Un número de Aquiles es un número que es potente pero no una potencia perfecta . [1] Un entero positivo n es un número potente si, para cada factor primo p de n , p 2 es también un divisor . En otras palabras, cada factor primo aparece al menos al cuadrado en la factorización. Todos los números de Aquiles son potentes. Sin embargo, no todos los números potentes son números de Aquiles: solo aquellos que no se pueden representar como m k , donde m y k son números enteros positivos mayores que 1.
Los números de Aquiles fueron nombrados por Henry Bottomley en honor a Aquiles , un héroe de la guerra de Troya , que también era poderoso pero imperfecto. Los números de Aquiles fuertes son números de Aquiles cuyos tocientes de Euler también son números de Aquiles; los más pequeños son 500 y 864. [2]
Un número n = p 1 a 1 p 2 a 2 … p k a k es potente si min( a 1 , a 2 , …, a k ) ≥ 2 . Si además mcd ( a 1 , a 2 , …, a k ) = 1 el número es un número de Aquiles.
Los números de Aquiles hasta 5000 son:
El par más pequeño de números de Aquiles consecutivos es: [3]
Por ejemplo, 108 es un número poderoso. Su factorización prima es 2 2 · 3 3 , y por lo tanto sus factores primos son 2 y 3. Tanto 2 2 = 4 como 3 2 = 9 son divisores de 108. Sin embargo, 108 no se puede representar como m k , donde m y k son números enteros positivos mayores que 1, por lo que 108 es un número de Aquiles.
El entero 360 no es un número de Aquiles porque no es exponente. Uno de sus factores primos es 5, pero 360 no es divisible por 5 2 = 25.
Por último, 784 no es un número de Aquiles. Es un número poderoso, porque no sólo 2 y 7 son sus únicos factores primos, sino que además 2 2 = 4 y 7 2 = 49 son divisores de él. Es una potencia perfecta:
Así que no es un número de Aquiles.
El entero 500 = 2 2 × 5 3 es un número de Aquiles fuerte ya que su total de Euler de 200 = 2 3 × 5 2 también es un número de Aquiles.
