Número práctico

Número tal que él y todos los números más pequeños puedan representarse como sumas de sus distintos divisores.

Demostración de la practicidad del número 12.

En teoría de números , un número práctico o número panarítmico ^[1] es un entero positivo tal que todos los enteros positivos más pequeños pueden representarse como sumas de distintos divisores de . Por ejemplo, 12 es un número práctico porque todos los números del 1 al 11 se pueden expresar como sumas de sus divisores 1, 2, 3, 4 y 6: además de estos divisores en sí, tenemos 5 = 3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1 y 11 = 6 + 3 + 2. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Comienza la secuencia de números prácticos (secuencia A005153 en el OEIS )

1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 104, 108, 112, 120, 126, 128, 132, 140, 144, 150....

Fibonacci utilizó números prácticos en su Liber Abaci (1202) en relación con el problema de representar números racionales como fracciones egipcias . Fibonacci no define formalmente los números prácticos, pero proporciona una tabla de expansiones de fracciones egipcias para fracciones con denominadores prácticos. ^[2]

El nombre "número práctico" se debe a Srinivasan (1948). Señaló que "las subdivisiones de dinero, pesos y medidas involucran números como 4, 12, 16, 20 y 28, que generalmente se supone que son tan inconvenientes que merecen ser reemplazados por potencias de 10". Su clasificación parcial de estos números fue completada por Stewart (1954) y Sierpiński (1955). Esta caracterización permite determinar si un número es práctico examinando su factorización prima. Todo número par perfecto y toda potencia de dos también es un número práctico.

También se ha demostrado que los números prácticos son análogos a los números primos en muchas de sus propiedades. ^[3]

Caracterización de números prácticos.

La caracterización original de Srinivasan (1948) afirmaba que un número práctico no puede ser un número deficiente , es decir, uno en el que la suma de todos los divisores (incluido 1 y él mismo) es menor que el doble del número, a menos que la deficiencia sea uno. Si el conjunto ordenado de todos los divisores del número práctico es con y , entonces la afirmación de Srinivasan se puede expresar mediante la desigualdad. En otras palabras, la secuencia ordenada de todos los divisores de un número práctico tiene que ser una subsecuencia completa . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {d_{1},d_{2},...,d_{j}}}$ ${\displaystyle d_{1}=1}$ ${\displaystyle d_{j}=n}$ $${\displaystyle 2n\leq 1+\sum _{i=1}^{j}d_{i}.}$$ ${\displaystyle {d_{1}<d_{2}<...<d_{j}}}$

Esta caracterización parcial fue ampliada y completada por Stewart (1954) y Sierpiński (1955), quienes demostraron que es sencillo determinar si un número es práctico a partir de su factorización prima . Un número entero positivo mayor que uno con factorización prima (con los primos ordenados ) es práctico si y sólo si cada uno de sus factores primos es lo suficientemente pequeño como para tener una representación como una suma de divisores más pequeños. Para que esto sea cierto, el primer primo debe ser igual a 2 y, para cada i desde 2 hasta  k , cada primo sucesivo debe obedecer a la desigualdad ${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}...p_{k}^{\alpha _{k}}}$ ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\dots <p_{k}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}-1}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle p_{i}\leq 1+\sigma (p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\dots p_{i-1}^{\alpha _{i-1}})=1+\sigma (p_{1}^{\alpha _{1}})\sigma (p_{2}^{\alpha _{2}})\dots \sigma (p_{i-1}^{\alpha _{i-1}})=1+\prod _{j=1}^{i-1}{\frac {p_{j}^{\alpha _{j}+1}-1}{p_{j}-1}},}$

donde denota la suma de los divisores de x . Por ejemplo, 2 × 3 ² × 29 × 823 = 429606 es práctico, porque la desigualdad anterior se cumple para cada uno de sus factores primos: 3 ≤ σ(2) + 1 = 4, 29 ≤ σ(2 × 3 ² ) + 1 = 40, y 823 ≤ σ(2 × 3 ² × 29) + 1 = 1171. ${\displaystyle \sigma (x)}$

