Número de Skewes

Problema sin resolver en matemáticas :

¿Cuál es el número de Skewes más pequeño?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Números grandes utilizados en la teoría de números

En teoría de números , el número de Skewes es cualquiera de varios números grandes utilizados por el matemático sudafricano Stanley Skewes como límites superiores para el número natural más pequeño para el cual ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x),}$

donde π es la función de conteo de primos y li es la función integral logarítmica . El número de Skewes es mucho mayor, pero ahora se sabe que hay un cruce entre y cerca de No se sabe si es el cruce más pequeño. ${\displaystyle \pi (x)<\operatorname {li} (x)}$ ${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)}$ ${\displaystyle e^{727.95133}<1.397\times 10^{316}.}$

Los números de Skewes

JE Littlewood , que era el supervisor de investigación de Skewes, había demostrado en Littlewood (1914) que existe tal número (y, por lo tanto, un primer número de ese tipo); y de hecho descubrió que el signo de la diferencia cambia infinitas veces. Toda la evidencia numérica disponible en ese momento parecía sugerir que siempre era menor que ; sin embargo, la prueba de Littlewood no exhibió un número concreto de ese tipo . ${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)}$ ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle \operatorname {li} (x).}$ ${\displaystyle x}$

Skewes (1933) demostró que, suponiendo que la hipótesis de Riemann es verdadera, existe un número que viola lo siguiente ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi (x)<\operatorname {li} (x),}$

${\displaystyle e^{e^{e^{79}}}<10^{10^{10^{34}}}.}$

Sin asumir la hipótesis de Riemann, Skewes (1955) demostró que existe un valor de por debajo ${\displaystyle x}$

${\displaystyle e^{e^{e^{e^{7.705}}}}<10^{10^{10^{964}}}.}$

La tarea de Skewes era hacer efectiva la prueba de existencia de Littlewood : demostrar un límite superior concreto para el primer cambio de signo. Según Georg Kreisel , esto no se consideraba obvio ni siquiera en principio en ese momento.

Estimaciones más recientes

Estos límites superiores se han reducido considerablemente desde entonces mediante el uso de cálculos informáticos a gran escala de ceros de la función zeta de Riemann . La primera estimación para el valor real de un punto de cruce fue dada por Lehman (1966), quien mostró que en algún lugar entre y hay más de enteros consecutivos con . Sin asumir la hipótesis de Riemann, HJJ te Riele  (1987) demostró un límite superior de . Una mejor estimación fue descubierta por Bays y Hudson (2000), quienes mostraron que hay al menos enteros consecutivos en algún lugar cerca de este valor donde . Bays y Hudson encontraron algunos valores mucho más pequeños de donde se acerca a ; la posibilidad de que haya puntos de cruce cerca de estos valores no parece haber sido definitivamente descartada todavía, aunque los cálculos informáticos sugieren que es poco probable que existan. Chao y Plymen (2010) dieron una pequeña mejora y corrección al resultado de Bays y Hudson. Saouter y Demichel (2010) encontraron un intervalo más pequeño para un cruce, que fue ligeramente mejorado por Zegowitz (2010). La misma fuente muestra que existe un número que viola por debajo de . Esto se puede reducir a asumir la hipótesis de Riemann. Stoll y Demichel (2011) dieron . ${\displaystyle 1.53\times 10^{1165}}$ ${\displaystyle 1.65\times 10^{1165}}$ ${\displaystyle 10^{500}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)}$ ${\displaystyle 7\times 10^{370}}$ ${\displaystyle 1.39822\times 10^{316}}$ ${\displaystyle 10^{153}}$ ${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi (x)<\operatorname {li} (x),}$ ${\displaystyle e^{727.9513468}<1.39718\times 10^{316}}$ ${\displaystyle e^{727.9513386}<1.39717\times 10^{316}}$ ${\displaystyle 1.39716\times 10^{316}}$

Rigurosamente, Rosser y Schoenfeld (1962) demostraron que no hay puntos de cruce por debajo de , mejorado por Brent (1975) a , por Kotnik (2008) a , por Platt y Trudgian (2014) a , y por Büthe (2015) a . ${\displaystyle x=10^{8}}$ ${\displaystyle 8\times 10^{10}}$ ${\displaystyle 10^{14}}$ ${\displaystyle 1.39\times 10^{17}}$ ${\displaystyle 10^{19}}$

No existe un valor explícito conocido con certeza que corresponda a la propiedad, aunque los cálculos informáticos sugieren algunos números explícitos que es bastante probable que satisfagan este requisito. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x),}$

Aunque la densidad natural de los números enteros positivos para los cuales no existe, Wintner (1941) demostró que la densidad logarítmica de estos números enteros positivos sí existe y es positiva. Rubinstein y Sarnak (1994) demostraron que esta proporción es de aproximadamente 0,00000026, lo cual es sorprendentemente grande si se tiene en cuenta lo lejos que hay que llegar para encontrar el primer ejemplo. ${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)}$

