Número superior altamente compuesto

Clase de números naturales

Función divisoria d ( n ) hasta n = 250

Factores de potencia prima

En teoría de números , un número compuesto superior es un número natural que, en un sentido riguroso particular, tiene muchos divisores . En particular, se define como una relación entre el número de divisores que tiene un entero y ese entero elevado a una potencia positiva.

Para cualquier exponente posible , el entero que tenga la mayor razón es un número altamente compuesto superior. Es una restricción más fuerte que la de un número altamente compuesto , que se define como tener más divisores que cualquier entero positivo más pequeño.

Se enumeran los primeros diez números altamente compuestos superiores y su factorización.

Gráfico del número de divisores de números enteros de 1 a 1000. Los números altamente compuestos están marcados en negrita y los números altamente compuestos superiores están marcados con asterisco. En el archivo SVG, pase el cursor sobre una barra para ver sus estadísticas.

Para un número superior altamente compuesto n existe un número real positivo ε > 0 tal que para todos los números naturales k > 1 tenemos donde d ( n ) , la función divisor , denota el número de divisores de n . El término fue acuñado por Ramanujan (1915). ^[1] $${\displaystyle {\frac {d(n)}{n^{\varepsilon }}}\geq {\frac {d(k)}{k^{\varepsilon }}}}$$

Por ejemplo, el número con más divisores por raíz cuadrada del número mismo es 12; esto se puede demostrar utilizando algunos compuestos altamente cercanos a 12. $${\displaystyle {\frac {2}{2^{.5}}}\approx 1.414,{\frac {3}{4^{.5}}}=1.5,{\frac {4}{6^{.5}}}\approx 1.633,{\frac {6}{12^{.5}}}\approx 1.732,{\frac {8}{24^{.5}}}\approx 1.633,{\frac {12}{60^{.5}}}\approx 1.549}$$

120 es otro número altamente compuesto superior porque tiene la mayor proporción de divisores respecto de sí mismo elevado a la potencia 0,4. $${\displaystyle {\frac {9}{36^{.4}}}\approx 2.146,{\frac {10}{48^{.4}}}\approx 2.126,{\frac {12}{60^{.4}}}\approx 2.333,{\frac {16}{120^{.4}}}\approx 2.357,{\frac {18}{180^{.4}}}\approx 2.255,{\frac {20}{240^{.4}}}\approx 2.233,{\frac {24}{360^{.4}}}\approx 2.279}$$

Los primeros 15 números superiores altamente compuestos, 2 , 6 , 12 , 60 , 120 , 360 , 2520 , 5040 , 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800 (secuencia A002201 en la OEIS ) son también los primeros 15 números colosalmente abundantes , que cumplen una condición similar basada en la función de suma de divisores en lugar del número de divisores. Sin embargo, ninguno de los conjuntos es un subconjunto del otro.

Propiedades

Diagrama de Euler de números menores de 100:

   Abundante

   Primitivo abundante

   Altamente abundante

   Superabundante y altamente compuesto

   Colosalmente abundante y superior, altamente compuesto.

   Extraño

   Perfecto

   Compuesto

   Deficiente

Todos los números superiores altamente compuestos son altamente compuestos . Esto es fácil de demostrar: si hay algún número k que tiene el mismo número de divisores que n pero es menor que el propio n (es decir , pero ), entonces para todo ε positivo, por lo que si un número "n" no es altamente compuesto, no puede ser superior altamente compuesto. ${\displaystyle d(k)=d(n)}$ ${\displaystyle k<n}$ ${\displaystyle {\frac {d(k)}{k^{\varepsilon }}}>{\frac {d(n)}{n^{\varepsilon }}}}$

Una construcción eficaz del conjunto de todos los números superiores altamente compuestos se da mediante la siguiente aplicación monótona a partir de los números reales positivos. ^[2] Sea para cualquier número primo p y real positivo x . Entonces es un número superior altamente compuesto. $${\displaystyle e_{p}(x)=\left\lfloor {\frac {1}{{\sqrt[{x}]{p}}-1}}\right\rfloor }$$ $${\displaystyle s(x)=\prod _{p\in \mathbb {P} }p^{e_{p}(x)}}$$

Téngase en cuenta que no es necesario calcular el producto indefinidamente, porque si entonces , entonces el producto a calcular puede terminarse una vez . ${\displaystyle p>2^{x}}$ ${\displaystyle e_{p}(x)=0}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle p\geq 2^{x}}$

Tenga en cuenta también que en la definición de , es análogo a en la definición implícita de un número altamente compuesto superior. ${\displaystyle e_{p}(x)}$ ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Además, para cada número altamente compuesto superior existe un intervalo semiabierto tal que . ${\displaystyle s'}$ ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \forall x\in I:s(x)=s'}$

Esta representación implica que existe una secuencia infinita de tales que para el n -ésimo número superior altamente compuesto se cumple ${\displaystyle \pi _{1},\pi _{2},\ldots \in \mathbb {P} }$ ${\displaystyle s_{n}}$ $${\displaystyle s_{n}=\prod _{i=1}^{n}\pi _{i}}$$

Los primeros son 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, ... (secuencia A000705 en la OEIS ). En otras palabras, el cociente de dos números superiores sucesivos altamente compuestos es un número primo. ${\displaystyle \pi _{i}}$

Base

Los primeros números superiores altamente compuestos se han utilizado a menudo como raíces , debido a su alta divisibilidad para su tamaño. Por ejemplo:

• Binario (base 2)
• Senario (base 6)
• Duodecimal (base 12)
• Sexagesimal (base 60)

Los SHCN más grandes se pueden utilizar de otras maneras. 120 aparece como la centena larga , mientras que 360 ​​aparece como el número de grados en un círculo.

Notas

1. Weisstein, Eric W. "Número compuesto superior". mathworld.wolfram.com . Consultado el 5 de marzo de 2021 .
2. Ramanujan (1915); véase también la URL http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/hcn.dvi

Referencias

• Ramanujan, S. (1915). "Números altamente compuestos". Proc. London Math. Soc . Series 2. 14 : 347–409. doi :10.1112/plms/s2_14.1.347. JFM  45.1248.01. Reimpreso en Collected Papers (Ed. GH Hardy et al.), Nueva York: Chelsea, págs. 78-129, 1962
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Manual de teoría de números I. Dordrecht: Springer-Verlag . págs. 45–46. ISBN 1-4020-4215-9.Zbl 1151.11300  .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Número altamente compuesto superior". MathWorld .