Fibonacci primo

Número primo en la secuencia de Fibonacci

Un primo de Fibonacci es un número de Fibonacci que es primo , un tipo de secuencia de números enteros primos.

Los primeros primos de Fibonacci son (secuencia A005478 en la OEIS ):

2 , 3 , 5 , 13 , 89 , 233 , 1597, 28657, 514229, 433494437, 2971215073, ....

Primos de Fibonacci conocidos

Problema sin resolver en matemáticas :

¿Existe un número infinito de números primos de Fibonacci?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

No se sabe si hay infinitos números primos de Fibonacci. Con la indexación comenzando con F ₁ = F ₂ = 1 , los primeros 37 índices n para los que F _n es primo son (secuencia A001605 en la OEIS ):

n = 3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 43, 47, 83, 131, 137, 359, 431, 433, 449, 509, 569, 571, 2971, 4723, 5387, 9311, 9677, 14431, 25561, 30757, 35999, 37511, 50833, 81839, 104911, 130021, 148091, 201107.

(Tenga en cuenta que los valores reales F _n se vuelven rápidamente muy grandes, por lo que, por razones prácticas, solo se enumeran los índices).

Además de estos primos de Fibonacci probados, se han encontrado varios primos probables :

n = 397379, 433781, 590041, 593689, 604711, 931517, 1049897, 1285607, 1636007, 1803059, 1968721, 2904353, 3244369, 3340367, 4740217, 6530879, 7789819, 10317107, 10367321. ^[2]

Excepto en el caso n = 4, todos los primos de Fibonacci tienen un índice primo, porque si a divide a b , entonces también divide (pero no todo índice primo da como resultado un primo de Fibonacci). Es decir, la sucesión de Fibonacci es una sucesión de divisibilidad . ${\displaystyle F_{a}}$ ${\displaystyle F_{b}}$

F _p es primo para 8 de los primeros 10 primos p ; las excepciones son F ₂ = 1 y F ₁₉ = 4181 = 37 × 113. Sin embargo, los primos de Fibonacci parecen volverse más raros a medida que aumenta el índice. F _p es primo solo para 26 de los 1229 primos p menores de 10 000. ^[3] La cantidad de factores primos en los números de Fibonacci con índice primo son:

0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 1, 2, 4, 2, 3, 2, 2, 2, 1, 1, 3, 4, 2, 4, 4, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 2, 5, 3, 4, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 2, 3, 4, 2, 4, 4, 4, 3, 2, 3, 5, 4, 2, 1, ... (secuencia A080345 en la OEIS )

A partir de septiembre de 2023 ^[actualizar], el primo de Fibonacci más grande conocido es F ₂₀₁₁₀₇ , con 42029 dígitos. Maia Karpovich demostró que era primo en septiembre de 2023. ^[4] El primo de Fibonacci probable más grande conocido es F _10367321. Lo descubrió Ryan Propper en julio de 2024. ^[2] Nick MacKinnon demostró que los únicos números de Fibonacci que también son primos gemelos son 3, 5 y 13. ^[5]

Divisibilidad de los números de Fibonacci

Un primo divide si y solo si p es congruente con ±1 módulo 5, y p divide si y solo si es congruente con ±2 módulo 5. (Para p = 5, F ₅ = 5, por lo que 5 divide a F ₅ ) ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle F_{p-1}}$ ${\displaystyle F_{p+1}}$

Los números de Fibonacci que tienen un índice primo p no comparten ningún divisor común mayor que 1 con los números de Fibonacci anteriores, debido a la identidad: ^[6]

${\displaystyle \gcd(F_{n},F_{m})=F_{\gcd(n,m)}.}$

Para n  ≥ 3 , F _n divide a F _m si y sólo si n divide a m . ^[7]

Si suponemos que m es un número primo p , y n es menor que p , entonces está claro que F _p no puede compartir ningún divisor común con los números de Fibonacci anteriores.

${\displaystyle \gcd(F_{p},F_{n})=F_{\gcd(p,n)}=F_{1}=1.}$

Esto significa que F _p siempre tendrá factores característicos o será un factor característico primo en sí mismo. La cantidad de factores primos distintos de cada número de Fibonacci se puede expresar en términos simples.

• F _nk es un múltiplo de F _k para todos los valores de n y k tales que n ≥ 1 y k ≥ 1. ^[8] Es seguro decir que F _nk tendrá "al menos" el mismo número de factores primos distintos que F _k . Todos los F _p no tendrán factores de F _k , pero "al menos" un nuevo primo característico del teorema de Carmichael .