La condición mencionada anteriormente es necesaria y suficiente para que un número sea práctico. En una dirección, esta condición es necesaria para poder representar como una suma de divisores de , porque si la desigualdad no fuera cierta, incluso sumando todos los divisores más pequeños daría una suma demasiado pequeña para alcanzar . En el otro sentido, la condición es suficiente, como puede demostrarse por inducción. Más claramente, si la factorización de satisface la condición anterior, entonces cualquiera puede representarse como una suma de divisores de , mediante la siguiente secuencia de pasos: ^[4] ${\displaystyle p_{i}-1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p_{i}-1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m\leq \sigma (n)}$ ${\displaystyle n}$

• Por inducción sobre , se puede demostrar que . Por eso . ${\displaystyle j\in [1,\alpha _{k}]}$ ${\displaystyle p_{k}^{j}\leq 1+\sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k}-(j-1)})}$ ${\displaystyle p_{k}^{\alpha _{k}}\leq 1+\sigma (n/p_{k})}$
• Dado que las partes internas cubren , hay tal y tal aquello . ${\displaystyle [qp_{k}^{\alpha _{k}},qp_{k}^{\alpha _{k}}+\sigma (n/p_{k})]}$ ${\displaystyle [1,\sigma (n)]}$ ${\displaystyle 1\leq q\leq \sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k}})}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r\in [0,\sigma (n/p_{k})]}$ ${\displaystyle m=qp_{k}^{\alpha _{k}}+r}$
• Dado que se puede demostrar por inducción que y es práctico, podemos encontrar una representación de q como una suma de divisores de . ${\displaystyle q\leq \sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k}})}$ ${\displaystyle n/p_{k}^{\alpha _{k}}}$ ${\displaystyle n/p_{k}^{\alpha _{k}}}$
• Dado que , y dado que se puede demostrar por inducción que es práctico, podemos encontrar una representación de r como una suma de divisores de . ${\displaystyle r\leq \sigma (n/p_{k})}$ ${\displaystyle n/p_{k}}$ ${\displaystyle n/p_{k}}$
• Los divisores que representan r , junto con los tiempos de cada uno de los divisores que representan q , juntos forman una representación de m como una suma de divisores de . ${\displaystyle p_{k}^{\alpha _{k}}}$ ${\displaystyle n}$

Propiedades

• El único número impar práctico es 1, porque si es un número impar mayor que 2, entonces 2 no se puede expresar como la suma de divisores distintos de . Más claramente, Srinivasan (1948) observa que, excepto 1 y 2, todo número práctico es divisible por 4 o 6 (o ambos). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$
• El producto de dos números prácticos también es un número práctico. ^[5] De manera equivalente, el conjunto de todos los números prácticos está cerrado bajo la multiplicación. Más claramente, el mínimo común múltiplo de dos números prácticos cualesquiera también es un número práctico.
• De la caracterización anterior de Stewart y Sierpiński se puede ver que si es un número práctico y es uno de sus divisores, entonces también debe ser un número práctico. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n\cdot d}$
• En el conjunto de todos los números prácticos existe un conjunto primitivo de números prácticos. Un número práctico primitivo es práctico y libre de cuadrados o práctico y cuando se divide por cualquiera de sus factores primos cuyo exponente de factorización es mayor que 1 ya no es práctico. Comienza la secuencia de números prácticos primitivos (secuencia A267124 en el OEIS )

1, 2, 6, 20, 28, 30, 42, 66, 78, 88, 104, 140, 204, 210, 220, 228, 260, 272, 276, 304, 306, 308, 330, 340, 342, 348, 364, 368, 380, 390, 414, 460...

• Todo número entero positivo tiene un múltiplo práctico. Por ejemplo, para cada número entero , su múltiplo es práctico. ^[6] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{\lfloor \log _{2}n\rfloor }n}$

Relación con otras clases de números

Varios otros conjuntos notables de números enteros consisten únicamente en números prácticos:

