número regular

Números que dividen uniformemente potencias de 60

Un diagrama de Hasse de relaciones de divisibilidad entre números regulares hasta 400. La escala vertical es logarítmica . ^[1]

Los números regulares son números que dividen uniformemente potencias de 60 (o, equivalentemente, potencias de 30 ). De manera equivalente, son los números cuyos únicos divisores primos son 2 , 3 y 5 . Por ejemplo, 60 ²  = 3600 = 48 × 75, por lo que, como divisores de una potencia de 60, tanto 48 como 75 son regulares.

Estos números surgen en varias áreas de las matemáticas y sus aplicaciones, y tienen diferentes nombres provenientes de sus distintas áreas de estudio.

• En teoría de números , estos números se llaman 5-suaves , porque pueden caracterizarse por tener solo 2, 3 o 5 como factores primos . Este es un caso específico de los k - números suaves más generales , los números que no tienen ningún factor primo mayor que k .
• En el estudio de las matemáticas babilónicas , los divisores de potencias de 60 se llaman números regulares o números sexagesimales regulares , y son de gran importancia en esta área debido al sistema numérico sexagesimal (base 60) que los babilonios utilizaban para escribir sus números, y eso era fundamental para las matemáticas babilónicas.
• En teoría musical , los números regulares aparecen en las proporciones de tonos en una entonación justa de cinco límites . En relación con la teoría musical y las teorías arquitectónicas relacionadas , estos números se han denominado números enteros armónicos .
• En informática , los números regulares suelen denominarse números de Hamming , en honor a Richard Hamming , quien propuso el problema de encontrar algoritmos informáticos para generar estos números en orden ascendente. Este problema se ha utilizado como caso de prueba para la programación funcional .

Teoría de los números

Formalmente, un número regular es un número entero de la forma , para enteros no negativos , y . Tal número es divisor de . Los números regulares también se llaman 5- suaves , lo que indica que su mayor factor primo es como máximo 5. ^[2] Más generalmente, un número k -suave es un número cuyo mayor factor primo es como máximo k . ^[3] ${\displaystyle 2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 60^{\max(\lceil i\,/2\rceil ,j,k)}}$

Los primeros números regulares son ^[2]

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 50, 54, 60, ... (secuencia A051037 en el OEIS )

Varias otras secuencias en la Enciclopedia en línea de secuencias enteras tienen definiciones que involucran números de 5 suaves. ^[4]

Aunque los números regulares parecen densos dentro del rango de 1 a 60, son bastante escasos entre los números enteros más grandes. Un número regular es menor o igual a algún umbral si y sólo si el punto pertenece al tetraedro delimitado por los planos coordenados y el plano. ${\displaystyle n=2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (i,j,k)}$

$${\displaystyle i\ln 2+j\ln 3+k\ln 5\leq \ln N,}$$

volumen ${\displaystyle 2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}\leq N}$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {\frac {\log _{2}N\,\log _{3}N\,\log _{5}N}{6}}.}$$

la notación O grande ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {\frac {\left(\ln(N{\sqrt {30}})\right)^{3}}{6\ln 2\ln 3\ln 5}}+O(\log N),}$$

^[2] Srinivasa RamanujanGH Hardy^[5] ${\displaystyle O(\log \log N)}$ ${\displaystyle N}$

matemáticas babilónicas

AO 6456, una tabla de recíprocos de números regulares de Seleucid Uruk , copiada de una fuente anterior desconocida

En la notación sexagesimal babilónica, el recíproco de un número regular tiene una representación finita. Si divide a , entonces la representación sexagesimal de es solo la de para , desplazada una cierta cantidad de lugares. Esto permite una fácil división por estos números: dividir por , multiplicar por y luego desplazar. ^[6] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 60^{k}}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle 60^{k}/n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/n}$

Por ejemplo, considere la división por el número regular 54 = 2 ¹ 3 ³ . 54 es divisor de 60 ³ y 60 ³ /54 = 4000, por lo que dividir por 54 en sexagesimal se puede lograr multiplicando por 4000 y desplazando tres lugares. En sexagesimal 4000 = 1×3600 + 6×60 + 40×1, o (como lo indica Joyce) 1:6:40. Así, 1/54, en sexagesimal, es 1/60 + 6/60 ² + 40/60 ³ , también denotado 1:6:40 ya que las convenciones de notación babilónicas no especificaban la potencia del dígito inicial. Por el contrario, 1/4000 = 54/60 ³ , por lo que la división por 1:6:40 = 4000 se puede lograr multiplicando por 54 y desplazando tres lugares sexagesimales.

