Generalizaciones de los números de Fibonacci

Sucesiones matemáticas

En matemáticas , los números de Fibonacci forman una secuencia definida recursivamente por:

${\displaystyle F_{n}={\begin{cases}0&n=0\\1&n=1\\F_{n-1}+F_{n-2}&n>1\end{cases}}}$

Es decir, después de dos valores iniciales, cada número es la suma de los dos números anteriores.

La secuencia de Fibonacci ha sido estudiada ampliamente y generalizada de muchas maneras, por ejemplo, comenzando con números distintos de 0 y 1, sumando más de dos números para generar el siguiente número o sumando objetos distintos de números.

Extensión a números enteros negativos

Usando , se pueden extender los números de Fibonacci a números enteros negativos . Así obtenemos: ${\displaystyle F_{n-2}=F_{n}-F_{n-1}}$

... −8, 5, −3, 2, −1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

y . ^[1] ${\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}}$

Véase también codificación Negafibonacci .

Extensión a todos los números reales o complejos

Hay varias generalizaciones posibles de los números de Fibonacci que incluyen los números reales (y a veces los números complejos ) en su dominio. Todas ellas implican la proporción áurea φ y se basan en la fórmula de Binet.

${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}.}$

La función analítica

${\displaystyle \operatorname {Fe} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}$

tiene la propiedad de que para números enteros pares . ^[2] De manera similar, la función analítica: ${\displaystyle \operatorname {Fe} (n)=F_{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \operatorname {Fo} (x)={\frac {\varphi ^{x}+\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}$

satisface para números enteros impares . ${\displaystyle \operatorname {Fo} (n)=F_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Finalmente, juntando todo esto, la función analítica

${\displaystyle \operatorname {Fib} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\cos(x\pi )\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}$

satisface para todos los números enteros . ^[3] ${\displaystyle \operatorname {Fib} (n)=F_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Dado que para todos los números complejos , esta función también proporciona una extensión de la secuencia de Fibonacci a todo el plano complejo, podemos calcular la función de Fibonacci generalizada de una variable compleja, por ejemplo, ${\displaystyle \operatorname {Fib} (z+2)=\operatorname {Fib} (z+1)+\operatorname {Fib} (z)}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \operatorname {Fib} (3+4i)\approx -5248.5-14195.9i}$

Espacio vectorial

El término secuencia de Fibonacci se aplica también de forma más general a cualquier función de los números enteros a un campo para el que . Estas funciones son precisamente las de la forma , por lo que las secuencias de Fibonacci forman un espacio vectorial con las funciones y como base . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(n+2)=g(n)+g(n+1)}$ ${\displaystyle g(n)=F(n)g(1)+F(n-1)g(0)}$ ${\displaystyle F(n)}$ ${\displaystyle F(n-1)}$

De manera más general, el rango de puede tomarse como cualquier grupo abeliano ( considerado como un módulo Z ). Entonces, las secuencias de Fibonacci forman un módulo Z bidimensional de la misma manera. ${\displaystyle g}$

Secuencias de números enteros similares

Secuencias de números enteros de Fibonacci

El módulo bidimensional de las secuencias de números enteros de Fibonacci consta de todas las secuencias de números enteros que satisfacen . Expresado en términos de dos valores iniciales tenemos: ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle g(n+2)=g(n)+g(n+1)}$

${\displaystyle g(n)=F(n)g(1)+F(n-1)g(0)=g(1){\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}+g(0){\frac {\varphi ^{n-1}-(-\varphi )^{1-n}}{\sqrt {5}}},}$

¿Dónde está la proporción áurea? ${\displaystyle \varphi }$

La relación entre dos elementos consecutivos converge al número áureo, excepto en el caso de la sucesión que es constantemente cero y las sucesiones donde la relación de los dos primeros términos es . ${\displaystyle (-\varphi )^{-1}}$

La secuencia se puede escribir en la forma

${\displaystyle a\varphi ^{n}+b(-\varphi )^{-n},}$

en el que si y sólo si . En esta forma, el ejemplo no trivial más simple tiene , que es la secuencia de números de Lucas : ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle a=b=1}$

${\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}.}$

Contamos con y . Las propiedades incluyen: ${\displaystyle L_{1}=1}$ ${\displaystyle L_{2}=3}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}&=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{\!n}={\frac {L(n)+F(n){\sqrt {5}}}{2}},\\L(n)&=F(n-1)+F(n+1).\end{aligned}}}$

Toda secuencia de números enteros de Fibonacci no trivial aparece (posiblemente después de un desplazamiento de un número finito de posiciones) como una de las filas de la matriz Wythoff . La propia secuencia de Fibonacci es la primera fila, y un desplazamiento de la secuencia de Lucas es la segunda fila. ^[4]

Véase también sucesiones de números enteros de Fibonacci módulo n .

