En matemáticas , la signatura prima de un número es el multiconjunto de exponentes (distintos de cero) de su factorización prima . La signatura prima de un número que tiene factorización prima es el multiconjunto .
Por ejemplo, todos los números primos tienen una firma prima de {1}, los cuadrados de los primos tienen una firma prima de {2}, los productos de 2 primos distintos tienen una firma prima de {1, 1 } y los productos de un cuadrado de un primo y un primo diferente (por ejemplo, 12, 18, 20, ...) tienen una firma prima de {2, 1 }.
La función divisor τ( n ), la función de Möbius μ ( n ), el número de divisores primos distintos ω( n ) de n , el número de divisores primos Ω( n ) de n , la función indicadora de los números enteros libres de cuadrados y muchas otras funciones importantes en la teoría de números son funciones de la firma prima de n .
En particular, τ( n ) es igual al producto de los exponentes incrementados en 1 a partir de la signatura prima de n . Por ejemplo, 20 tiene signatura prima {2,1} y, por lo tanto, el número de divisores es (2+1) × (1+1) = 6. De hecho, hay seis divisores: 1, 2, 4, 5, 10 y 20.
El número más pequeño de cada firma prima es un producto de los primos . Los primeros son:
Un número no puede dividir a otro a menos que su signo primo esté incluido en el signo primo del otro número en la red de Young .
Dado un número con firma prima S , es
