Número altamente compuesto

Entero positivo con más divisores que todos los enteros positivos más pequeños

Demostración, con varillas de Cuisenaire , de los cuatro primeros números altamente compuestos: 1, 2, 4, 6

Un número altamente compuesto es un entero positivo que tiene más divisores que todos los enteros positivos más pequeños. Un concepto relacionado es el de un número altamente compuesto , un entero positivo que tiene al menos tantos divisores como todos los enteros positivos más pequeños. El nombre puede ser un poco engañoso, ya que los dos primeros números altamente compuestos (1 y 2) en realidad no son números compuestos ; sin embargo, todos los demás términos sí lo son.

Ramanujan escribió un artículo sobre números altamente compuestos en 1915. ^[1]

El matemático Jean-Pierre Kahane sugirió que Platón debe haber sabido acerca de los números altamente compuestos, ya que eligió deliberadamente un número así, 5040 (=  7! ), como el número ideal de ciudadanos en una ciudad. ^[2] Además, el artículo de Vardoulakis y Pugh profundiza en una investigación similar sobre el número 5040. ^[3]

Ejemplos

Los primeros 41 números altamente compuestos se enumeran en la tabla siguiente (secuencia A002182 en la OEIS ). El número de divisores se indica en la columna denominada d ( n ). Los asteriscos indican números altamente compuestos superiores .

A continuación se muestran los divisores de los primeros 19 números altamente compuestos.

La siguiente tabla muestra los 72 divisores de 10080 escribiéndolo como producto de dos números de 36 formas diferentes.

El número compuesto número 15.000 se puede encontrar en el sitio web de Achim Flammenkamp. Es el producto de 230 primos:

${\displaystyle a_{0}^{14}a_{1}^{9}a_{2}^{6}a_{3}^{4}a_{4}^{4}a_{5}^{3}a_{6}^{3}a_{7}^{3}a_{8}^{2}a_{9}^{2}a_{10}^{2}a_{11}^{2}a_{12}^{2}a_{13}^{2}a_{14}^{2}a_{15}^{2}a_{16}^{2}a_{17}^{2}a_{18}^{2}a_{19}a_{20}a_{21}\cdots a_{229},}$

donde es el n.º número primo sucesivo, y todos los términos omitidos ( a ₂₂ a a ₂₂₈ ) son factores con exponente igual a uno (es decir, el número es ). Más concisamente, es el producto de siete primoriales distintos: ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{14}\times 3^{9}\times 5^{6}\times \cdots \times 1451}$

${\displaystyle b_{0}^{5}b_{1}^{3}b_{2}^{2}b_{4}b_{7}b_{18}b_{229},}$

¿Dónde está el primordial ? ^[4] ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle a_{0}a_{1}\cdots a_{n}}$

Factorización prima

Gráfico del número de divisores de números enteros de 1 a 1000. Los números altamente compuestos están marcados en negrita y los números altamente compuestos superiores están marcados con asterisco. En el archivo SVG, pase el cursor sobre una barra para ver sus estadísticas.

En términos generales, para que un número sea altamente compuesto, debe tener factores primos lo más pequeños posible, pero no demasiados iguales. Según el teorema fundamental de la aritmética , cada entero positivo n tiene una factorización prima única:

${\displaystyle n=p_{1}^{c_{1}}\times p_{2}^{c_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{c_{k}}}$

donde son primos y los exponentes son números enteros positivos. ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{k}}$ ${\displaystyle c_{i}}$

Cualquier factor de n debe tener la misma o menor multiplicidad en cada primo:

${\displaystyle p_{1}^{d_{1}}\times p_{2}^{d_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{d_{k}},0\leq d_{i}\leq c_{i},0<i\leq k}$

Entonces el número de divisores de n es:

${\displaystyle d(n)=(c_{1}+1)\times (c_{2}+1)\times \cdots \times (c_{k}+1).}$

Por lo tanto, para un número altamente compuesto n ,

• los k números primos dados p _i deben ser precisamente los primeros k números primos (2, 3, 5, ...); si no, podríamos reemplazar uno de los primos dados por un primo menor, y así obtener un número menor que n con el mismo número de divisores (por ejemplo 10 = 2 × 5 puede reemplazarse por 6 = 2 × 3; ambos tienen cuatro divisores);
• la secuencia de exponentes debe ser no creciente, es decir ; de lo contrario, al intercambiar dos exponentes obtendríamos nuevamente un número menor que n con el mismo número de divisores (por ejemplo, 18 = 2 ¹  × 3 ² puede reemplazarse por 12 = 2 ²  × 3 ¹ ; ambos tienen seis divisores). ${\displaystyle c_{1}\geq c_{2}\geq \cdots \geq c_{k}}$

Además, excepto en dos casos especiales n  = 4 y n  = 36, el último exponente c _k debe ser igual a 1. Esto significa que 1, 4 y 36 son los únicos números cuadrados altamente compuestos. Decir que la secuencia de exponentes no es creciente es equivalente a decir que un número altamente compuesto es un producto de primos o, alternativamente, el número más pequeño para su signatura prima .

Nótese que, aunque las condiciones descritas anteriormente son necesarias, no son suficientes para que un número sea altamente compuesto. Por ejemplo, 96 = 2 ⁵ × 3 satisface las condiciones anteriores y tiene 12 divisores, pero no es altamente compuesto, ya que existe un número más pequeño (60) que tiene la misma cantidad de divisores.