Los babilonios utilizaban tablas de recíprocos de números regulares, algunas de las cuales aún sobreviven. ^[7] Estas tablas existieron relativamente sin cambios durante la época babilónica. ^[6] Una tablilla de la época seléucida , obra de alguien llamado Inaqibıt-Anu, contiene los recíprocos de 136 de los 231 números regulares de seis posiciones cuyo primer lugar es 1 o 2, enumerados en orden. También incluye recíprocos de algunos números de más de seis lugares, como 3 ²³ (2 1 4 8 3 0 7 en sexagesimal), cuyo recíproco tiene 17 dígitos sexagesimales. Al notar la dificultad de calcular estos números y ordenarlos, Donald Knuth en 1972 aclamó a Inaqibıt-Anu como "el primer hombre en la historia en resolver un problema computacional que toma más de un segundo en una computadora electrónica moderna". (También se conocen dos tablas que dan aproximaciones de recíprocos de números no regulares, una de las cuales da recíprocos para todos los números del 56 al 80.) ^{[8] [9]}

Aunque la razón principal para preferir los números regulares a otros números tiene que ver con la finitud de sus recíprocos, algunos cálculos babilónicos distintos de los recíprocos también involucraban números regulares. Por ejemplo, se han encontrado tablas de cuadrados regulares ^{[6] y} Neugebauer ha interpretado que la tablilla rota Plimpton 322 enumera ternas pitagóricas generadas por y tanto regulares como menores que 60. ^[10] Fowler y Robson analizan el cálculo de raíces cuadradas , como por ejemplo cómo los babilonios encontraron una aproximación a la raíz cuadrada de 2 , quizás usando aproximaciones numéricas regulares de fracciones como 17/12. ^[9] ${\displaystyle (p^{2}-q^{2},\,2pq,\,p^{2}+q^{2})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Teoría musical

En teoría musical , la entonación justa de la escala diatónica involucra números regulares: los tonos en una sola octava de esta escala tienen frecuencias proporcionales a los números en la secuencia 24, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48 de casi números regulares consecutivos. ^{[11] Por lo tanto, para un instrumento con esta afinación, todos los tonos son} armónicos de número regular de una única frecuencia fundamental . Esta escala se llama afinación de límite 5 , lo que significa que el intervalo entre dos tonos cualesquiera se puede describir como un producto 2 ⁱ 3 ^j 5 ^k de potencias de los números primos hasta 5, o de manera equivalente como una proporción de números regulares. ^[12]

También se han utilizado escalas musicales de 5 límites distintas a la familiar escala diatónica de la música occidental, tanto en músicas tradicionales de otras culturas como en la música experimental moderna: Honingh y Bod (2005) enumeran 31 escalas diferentes de 5 límites, extraídas de una escala más grande. Base de datos de escalas musicales. Cada una de estas 31 escalas comparte con la entonación justa diatónica la propiedad de que todos los intervalos son proporciones de números regulares. ^{[12] El} tonnetz de Euler proporciona una representación gráfica conveniente de los tonos en cualquier afinación de 5 límites, al factorizar las relaciones de octava (potencias de dos) para que los valores restantes formen una cuadrícula plana . ^[12] Algunos teóricos de la música han afirmado de manera más general que los números regulares son fundamentales para la música tonal en sí y que las proporciones de tono basadas en números primos mayores que 5 no pueden ser consonantes . ^[13] Sin embargo, el temperamento igual de los pianos modernos no es una afinación de 5 límites, ^[14] y algunos compositores modernos han experimentado con afinaciones basadas en números primos mayores que cinco. ^[15]

En relación con la aplicación de números regulares a la teoría musical, es interesante encontrar pares de números regulares que difieran en uno. Hay exactamente diez pares de este tipo y cada uno de ellos define una relación superparticular que tiene significado como intervalo musical. Estos intervalos son 2/1 (la octava ), 3/2 (la quinta justa ), 4/3 (la cuarta justa ), 5/4 (la tercera mayor justa ), 6/5 (la tercera justa menor ), 9 /8 (el tono justamente mayor ), 10/9 (el tono justamente menor ), 16/15 (el semitono justamente diatónico ), 25/24 (el semitono justamente cromático ) y 81/80 (la coma sintónica ). ^[dieciséis] ${\displaystyle (x,x+1)}$ ${\displaystyle {\tfrac {x+1}{x}}}$

En la teoría renacentista de la armonía universal , las proporciones musicales se utilizaban en otras aplicaciones, incluida la arquitectura de los edificios. En relación con el análisis de estas proporciones musicales y arquitectónicas compartidas, por ejemplo en la arquitectura de Palladio , los números regulares también se denominaron números enteros armónicos . ^[17]

Algoritmos

Edsger Dijkstra popularizó los algoritmos para calcular los números regulares en orden ascendente . Dijkstra (1976, 1981) atribuye a Hamming el problema de construir la secuencia ascendente infinita de todos los números 5 lisos; este problema ahora se conoce como problema de Hamming , y los números así generados también se denominan números de Hamming . Las ideas de Dijkstra para calcular estos números son las siguientes:

• La secuencia de los números de Hamming comienza con el número 1.
• Los valores restantes de la secuencia tienen la forma , y , donde es cualquier número de Hamming. ${\displaystyle 2h}$ ${\displaystyle 3h}$ ${\displaystyle 5h}$ ${\displaystyle h}$
• Por lo tanto, la secuencia se puede generar generando el valor 1 y luego fusionando las secuencias , y . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle 2H}$ ${\displaystyle 3H}$ ${\displaystyle 5H}$