• De las propiedades anteriores con un número práctico y uno de sus divisores (es decir, ) también debe ser un número práctico, por lo tanto, seis veces cada potencia de 3 debe ser un número práctico, así como seis veces cada potencia de 2. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d|n}$ ${\displaystyle n\cdot d}$
• Cada potencia de dos es un número práctico. ^[7] Las potencias de dos satisfacen trivialmente la caracterización de los números prácticos en términos de sus factorizaciones primas: el único primo en sus factorizaciones, p ₁ , es igual a dos según sea necesario.
• Todo número par perfecto es también un número práctico. ^[7] Esto se desprende del resultado de Leonhard Euler de que un número par perfecto debe tener la forma . La parte impar de esta factorización es igual a la suma de los divisores de la parte par, por lo que cada factor primo impar de dicho número debe ser como máximo la suma de los divisores de la parte par del número. Por tanto, este número debe satisfacer la caracterización de números prácticos. Se puede utilizar un argumento similar para demostrar que un número par perfecto dividido por 2 ya no es práctico. Por tanto, todo número par perfecto es también un número práctico primitivo. ${\displaystyle 2^{k-1}(2^{k}-1)}$
• Todo primorial (el producto de los primeros primos, para algunos ) es práctico. ^[7] Para los dos primeros primoriales, dos y seis, esto está claro. Cada primorial sucesivo se forma multiplicando un número primo por un primorial más pequeño que es divisible por dos y por el siguiente primo más pequeño . Según el postulado de Bertrand , cada factor primo sucesivo en el primorial es menor que uno de los divisores del primorial anterior. Por inducción, se deduce que todo primorial satisface la caracterización de los números prácticos. Debido a que un primorial es, por definición, libre de cuadrados, también es un número práctico primitivo. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p_{i-1}}$ ${\displaystyle p_{i}<2p_{i-1}}$
• Generalizando los primoriales, cualquier número que sea producto de potencias distintas de cero de los primeros primos también debe ser práctico. Esto incluye los números altamente compuestos de Ramanujan (números con más divisores que cualquier entero positivo más pequeño), así como los números factoriales . ^[7] ${\displaystyle k}$

Números prácticos y fracciones egipcias.

Si es práctico, entonces cualquier número racional de la forma con puede representarse como una suma donde cada uno es un divisor distinto de . Cada término de esta suma se simplifica a una fracción unitaria , por lo que dicha suma proporciona una representación como una fracción egipcia . Por ejemplo, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m/n}$ ${\displaystyle m<n}$ ${\textstyle \sum d_{i}/n}$ ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m/n}$ $${\displaystyle {\frac {13}{20}}={\frac {10}{20}}+{\frac {2}{20}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{20}}.}$$

Fibonacci, en su libro Liber Abaci ^[2] de 1202 , enumera varios métodos para encontrar representaciones en fracciones egipcias de un número racional. De ellos, el primero es comprobar si el número ya es en sí mismo una fracción unitaria, pero el segundo es buscar una representación del numerador como una suma de divisores del denominador, como se describió anteriormente. Sólo se garantiza que este método tendrá éxito para denominadores que sean prácticos. Fibonacci proporciona tablas de estas representaciones para fracciones que tienen como denominadores los números prácticos 6, 8, 12, 20, 24, 60 y 100.

Vose (1985) demostró que todo número racional tiene una representación de fracción egipcia con términos. La prueba implica encontrar una secuencia de números prácticos con la propiedad de que cada número menor que puede escribirse como una suma de divisores distintos de . Luego, se elige de modo que , y se divide dando cociente y resto . De estas elecciones se desprende que . Expandir ambos numeradores en el lado derecho de esta fórmula en sumas de divisores da como resultado la representación de fracción egipcia deseada. Tenenbaum y Yokota (1990) utilizan una técnica similar que implica una secuencia diferente de números prácticos para demostrar que cada número racional tiene una representación de fracción egipcia en la que el denominador más grande es . ${\displaystyle x/y}$ ${\displaystyle O({\sqrt {\log y}})}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle O({\sqrt {\log n_{i-1}}})}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n_{i-1}<y<n_{i}}$ ${\displaystyle xn_{i}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\frac {x}{y}}={\frac {q}{n_{i}}}+{\frac {r}{yn_{i}}}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle x/y}$ ${\displaystyle O(y\log ^{2}y/\log \log y)}$

Según una conjetura de Zhi-Wei Sun de septiembre de 2015 , ^[8] cada número racional positivo tiene una representación de fracción egipcia en la que cada denominador es un número práctico. La conjetura fue probada por David Eppstein  (2021).