• El teorema de Carmichael se aplica a todos los números de Fibonacci excepto a cuatro casos especiales: y Si observamos los factores primos de un número de Fibonacci, habrá al menos uno de ellos que nunca antes apareció como factor en ningún número de Fibonacci anterior. Sea π _n el número de factores primos distintos de F _n . (secuencia A022307 en la OEIS ) ${\displaystyle F_{1}=F_{2}=1,F_{6}=8}$ ${\displaystyle F_{12}=144.}$

Si k | n entonces excepto por ${\displaystyle \pi _{n}\geqslant \pi _{k}+1}$ ${\displaystyle \pi _{6}=\pi _{3}=1.}$

Si k = 1, y n es un primo impar , entonces 1 | p y ${\displaystyle \pi _{p}\geqslant \pi _{1}+1=1.}$

El primer paso para encontrar el cociente característico de cualquier F _n es dividir los factores primos de todos los números de Fibonacci anteriores F _k para los cuales k | n . ^[9]

Los cocientes exactos que quedan son factores primos que aún no han aparecido.

Si p y q son ambos primos, entonces todos los factores de F _pq son característicos, excepto los de F _p y F _q .

${\displaystyle {\begin{aligned}\gcd(F_{pq},F_{q})&=F_{\gcd(pq,q)}=F_{q}\\\gcd(F_{pq},F_{p})&=F_{\gcd(pq,p)}=F_{p}\end{aligned}}}$

Por lo tanto:

${\displaystyle \pi _{pq}\geqslant {\begin{cases}\pi _{p}+\pi _{q}+1&p\neq q\\\pi _{p}+1&p=q\end{cases}}}$

El número de factores primos distintos de los números de Fibonacci con un índice primo es directamente relevante para la función de conteo. (secuencia A080345 en la OEIS )

Rango de aparición

Para un primo p , el índice más pequeño u > 0 tal que F _u es divisible por p se denomina rango de aparición (a veces llamado punto de entrada de Fibonacci ) de p y se denota a ( p ). El rango de aparición a ( p ) se define para cada primo p . ^[10] El rango de aparición divide el periodo de Pisano π( p ) y permite determinar todos los números de Fibonacci divisibles por p . ^[11]

Para la divisibilidad de los números de Fibonacci por potencias de un primo, y ${\displaystyle p\geqslant 3,n\geqslant 2}$ ${\displaystyle k\geqslant 0}$

${\displaystyle p^{n}\mid F_{a(p)kp^{n-1}}.}$

En particular

${\displaystyle p^{2}\mid F_{a(p)p}.}$

Primos pared-sol-sol

Un primo p ≠ 2, 5 se llama primo de Fibonacci–Wieferich o primo de Wall–Sun–Sun si donde ${\displaystyle p^{2}\mid F_{q},}$

${\displaystyle q=p-\left({\frac {p}{5}}\right)}$

y es el símbolo de Legendre : ${\displaystyle \left({\tfrac {p}{5}}\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {p}{5}}\right)={\begin{cases}1&p\equiv \pm 1{\bmod {5}}\\-1&p\equiv \pm 2{\bmod {5}}\end{cases}}}$

Se sabe que para p ≠ 2, 5, a ( p ) es divisor de: ^[12]

${\displaystyle p-\left({\frac {p}{5}}\right)={\begin{cases}p-1&p\equiv \pm 1{\bmod {5}}\\p+1&p\equiv \pm 2{\bmod {5}}\end{cases}}}$

Para cada primo p que no sea un primo Muro–Sol–Sol, como se ilustra en la siguiente tabla: ${\displaystyle a(p^{2})=pa(p)}$

La existencia de primos Muro-Sol-Sol es conjetural .

Parte primitiva de Fibonacci

Porque podemos dividir cualquier número de Fibonacci por el mínimo común múltiplo de todos donde . El resultado se llama parte primitiva de . Las partes primitivas de los números de Fibonacci son ${\displaystyle F_{a}|F_{ab}}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{d}}$ ${\displaystyle d|n}$ ${\displaystyle F_{n}}$

1, 1, 2, 3, 5, 4, 13, 7, 17, 11, 89, 6, 233, 29, 61, 47, 1597, 19, 4181, 41, 421, 199, 28657, 46, 15005, 521, 5777, 281, 514229, 31, 1346269, 2207, 19801, 3571, 141961, 321, 24157817, 9349, 135721, 2161, 165580141, 211, 37, 13201, 109441, ... (secuencia A061446 en la OEIS )

Cualquier número primo que divida a ninguno de los s se llama factor primo primitivo de . El producto de los factores primos primitivos de los números de Fibonacci son ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{d}}$ ${\displaystyle F_{n}}$