Crecimiento asintótico y densidad

Si Q ( x ) denota el número de números altamente compuestos menores o iguales a x , entonces hay dos constantes a y b , ambas mayores que 1, tales que

${\displaystyle (\log x)^{a}\leq Q(x)\leq (\log x)^{b}\,.}$

La primera parte de la desigualdad fue demostrada por Paul Erdős en 1944 y la segunda parte por Jean-Louis Nicolas en 1988. Tenemos

${\displaystyle 1.13862<\liminf {\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1.44\ }$

y

${\displaystyle \limsup {\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1.71\ .}$^[5]

Secuencias relacionadas

Diagrama de Euler de números menores de 100:

   Abundante

   Primitivo abundante

   Altamente abundante

   Superabundante y altamente compuesto

   Colosalmente abundante y superior, altamente compuesto.

   Extraño

   Perfecto

   Compuesto

   Deficiente

Los números altamente compuestos mayores que 6 también son números abundantes . Solo hay que observar los tres divisores propios más grandes de un número altamente compuesto en particular para determinar este hecho. Es falso que todos los números altamente compuestos también sean números Harshad en base 10. El primer número altamente compuesto que no es un número Harshad es 245.044.800; tiene una suma de dígitos de 27, que no se divide exactamente en 245.044.800.

10 de los primeros 38 números altamente compuestos son números altamente compuestos superiores . La secuencia de números altamente compuestos (secuencia A002182 en la OEIS ) es un subconjunto de la secuencia de números más pequeños k con exactamente n divisores (secuencia A005179 en la OEIS ).

Los números altamente compuestos cuyo número de divisores es también un número altamente compuesto son

1, 2, 6, 12, 60, 360, 1260, 2520, 5040, 55440, 277200, 720720, 3603600, 61261200, 2205403200, 293318625600, 6746328388800, 195643523275200 (secuencia A189394 en la OEIS ).

Es muy probable que esta secuencia esté completa.

Un entero positivo n es un número compuesto en gran medida si d ( n ) ≥ d ( m ) para todo m ≤ n . La función de conteo Q _L ( x ) de números compuestos en gran medida satisface

${\displaystyle (\log x)^{c}\leq \log Q_{L}(x)\leq (\log x)^{d}\ }$

para c y d positivos con . ^{[6] [7]} ${\displaystyle 0.2\leq c\leq d\leq 0.5}$

Debido a que la factorización prima de un número altamente compuesto utiliza todos los primeros k primos, cada número altamente compuesto debe ser un número práctico . ^[8] Debido a su facilidad de uso en cálculos que involucran fracciones , muchos de estos números se utilizan en sistemas tradicionales de medición y diseños de ingeniería.

Véase también

• Número superior altamente compuesto
• Número de pacientes altamente tolerantes
• Tabla de divisores
• Función totiente de Euler
• Número redondo
• Número liso

Notas

1. Ramanujan, S. (1915). "Números altamente compuestos" (PDF) . Proc. London Math. Soc . Series 2. 14 : 347–409. doi :10.1112/plms/s2_14.1.347. JFM  45.1248.01.
2. Kahane, Jean-Pierre (febrero de 2015), "Convoluciones de Bernoulli y medidas autosimilares después de Erdős: un aperitivo personal", Avisos de la American Mathematical Society , 62 (2): 136–140Kahane cita las Leyes de Platón , 771c.
3. Vardoulakis, Antonis; Pugh, Clive (septiembre de 2008), "El teorema oculto de Platón sobre la distribución de los números primos", The Mathematical Intelligencer , 30 (3): 61–63.
4. Flammenkamp, ​​Achim, Números altamente compuestos.
5. Sándor y otros (2006) pág. 45
6. Sándor y otros (2006) pág. 46
7. Nicolás, Jean-Louis (1979). "Répartition des nombres largement composés". Acta Arith. (en francés). 34 (4): 379–390. doi : 10.4064/aa-34-4-379-390 . Zbl  0368.10032.
8. Srinivasan, AK (1948), "Números prácticos" (PDF) , Current Science , 17 : 179-180, MR  0027799.

Referencias

• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Manual de teoría de números I. Dordrecht: Springer-Verlag . págs. 45–46. ISBN 1-4020-4215-9.Zbl 1151.11300  .
• Erdös, P. (1944). "Sobre números altamente compuestos" (PDF) . Revista de la Sociedad Matemática de Londres . Segunda serie. 19 (75_Parte_3): 130–133. doi :10.1112/jlms/19.75_part_3.130. MR  0013381.
• Alaoglu, L. ; Erdös, P. (1944). "Sobre números altamente compuestos y similares" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 56 (3): 448–469. doi :10.2307/1990319. JSTOR  1990319. MR  0011087.
• Ramanujan, Srinivasa (1997). "Números altamente compuestos" (PDF) . Ramanujan Journal . 1 (2): 119–153. doi :10.1023/A:1009764017495. MR  1606180. S2CID  115619659.Anotado y con prólogo de Jean-Louis Nicolas y Guy Robin.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Número altamente compuesto". MathWorld .
• Algoritmo para calcular números altamente compuestos
• Los primeros 10 000 números altamente compuestos como factores
• Achim Flammenkamp, ​​primer 779674 HCN con sigma, tau, factores
• Calculadora de números altamente compuestos en línea
• 5040 y otros números antiprimos - Dr. James Grime por Dr. James Grime para Numberphile