Fórmula de Riemann

Riemann dio una fórmula explícita para , cuyos términos principales son (ignorando algunas cuestiones sutiles de convergencia) ${\displaystyle \pi (x)}$

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x\,}})-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })+{\text{smaller terms}}}$

donde la suma es sobre todo en el conjunto de ceros no triviales de la función zeta de Riemann . ${\displaystyle \rho }$

El término de error más grande en la aproximación (si la hipótesis de Riemann es verdadera) es negativo , lo que demuestra que normalmente es mayor que . Los otros términos anteriores son algo más pequeños y, además, tienden a tener argumentos complejos diferentes y aparentemente aleatorios , por lo que en su mayoría se cancelan. Sin embargo, ocasionalmente, varios de los más grandes pueden tener aproximadamente el mismo argumento complejo, en cuyo caso se reforzarán entre sí en lugar de cancelarse y abrumarán al término . ${\displaystyle \pi (x)\approx \operatorname {li} (x)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x\,}})}$ ${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$ ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x\,}})}$

La razón por la que el número de Skewes es tan grande es que estos términos más pequeños son bastante más pequeños que el término de error principal, principalmente porque el primer cero complejo de la función zeta tiene una parte imaginaria bastante grande , por lo que un gran número (varios cientos) de ellos necesitan tener aproximadamente el mismo argumento para abrumar al término dominante. La probabilidad de que números complejos aleatorios tengan aproximadamente el mismo argumento es de aproximadamente 1 en . Esto explica por qué a veces es mayor que y también por qué es raro que esto suceda. También muestra por qué encontrar lugares donde esto sucede depende de cálculos a gran escala de millones de ceros de alta precisión de la función zeta de Riemann. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 2^{N}}$ ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle \operatorname {li} (x),}$

El argumento anterior no es una prueba, ya que supone que los ceros de la función zeta de Riemann son aleatorios, lo que no es cierto. En términos generales, la prueba de Littlewood consiste en el teorema de aproximación de Dirichlet para mostrar que a veces muchos términos tienen aproximadamente el mismo argumento. En el caso de que la hipótesis de Riemann sea falsa, el argumento es mucho más simple, esencialmente porque los términos para ceros que violan la hipótesis de Riemann (con parte real mayor que ⁠ ${\displaystyle \operatorname {li} (x^{\rho })}$1/2) son eventualmente más grandes que . ${\displaystyle \operatorname {li} (x^{1/2})}$

El motivo del término es que, en términos generales, en realidad cuenta las potencias de los números primos , en lugar de los números primos en sí, con ponderación de . El término es aproximadamente análogo a una corrección de segundo orden que tiene en cuenta los cuadrados de los números primos. ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\mathrm {li} (x^{1/2})}$ ${\displaystyle \mathrm {li} (x)}$ ${\displaystyle p^{n}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\mathrm {li} (x^{1/2})}$

Equivalente de primoa-tuplas

Existe una definición equivalente del número de Skewes para k -tuplas primos (Tóth (2019)). Sea una ( k  + 1)-tupla prima, el número de primos por debajo de los cuales todos son primos, sea y sea su constante de Hardy-Littlewood (véase la primera conjetura de Hardy-Littlewood ). Entonces, el primer primo que viola la desigualdad de Hardy-Littlewood para la ( k  + 1)-tupla , es decir, el primer primo tal que ${\displaystyle P=(p,p+i_{1},p+i_{2},...,p+i_{k})}$ ${\displaystyle \pi _{P}(x)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p,p+i_{1},p+i_{2},...,p+i_{k}}$ ${\displaystyle \operatorname {li_{P}} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{(\ln t)^{k+1}}}}$ ${\displaystyle C_{P}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \pi _{P}(p)>C_{P}\operatorname {li} _{P}(p),}$

(si tal primo existe) es el número de Skewes para ${\displaystyle P.}$

La siguiente tabla muestra los números de Skewes conocidos actualmente para k -tuplas primos:

El número de Skewes (si existe) para los números primos sexys aún es desconocido. ${\displaystyle (p,p+6)}$

También se desconoce si todas las k -tuplas admisibles tienen un número de Skewes correspondiente.