1, 1, 2, 3, 5, 1, 13, 7, 17, 11, 89, 1, 233, 29, 61, 47, 1597, 19, 4181, 41, 421, 199, 28657, 23, 3001, 521, 5777, 281, 514229, 31, 1346269, 2207, 19801, 3571, 141961, 107, 24157817, 9349, 135721, 2161, 165580141, 211, 37, 13201, 109441, 64079, 2971215073, 1103, 598364773, 15251, ... (secuencia A178763 en la OEIS )

El primer caso de más de un factor primo primitivo es 4181 = 37 × 113 para . ${\displaystyle F_{19}}$

La parte primitiva tiene un factor primo no primitivo en algunos casos. La relación entre las dos secuencias anteriores es

1, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 13, 1, 1, .... (secuencia A178764 en la OEIS )

Los números naturales n para los cuales tiene exactamente un factor primo primitivo son ${\displaystyle F_{n}}$

3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 43, 45, 47, 48, 51, 52, 54, 56, 60, 62, 63, 65, 66, 72, 74, 75, 76, 82, 83, 93, 94, 98, 105, 106, 108, 111, 112, 119, 121, 122, 123, 124, 125, 131, 132, 135, 136, 137, 140, 142, 144, 145, ... (secuencia A152012 en la OEIS )

Para un primo p , p está en esta secuencia si y solo si es un primo de Fibonacci, y 2 p está en esta secuencia si y solo si es un primo de Lucas (donde es el ésimo número de Lucas ). Además, 2 ⁿ está en esta secuencia si y solo si es un primo de Lucas. ${\displaystyle F_{p}}$ ${\displaystyle L_{p}}$ ${\displaystyle L_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L_{2^{n-1}}}$

El número de factores primos primitivos de son ${\displaystyle F_{n}}$

0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 3, 2, 4, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, ... (secuencia A086597 en la OEIS )

Los factores primos menos primitivos de son ${\displaystyle F_{n}}$

1, 1, 2, 3, 5, 1, 13, 7, 17, 11, 89, 1, 233, 29, 61, 47, 1597, 19, 37, 41, 421, 199, 28657, 23, 3001, 521, 53, 281, 514229, 31, 557, 2207, 19801, 3571, 141961, 107, 73, 9349, 135721, 2161, 2789, 211, 433494437, 43, 109441, 39, 2971215073, 1103, 97, 101, ... (secuencia A001578 en la OEIS )

Se conjetura que todos los factores primos de son primitivos cuando es un número primo. ^[13] ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Números de Fibonacci en secuencias similares a números primos

Aunque no se sabe si hay infinitos primos en la secuencia de Fibonacci, Melfi demostró que hay infinitos primos ^[14] entre los números prácticos , una secuencia similar a los primos.

Véase también

• Número de Lucas

Referencias

1. "Fibonacci primo".
2. PRP Top Records, búsqueda de: F(n). Consultado el 5 de abril de 2018.
3. OEIS de Sloane : A005478 , OEIS : A001605
4. "Los veinte primeros: el número de Fibonacci". primes.utm.edu . Consultado el 15 de septiembre de 2023 .
5. N. MacKinnon, Problema 10844, Amer. Math. Monthly 109, (2002), pág. 78
6. Paulo Ribenboim , Mis números, mis amigos , Springer-Verlag 2000
7. Wells 1986, pág. 65
8. La magia matemática de los números de Fibonacci Factores de los números de Fibonacci
9. Jarden - Secuencias recurrentes, Volumen 1, Fibonacci Quarterly, por el hermano U. Alfred
10. (secuencia A001602 en la OEIS )
11. John Vinson (1963). "La relación del módulo de período m con el rango de aparición de m en la secuencia de Fibonacci" (PDF) . Fibonacci Quarterly . 1 : 37–45.
12. Steven Vajda. Números de Fibonacci y Lucas, y la sección áurea: teoría y aplicaciones . Dover Books on Mathematics.
13. La magia matemática de los números de Fibonacci Números de Fibonacci y Primos
14. Giuseppe Melfi (1995). "Una revisión de los números prácticos" (PDF) . Rend. Sem. Mat. Turín . 53 : 347–359.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Fibonacci Prime". MundoMatemático .
• Primos de Fibonacci de R. Knott
• Caldwell, Chris. Número de Fibonacci, primo de Fibonacci y registro de primos de Fibonacci en las páginas de primos
• Factorización de los primeros 300 números de Fibonacci
• Factorización de los números de Fibonacci y Lucas Archivado el 19 de agosto de 2016 en Wayback Machine.
• Pequeño programa paralelo de Haskell para encontrar posibles números primos de Fibonacci en haskell.org