]

Para cualquier cardinal $κ$ , se puede construir una extensión $κ -saturada.$ ^[26]

Véase también

Referencias

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Bibliografía

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Lectura adicional

EE Rosinger, [math/0407178]. Breve introducción al análisis no estándar. arxiv.org.

Enlaces externos

Citas relacionadas con Análisis no estándar en Wikiquote
Los fantasmas de las cantidades fallecidas, de Lindsay Keegan. Archivado el 25 de abril de 2018 en Wayback Machine.