Secuencias de Lucas

Una generalización diferente de la secuencia de Fibonacci son las secuencias de Lucas del tipo definido a continuación:

${\displaystyle {\begin{aligned}U(0)&=0\\U(1)&=1\\U(n+2)&=PU(n+1)-QU(n),\end{aligned}}}$

donde la secuencia normal de Fibonacci es el caso especial de y . Otro tipo de secuencia de Lucas comienza con , . Tales secuencias tienen aplicaciones en la teoría de números y en la demostración de primalidad . ${\displaystyle P=1}$ ${\displaystyle Q=-1}$ ${\displaystyle V(0)=2}$ ${\displaystyle V(1)=P}$

Cuando esta secuencia se llama secuencia P -Fibonacci , por ejemplo, la secuencia de Pell también se llama secuencia 2-Fibonacci . ${\displaystyle Q=-1}$

La secuencia 3-Fibonacci es

0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927, 12970, 42837, 141481, 467280, 1543321, 5097243, 16835050, 55602393, 183642229, 606529080, ... (secuencia A006190 en la OEIS )

La secuencia de 4 Fibonacci es

0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, 23184, 98209, 416020, 1762289, 7465176, 31622993, 133957148, 567451585, 2403763488, ... (secuencia A001076 en la OEIS )

La secuencia de 5 Fibonacci es

0, 1, 5, 26, 135, 701, 3640, 18901, 98145, 509626, 2646275, 13741001, 71351280, 370497401, 1923838285, 9989688826, ... (secuencia A052918 en la OEIS )

La secuencia de 6 Fibonacci es

0, 1, 6, 37, 228, 1405, 8658, 53353, 328776, 2026009, 12484830, 76934989, 474094764, 2921503573, 18003116202, ... (secuencia A005668 en la OEIS )

La constante n -Fibonacci es la proporción hacia la que tienden los números adyacentes de Fibonacci; también se la denomina media metálica n -ésima y es la única raíz positiva de . Por ejemplo, el caso de es , o proporción áurea , y el caso de es , o proporción de plata . Generalmente, el caso de es . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x^{2}-nx-1=0}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}}$

En general, se puede llamar secuencia ( P ,− Q ) -Fibonacci , y V ( n ) se puede llamar secuencia ( P ,− Q ) -Lucas . ${\displaystyle U(n)}$

La secuencia (1,2)-Fibonacci es

0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525, 699051, 1398101, 2796203, 5592405, 11184811, 22369621, 44739243, 89478485, ... (secuencia A001045 en la OEIS )

La secuencia (1,3)-Fibonacci es

1, 1, 4, 7, 19, 40, 97, 217, 508, 1159, 2683, 6160, 14209, 32689, 75316, 173383, 399331, 919480, 2117473, 4875913, 11228332, 25856071, 59541067, ... (secuencia A006130 en la OEIS )

La secuencia (2,2)-Fibonacci es

0, 1, 2, 6, 16, 44, 120, 328, 896, 2448, 6688, 18272, 49920, 136384, 372608, 1017984, 2781184, 7598336, 20759040, 56714752, ... (secuencia A002605 en la OEIS )

La secuencia (3,3)-Fibonacci es

0, 1, 3, 12, 45, 171, 648, 2457, 9315, 35316, 133893, 507627, 1924560, 7296561, 27663363, 104879772, 397629405, 1507527531, 5715470808, ... (secuencia A030195 en la OEIS )