Véase también

• Teoremas de Mertens § Cambios de signo

Referencias

• Bays, C.; Hudson, RH (2000), "Un nuevo límite para el x más pequeño {\displaystyle x} con π ( x ) > li ⁡ ( x ) {\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)} " (PDF) , Matemáticas de la computación , 69 (231): 1285–1296, doi : 10.1090/S0025-5718-99-01104-7 , MR  1752093, Zbl  1042.11001
• Brent, RP (1975), "Irregularidades en la distribución de primos y primos gemelos", Mathematics of Computation , 29 (129): 43–56, doi : 10.2307/2005460 , JSTOR  2005460, MR  0369287, Zbl  0295.10002
• Büthe, Jan (2015), Un método analítico para la delimitación ${\displaystyle \psi (x)}$ , arXiv : 1511.02032 , Bibcode :2015arXiv151102032B
• Chao, Kuok Fai; Plymen, Roger (2010), "Un nuevo límite para el más pequeño con ", International Journal of Number Theory , 6 (3): 681–690, arXiv : math/0509312 , doi :10.1142/S1793042110003125, MR  2652902, Zbl  1215.11084 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)}$
• Kotnik, T. (2008), "La función de conteo de primos y sus aproximaciones analíticas", Advances in Computational Mathematics , 29 (1): 55–70, doi :10.1007/s10444-007-9039-2, MR  2420864, ​​S2CID  18991347, Zbl  1149.11004
• Lehman, R. Sherman (1966), "Sobre la diferencia π ( x ) − li ⁡ ( x ) {\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)} ", Acta Arithmetica , 11 : 397– 410, doi : 10.4064/aa-11-4-397-410 , SEÑOR  0202686, Zbl  0151.04101
• Littlewood, JE (1914), "Sur la Distribution des nombres premiers", Comptes Rendus , 158 : 1869–1872, JFM  45.0305.01
• Platt, DJ; Trudgian, TS (2014), Sobre el primer cambio de signo de ${\displaystyle \theta (x)-x}$ , arXiv : 1407.1914 , Bibcode :2014arXiv1407.1914P
• te Riele, HJJ (1987), "Sobre el signo de la diferencia ", Mathematics of Computation , 48 (177): 323–328, doi : 10.1090/s0025-5718-1987-0866118-6 , JSTOR  2007893, MR  0866118 ${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)}$
• Rosser, JB ; Schoenfeld, L. (1962), "Fórmulas aproximadas para algunas funciones de números primos", Illinois Journal of Mathematics , 6 : 64–94, doi : 10.1215/ijm/1255631807 , MR  0137689
• Saouter, Yannick; Demichel, Patrick (2010), "Una región nítida donde es positivo", Matemáticas de la computación , 79 (272): 2395–2405, doi : 10.1090/S0025-5718-10-02351-3 , MR  2684372 ${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)}$
• Rubinstein, M.; Sarnak, P. (1994), "El sesgo de Chebyshev", Experimental Mathematics , 3 (3): 173–197, doi :10.1080/10586458.1994.10504289, MR  1329368
• Skewes, S. (1933), "Sobre la diferencia ", Journal of the London Mathematical Society , 8 : 277–283, doi :10.1112/jlms/s1-8.4.277, JFM  59.0370.02, Zbl  0007.34003 ${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)}$
• Skewes, S. (1955), "Sobre la diferencia (II)", Actas de la London Mathematical Society , 5 : 48–70, doi :10.1112/plms/s3-5.1.48, MR  0067145 ${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)}$
• Stoll, Douglas; Demichel, Patrick (2011), "El impacto de los ceros complejos en for ", Matemáticas de la computación , 80 (276): 2381–2394, doi : 10.1090/S0025-5718-2011-02477-4 , MR  2813366 ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle x<10^{10^{13}}}$
• Tóth, László (2019), "Sobre la densidad asintótica de k-tuplas primos y una conjetura de Hardy y Littlewood" (PDF) , Métodos computacionales en ciencia y tecnología , 25 (3), doi :10.12921/cmst.2019.0000033, S2CID  203836016.
• Wintner, A. (1941), "Sobre la función de distribución del término restante del teorema de los números primos", American Journal of Mathematics , 63 (2): 233–248, doi :10.2307/2371519, JSTOR  2371519, MR  0004255
• Wolf, Marek (2011), "El número de Skewes para primos gemelos: conteo de cambios de signo de π2(x) − C2Li2(x)" (PDF) , Métodos computacionales en ciencia y tecnología , 17 : 87–92, doi :10.12921/cmst.2011.17.01.87-92, S2CID  59578795.
• Zegowitz, Stefanie (2010), Sobre la región positiva de π ( x ) − li ⁡ ( x ) {\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)} (maestría), Tesis de maestría, Instituto de Ciencias Matemáticas de Manchester, Facultad de Matemáticas, Universidad de Manchester

Enlaces externos

• Demichels, Patrick. "La función de conteo de primos y temas relacionados" (PDF) . Demichel . Archivado desde el original (PDF) el 8 de septiembre de 2006 . Consultado el 29 de septiembre de 2009 .
• Asimov, I. (1976). "¡Ensartado!". De asuntos grandes y pequeños . Nueva York: Ace Books. ISBN 978-0441610723.