Este algoritmo se utiliza a menudo para demostrar el poder de un lenguaje de programación funcional perezoso , porque (implícitamente) implementaciones eficientes concurrentes, que utilizan un número constante de operaciones aritméticas por valor generado, se construyen fácilmente como se describe anteriormente. También son posibles implementaciones secuenciales imperativas o funcionales estrictas igualmente eficientes, mientras que las soluciones generativas explícitamente concurrentes pueden no ser triviales. ^[18]

En el lenguaje de programación Python , el código funcional diferido para generar números regulares se utiliza como una de las pruebas integradas para verificar la corrección de la implementación del lenguaje. ^[19]

Un problema relacionado, analizado por Knuth (1972), es enumerar todos los números sexagesimales de dígitos en orden ascendente (consulte #Matemáticas babilónicas más arriba). En términos algorítmicos, esto equivale a generar (en orden) la subsecuencia de la secuencia infinita de números regulares, que van desde hasta . ^[8] Véase Gingerich (1965) para una descripción temprana del código informático que genera estos números desordenados y luego los clasifica; ^[20] Knuth describe un algoritmo ad hoc, que atribuye a Bruins (1970), para generar números de seis dígitos más rápidamente, pero que no se generaliza de manera directa a valores más grandes de . ^[8] Eppstein (2007) describe un algoritmo para calcular tablas de este tipo en tiempo lineal para valores arbitrarios de . ^[21] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 60^{k}}$ ${\displaystyle 60^{k+1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Otras aplicaciones

Heninger, Rains y Sloane (2006) muestran que, cuando es un número regular y es divisible por 8, la función generadora de una red unimodular par extrema -dimensional es una potencia de un polinomio. ^[22] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Al igual que con otras clases de números suaves , los números regulares son importantes como tamaños de problemas en programas de computadora para realizar la transformada rápida de Fourier , una técnica para analizar las frecuencias dominantes de señales en datos que varían en el tiempo . Por ejemplo, el método de Temperton (1992) requiere que la longitud de la transformación sea un número regular. ^[23]

El libro VIII de La República de Platón incluye una alegoría del matrimonio centrada en el número muy regular 60 ⁴ = 12.960.000 y sus divisores (ver El número de Platón ). Estudiosos posteriores han invocado tanto las matemáticas babilónicas como la teoría musical en un intento de explicar este pasaje. ^[24]

Ciertas especies de bambú liberan una gran cantidad de semillas en sincronía (un proceso llamado masting ) a intervalos que se han estimado como números regulares de años, con diferentes intervalos para diferentes especies, incluidos ejemplos con intervalos de 10, 15, 16, 30, 32. , 48, 60 y 120 años. ^[25] Se ha planteado la hipótesis de que el mecanismo biológico para cronometrar y sincronizar este proceso se presta a números suaves, y en particular en este caso a números de 5 suaves. Aunque los intervalos de maduración estimados para algunas otras especies de bambú no son números regulares de años, esto puede explicarse como un error de medición. ^[25]

Notas

1. Inspirado en diagramas similares de Erkki Kurenniemi en "Acordes, escalas y celosías divisorias".
2. Sloane "A051037".
3. Pomerancia (1995).
4. OEIS busca secuencias que impliquen 5 suavidad.
5. Berndt y Rankin (1995).
6. Aaboe (1965).
7. Sachs (1947).
8. Knuth (1972).
9. Fowler y Robson (1998).
10. Véase Conway y Guy (1996) para un tratamiento popular de esta interpretación. Plimpton 322 tiene otras interpretaciones, para las cuales consulte su artículo, pero todas involucran números regulares.
11. Clarke (1877).
12. Honingh y Bod (2005).
13. Asmussen (2001), por ejemplo, afirma que "dentro de cualquier pieza de música tonal" todos los intervalos deben ser proporciones de números regulares, haciéndose eco de afirmaciones similares de escritores mucho anteriores como Habens (1889). En la literatura de teoría musical moderna, esta afirmación se atribuye a menudo a Longuet-Higgins (1962), quien utilizó una disposición gráfica estrechamente relacionada con el tonnetz para organizar tonos de 5 límites.
14. Kopiez (2003).
15. Lobo (2003).
16. Halsey y Hewitt (1972) señalan que esto se deriva del teorema de Størmer (Størmer 1897) y proporcionan una prueba para este caso; véase también Silver (1971).
17. Howard y Longair (1982).
18. Véase, por ejemplo, Hemmendinger (1988) o Yuen (1992).
19. Función m235 en test_generators.py.
20. Jengibreich (1965).
21. Eppstein (2007).
22. Heninger, lluvias y Sloane (2006).
23. Temperton (1992).
24. Barton (1908); McClain (1974).
25. Veller, Nowak y Davis (2015).

Referencias

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enlaces externos

• Tabla de recíprocos de números regulares hasta 3600 del sitio web del profesor David E. Joyce, Clark University.
• RosettaCode Generación de Hamming_numbers en ~ 50 lenguajes de programación