Números de Fibonacci de orden superior

Una secuencia de Fibonacci de orden n es una secuencia de números enteros en la que cada elemento de la secuencia es la suma de los elementos anteriores (con excepción de los primeros elementos de la secuencia). Los números de Fibonacci habituales son una secuencia de Fibonacci de orden 2. Los casos y han sido investigados a fondo. El número de composiciones de números enteros no negativos en partes que son como máximo es una secuencia de Fibonacci de orden . La secuencia del número de cadenas de 0 y 1 de longitud que contienen como máximo 0 consecutivos también es una secuencia de Fibonacci de orden . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Estas secuencias, sus razones limitantes y el límite de estas razones limitantes fueron investigadas por Mark Barr en 1913. ^[5]

Números de Tribonacci

Los números de Tribonacci son como los números de Fibonacci, pero en lugar de comenzar con dos términos predeterminados, la secuencia comienza con tres términos predeterminados y cada término posterior es la suma de los tres términos anteriores. Los primeros números de Tribonacci son:

, , 1 , 1 , 2 , 4 , 7 , 13 , 24 , 44 , 81 , 149 , 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, … (secuencia A000073 en la OEIS )

La serie fue descrita formalmente por primera vez por Agronomof ^[6] en 1914, ^[7] pero su primer uso no intencional es en El origen de las especies de Charles R. Darwin . En el ejemplo de ilustrar el crecimiento de la población de elefantes, se basó en los cálculos realizados por su hijo, George H. Darwin . ^[8] El término tribonacci fue sugerido por Feinberg en 1963. ^[9]

La constante de Tribonacci

${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}{3}}={\frac {1+4\cosh \left({\frac {1}{3}}\cosh ^{-1}\left(2+{\frac {3}{8}}\right)\right)}{3}}\approx 1.839286755214161,}$(secuencia A058265 en la OEIS )

es la razón hacia la que tienden los números de Tribonacci adyacentes. Es una raíz del polinomio y también satisface la ecuación . Es importante en el estudio del cubo romo . ${\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-1=0}$ ${\displaystyle x+x^{-3}=2}$

Construcción geométrica de la constante de Tribonacci (AC), con compás y regla marcada, según el método descrito por Xerardo Neira.

El recíproco de la constante de tribonacci , expresado por la relación , se puede escribir como: ${\displaystyle \xi ^{3}+\xi ^{2}+\xi =1}$

${\displaystyle \xi ={\frac {{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}}-{\sqrt[{3}]{-17+3{\sqrt {33}}}}-1}{3}}={\frac {3}{1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}}\approx 0.543689012.}$(secuencia A192918 en la OEIS )

Los números de Tribonacci también se dan por ^[10]

${\displaystyle T(n)=\left\lfloor 3b\,{\frac {\left({\frac {1}{3}}\left(a_{+}+a_{-}+1\right)\right)^{n}}{b^{2}-2b+4}}\right\rceil }$

donde denota la función entera más cercana y ${\displaystyle \lfloor \cdot \rceil }$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{\pm }&={\sqrt[{3}]{19\pm 3{\sqrt {33}}}}\,,\\b&={\sqrt[{3}]{586+102{\sqrt {33}}}}\,.\end{aligned}}}$

Números de tetranacci

Los números tetranacci comienzan con cuatro términos predeterminados, cada término posterior es la suma de los cuatro términos anteriores. Los primeros números tetranacci son:

0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15 , 29 , 56 , 108 , 208 , 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648, 76424, 147312, 283953, 547337, … (secuencia A000078 en la OEIS )

La constante de tetranacci es la razón hacia la que tienden los números de tetranacci adyacentes. Es una raíz del polinomio , aproximadamente 1,927561975482925 (secuencia A086088 en la OEIS ), y también satisface la ecuación . ${\displaystyle x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0}$ ${\displaystyle x+x^{-4}=2}$

La constante de tetranacci se puede expresar en términos de radicales mediante la siguiente expresión: ^[11]

${\displaystyle x={\frac {1}{4}}\!\left(1+{\sqrt {u}}+{\sqrt {11-u+{\frac {26}{\sqrt {u}}}}}\,\right)}$

dónde,

${\displaystyle u={\frac {1}{3}}\left(11-56{\sqrt[{3}]{\frac {2}{-65+3{\sqrt {1689}}}}}+2\cdot 2^{\frac {2}{3}}{\sqrt[{3}]{-65+3{\sqrt {1689}}}}\right)}$

y es la raíz real de la ecuación cúbica ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u^{3}-11u^{2}+115u-169.}$

Órdenes superiores

Se han calculado los números pentanacci, hexanacci, heptanacci, octanacci y enneanacci.