Analogías con números primos

Una razón del interés por los números prácticos es que muchas de sus propiedades son similares a las propiedades de los números primos . De hecho, para los números prácticos se conocen teoremas análogos a la conjetura de Goldbach y a la conjetura de los primos gemelos : cada entero par positivo es la suma de dos números prácticos, y existen infinitos triples de números prácticos . ^[9] Melfi también demostró ^[10] que hay infinitos números de Fibonacci prácticos (secuencia A124105 en la OEIS ); La cuestión análoga de la existencia de infinitos números primos de Fibonacci está abierta. Hausman y Shapiro (1984) demostraron que siempre existe un número práctico en el intervalo para cualquier real positivo , un resultado análogo a la conjetura de Legendre para los primos. Además, para todos los suficientemente grandes , el intervalo contiene muchos números prácticos. ^[11] ${\displaystyle (x-2,x,x+2)}$ ${\displaystyle [x^{2},(x+1)^{2})]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [x-x^{0.4872},x]}$

Contemos cuántos números prácticos hay como máximo . Margenstern (1991) conjeturó que es asintótico para alguna constante , una fórmula que se asemeja al teorema de los números primos , reforzando la afirmación anterior de Erdős y Loxton (1979) de que los números prácticos tienen densidad cero en los números enteros. Mejorando una estimación de Tenenbaum (1986), Saias (1997) encontró que tiene un orden de magnitud . Weingartner (2015) demostró la conjetura de Margenstern. Tenemos ^[12] donde ^[13] Por tanto, los números prácticos son aproximadamente un 33,6% más numerosos que los números primos. El valor exacto del factor constante viene dado por ^[14] donde es la constante de Euler-Mascheroni y pasa por números primos. ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle cx/\log x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle x/\log x}$ $${\displaystyle p(x)={\frac {cx}{\log x}}\left(1+O\!\left({\frac {\log \log x}{\log x}}\right)\right),}$$ ${\displaystyle c=1.33607...}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle c={\frac {1}{1-e^{-\gamma }}}\sum _{n\ {\text{practical}}}{\frac {1}{n}}{\Biggl (}\sum _{p\leq \sigma (n)+1}{\frac {\log p}{p-1}}-\log n{\Biggr )}\prod _{p\leq \sigma (n)+1}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),}$$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle p}$

Al igual que con los números primos en una progresión aritmética, dados dos números naturales y , tenemos ^[15] El factor constante es positivo si, y sólo si, hay más de un número práctico congruente con . Si entonces . Por ejemplo, alrededor del 38,26% de los números prácticos tienen un último dígito decimal de 0, mientras que los últimos dígitos de 2, 4, 6, 8 ocurren cada uno con la misma frecuencia relativa del 15,43%. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle |\{n\leq x:n{\text{ practical and }}n\equiv a{\bmod {q}}\}|={\frac {c_{q,a}x}{\log x}}+O_{q}\left({\frac {x}{(\log x)^{2}}}\right).}$$ ${\displaystyle c_{q,a}}$ ${\displaystyle a{\bmod {q}}}$ ${\displaystyle \gcd(q,a)=\gcd(q,b)}$ ${\displaystyle c_{q,a}=c_{q,b}}$

Notas

1. Margenstern (1991) cita a Robinson (1979) y Heyworth (1980) por el nombre "números panarítmicos".
2. Sigler (2002).
3. Hausman y Shapiro (1984); Margenstern (1991); Melfi (1996); Saias (1997).
4. Estuardo (1954); Sierpinski (1955).
5. Margenstern (1991).
6. Eppstein (2021).
7. Srinivasan (1948).
8. Sun, Zhi-Wei, Una conjetura sobre fracciones unitarias que involucran números primos (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 19 de octubre de 2018 , consultado el 22 de noviembre de 2016.
9. Melfi (1996).
10. Melfi (1995)
11. Weingartner (2022).
12. Weingartner (2015) y Observación 1 de Pomerance & Weingartner (2021)
13. Weingartner (2020).
14. Weingartner (2019).
15. Weingartner (2021)

Referencias

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enlaces externos

• Tablas de números prácticos Archivado el 26 de diciembre de 2017 en Wayback Machine compiladas por Giuseppe Melfi.
• Número práctico en PlanetMath .
• Weisstein, Eric W. , "Número práctico", MathWorld