Números de Pentanacci:

0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624, … (secuencia A001591 en la OEIS )

La constante de pentanacci es la razón hacia la que tienden los números de pentanacci adyacentes. Es una raíz del polinomio , aproximadamente 1,965948236645485 (secuencia A103814 en la OEIS ), y también satisface la ecuación . ${\displaystyle x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0}$ ${\displaystyle x+x^{-5}=2}$

Números de Hexanacci:

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936, 3840, 7617, 15109, … (secuencia A001592 en la OEIS )

La constante hexanacci es la razón hacia la que tienden los números hexanacci adyacentes. Es una raíz del polinomio , aproximadamente 1,98358284342 (secuencia A118427 en la OEIS ), y también satisface la ecuación . ${\displaystyle x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0}$ ${\displaystyle x+x^{-6}=2}$

Números de Heptanacci:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 253, 504, 1004, 2000, 3984, 7936, 15808, … (secuencia A122189 en la OEIS )

La constante de heptanacci es la razón hacia la que tienden los números de heptanacci adyacentes. Es una raíz del polinomio , aproximadamente 1,99196419660 (secuencia A118428 en la OEIS ), y también satisface la ecuación . ${\displaystyle x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0}$ ${\displaystyle x+x^{-7}=2}$

Números de Octanacci:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 255, 509, 1016, 2028, 4048, 8080, 16128, ... (secuencia A079262 en la OEIS )

Números de Enneanacci:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1021, 2040, 4076, 8144, 16272, ... (secuencia A104144 en la OEIS )

El límite de la relación de términos sucesivos de una serie -nacci tiende a una raíz de la ecuación ( OEIS : A103814 , OEIS : A118427 , OEIS : A118428 ). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x+x^{-n}=2}$

Una fórmula recursiva alternativa para el límite de la relación de dos números -nacci consecutivos se puede expresar como ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle r=\sum _{k=0}^{n-1}r^{-k}}$.

El caso especial es la serie tradicional de Fibonacci que produce la sección áurea . ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{\varphi }}}$

Las fórmulas anteriores para la relación son válidas incluso para series -nacci generadas a partir de números arbitrarios. El límite de esta relación es 2 a medida que aumenta. Una secuencia "infinacci", si se pudiera describir, después de un número infinito de ceros daría como resultado la secuencia ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

[..., 0, 0, 1,] 1, 2, 4, 8, 16, 32,…

que son simplemente las potencias de dos .

El límite de la relación para cualquier es la raíz positiva de la ecuación característica ^[11] ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle x^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}x^{i}=0.}$

La raíz está en el intervalo . La raíz negativa de la ecuación característica está en el intervalo (−1, 0) cuando es par. Esta raíz y cada raíz compleja de la ecuación característica tiene módulo . ^[11] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 2(1-2^{-n})<r<2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 3^{-n}<|r|<1}$

Una serie para la raíz positiva de cualquier es ^[11] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n>0}$

${\displaystyle 2-2\sum _{i>0}{\frac {1}{i}}{\binom {(n+1)i-2}{i-1}}{\frac {1}{2^{(n+1)i}}}.}$

No existe solución de la ecuación característica en términos de radicales cuando 5 ≤ n ≤ 11 . ^[11]

El k -ésimo elemento de la secuencia n -nacci está dado por

${\displaystyle F_{k}^{(n)}=\left\lfloor {\frac {r^{k-1}(r-1)}{(n+1)r-2n}}\right\rceil \!,}$

donde denota la función entera más cercana y es la constante -nacci, que es la raíz más cercana a 2. ${\displaystyle \lfloor \cdot \rceil }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x+x^{-n}=2}$

Un problema de lanzamiento de moneda está relacionado con la secuencia -nacci. La probabilidad de que no se produzcan cruces consecutivos en lanzamientos de una moneda idealizada es . ^[12] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2^{m}}}F_{m+2}^{(n)}}$

Palabra de Fibonacci

En analogía con su contraparte numérica, la palabra Fibonacci se define así:

${\displaystyle F_{n}:=F(n):={\begin{cases}{\text{b}}&n=0;\\{\text{a}}&n=1;\\F(n-1)+F(n-2)&n>1.\\\end{cases}}}$

donde denota la concatenación de dos cadenas. La secuencia de cadenas de Fibonacci comienza: ${\displaystyle +}$

b, a, ab, aba, abaab, abaababa, abaababaabaab,… (secuencia A106750 en la OEIS )

La longitud de cada cadena de Fibonacci es un número de Fibonacci y, de manera similar, existe una cadena de Fibonacci correspondiente para cada número de Fibonacci.

Las cadenas de Fibonacci aparecen como entradas para el peor caso en algunos algoritmos informáticos .

Si "a" y "b" representan dos materiales o longitudes de enlace atómico diferentes, la estructura correspondiente a una cadena de Fibonacci es un cuasicristal de Fibonacci , una estructura de cuasicristal aperiódica con propiedades espectrales inusuales .

Secuencias de Fibonacci convolucionadas

Una secuencia de Fibonacci convolucionada se obtiene aplicando una operación de convolución a la secuencia de Fibonacci una o más veces. En concreto, defina ^[13]

${\displaystyle F_{n}^{(0)}=F_{n}}$

y

${\displaystyle F_{n}^{(r+1)}=\sum _{i=0}^{n}F_{i}F_{n-i}^{(r)}}$

Las primeras secuencias son

${\displaystyle r=1}$: 0, 0, 1, 2, 5, 10, 20, 38, 71, … (secuencia A001629 en la OEIS ).

${\displaystyle r=2}$: 0, 0, 0, 1, 3, 9, 22, 51, 111, … (secuencia A001628 en la OEIS ).

${\displaystyle r=3}$: 0, 0, 0, 0, 1, 4, 14, 40, 105, … (secuencia A001872 en la OEIS ).

Las secuencias se pueden calcular utilizando la recurrencia

${\displaystyle F_{n+1}^{(r+1)}=F_{n}^{(r+1)}+F_{n-1}^{(r+1)}+F_{n}^{(r)}}$

La función generadora de la convolución ésima es ${\displaystyle r}$

${\displaystyle s^{(r)}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }F_{n}^{(r)}x^{n}=\left({\frac {x}{1-x-x^{2}}}\right)^{r}.}$

Las secuencias están relacionadas con la secuencia de polinomios de Fibonacci por la relación

${\displaystyle F_{n}^{(r)}=r!F_{n}^{(r)}(1)}$

donde es la derivada n de . Equivalentemente, es el coeficiente de cuando se desarrolla en potencias de . ${\displaystyle F_{n}^{(r)}(x)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle F_{n}(x)}$ ${\displaystyle F_{n}^{(r)}}$ ${\displaystyle (x-1)^{r}}$ ${\displaystyle F_{x}(x)}$ ${\displaystyle (x-1)}$

La primera convolución se puede escribir en términos de los números de Fibonacci y Lucas como ${\displaystyle F_{n}^{(1)}}$

${\displaystyle F_{n}^{(1)}={\frac {nL_{n}-F_{n}}{5}}}$

y sigue la recurrencia

${\displaystyle F_{n+1}^{(1)}=2F_{n}^{(1)}+F_{n-1}^{(1)}-2F_{n-2}^{(1)}-F_{n-3}^{(1)}.}$

Se pueden encontrar expresiones similares para con una complejidad creciente a medida que aumenta. Los números son las sumas de las filas del triángulo de Hosoya . ${\displaystyle r>1}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle F_{n}^{(1)}}$

Al igual que con los números de Fibonacci, existen varias interpretaciones combinatorias de estas secuencias. Por ejemplo , la cantidad de formas en que se puede escribir como una suma ordenada que involucra solo 0, 1 y 2, donde 0 se usa exactamente una vez. En particular , y 2 se puede escribir 0 + 1 + 1 , 0 + 2 , 1 + 0 + 1 , 1 + 1 + 0 , 2 + 0 . ^[14] ${\displaystyle F_{n}^{(1)}}$ ${\displaystyle n-2}$ ${\displaystyle F_{4}^{(1)}=5}$

Otras generalizaciones

Los polinomios de Fibonacci son otra generalización de los números de Fibonacci.

La secuencia de Padovan se genera por la recurrencia . ${\displaystyle P(n)=P(n-2)+P(n-3)}$

La secuencia de las vacas de Narayana se genera por la recurrencia . ${\displaystyle N(k)=N(k-1)+N(k-3)}$

Una secuencia de Fibonacci aleatoria se puede definir lanzando una moneda en cada posición de la secuencia y considerando si sale cara o cruz. El trabajo de Furstenberg y Kesten garantiza que esta secuencia crece casi con seguridad exponencialmente a una tasa constante: la constante es independiente de los lanzamientos de moneda y fue calculada en 1999 por Divakar Viswanath. Ahora se la conoce como la constante de Viswanath . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F(n)=F(n-1)+F(n-2)}$ ${\displaystyle F(n)=F(n-1)-F(n-2)}$

Un repfigit , o número de Keith , es un número entero tal que, cuando sus dígitos comienzan una secuencia de Fibonacci con esa cantidad de dígitos, se llega finalmente al número original. Un ejemplo es 47, porque la secuencia de Fibonacci que comienza con 4 y 7 (4, 7, 11, 18, 29, 47) llega a 47. Un repfigit puede ser una secuencia tribonacci si hay 3 dígitos en el número, un número tetranacci si el número tiene cuatro dígitos, etc. Los primeros repfigit son:

14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, … (secuencia A007629 en la OEIS )

Dado que el conjunto de secuencias que satisfacen la relación es cerrado bajo la adición término a término y bajo la multiplicación término a término por una constante, puede considerarse como un espacio vectorial . Cualquier secuencia de este tipo está determinada de manera única por una elección de dos elementos, por lo que el espacio vectorial es bidimensional . Si abreviamos dicha secuencia como , se observa que la secuencia de Fibonacci y la secuencia de Fibonacci desplazada forman una base canónica para este espacio, lo que da como resultado la identidad: ${\displaystyle S(n)=S(n-1)+S(n-2)}$ ${\displaystyle (S(0),S(1))}$ ${\displaystyle F(n)=(0,1)}$ ${\displaystyle F(n-1)=(1,0)}$

${\displaystyle S(n)=S(0)F(n-1)+S(1)F(n)}$

para todas esas secuencias S . Por ejemplo, si S es la secuencia de Lucas 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... , entonces obtenemos

${\displaystyle L(n)=2F(n-1)+F(n)}$.

norte-secuencia de Fibonacci generada

Podemos definir la secuencia de Fibonacci generada por N (donde N es un número racional positivo ): si

${\displaystyle N=2^{a_{1}}\cdot 3^{a_{2}}\cdot 5^{a_{3}}\cdot 7^{a_{4}}\cdot 11^{a_{5}}\cdot 13^{a_{6}}\cdot \ldots \cdot p_{r}^{a_{r}},}$

donde p _r es el r ésimo primo, entonces definimos

${\displaystyle F_{N}(n)=a_{1}F_{N}(n-1)+a_{2}F_{N}(n-2)+a_{3}F_{N}(n-3)+a_{4}F_{N}(n-4)+a_{5}F_{N}(n-5)+...}$

Si , entonces , y si , entonces . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle n=r-1}$ ${\displaystyle F_{N}(n)=1}$ ${\displaystyle n<r-1}$ ${\displaystyle F_{N}(n)=0}$

Secuencia semi-Fibonacci

La sucesión semi-Fibonacci (secuencia A030067 en la OEIS ) se define mediante la misma recursión para términos de índice impar y , pero para índices pares , . Por lo tanto, la bisección A030068 de términos de índice impar verifica y es estrictamente creciente . Produce el conjunto de los números semi-Fibonacci ${\displaystyle a(2n+1)=a(2n)+a(2n-1)}$ ${\displaystyle a(1)=1}$ ${\displaystyle a(2n)=a(n)}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle s(n)=a(2n-1)}$ ${\displaystyle s(n+1)=s(n)+a(n)}$

1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 16, 17, 23, 26, 35, 37, 48, 53, 69, 70, 87, 93, 116, 119, 145, 154, ... (secuencia A030068 en la OEIS )

que ocurren como ${\displaystyle s(n)=a(2^{k}(2n-1)),k=0,1,...\,.}$

Referencias

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Enlaces externos

• "Número de Tribonacci", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]