La teoría musical analiza el tono , el tiempo y la estructura de la música. Utiliza las matemáticas para estudiar elementos de la música como el tempo , la progresión de acordes , la forma y la métrica . El intento de estructurar y comunicar nuevas formas de componer y escuchar música ha llevado a aplicaciones musicales de la teoría de conjuntos , el álgebra abstracta y la teoría de números .
Si bien la teoría musical no tiene una base axiomática en las matemáticas modernas, la base del sonido musical se puede describir matemáticamente (usando la acústica ) y exhibe "una notable variedad de propiedades numéricas". [1]
Aunque se sabe que los antiguos chinos, indios, egipcios y mesopotámicos estudiaron los principios matemáticos del sonido, [2] los pitagóricos (en particular Filolao y Arquitas ) [3] de la antigua Grecia fueron los primeros investigadores que investigaron la expresión del sonido musical. escalas en términos de razones numéricas , [4] particularmente las razones de números enteros pequeños. Su doctrina central era que "toda la naturaleza consiste en armonía que surge de los números". [5]
Desde la época de Platón , la armonía fue considerada una rama fundamental de la física , hoy conocida como acústica musical . Los primeros teóricos indios y chinos muestran enfoques similares: todos intentaron demostrar que las leyes matemáticas de los armónicos y los ritmos eran fundamentales no sólo para nuestra comprensión del mundo sino también para el bienestar humano. [6] Confucio , como Pitágoras, consideraba los números pequeños 1,2,3,4 como la fuente de toda perfección. [7]
Sin los límites de la estructura rítmica (una disposición fundamental igual y regular de repetición de pulso , acento , frase y duración) la música no sería posible. [8] El uso musical moderno de términos como metro y medida también refleja la importancia histórica de la música, junto con la astronomía, en el desarrollo del conteo, la aritmética y la medición exacta del tiempo y la periodicidad que es fundamental para la física. [ cita necesaria ]
Los elementos de la forma musical construyen a menudo proporciones estrictas o estructuras hipermétricas (potencias de los números 2 y 3). [9]
La forma musical es el plan mediante el cual se amplía una pieza musical breve. El término "plan" también se utiliza en arquitectura, con la que a menudo se compara la forma musical. Al igual que el arquitecto, el compositor debe tener en cuenta la función a la que está destinada la obra y los medios de que dispone, practicando la economía y haciendo uso de la repetición y el orden. [10] Los tipos comunes de forma conocidos como binario y ternario ("doble" y "triple") demuestran una vez más la importancia de los pequeños valores integrales para la inteligibilidad y el atractivo de la música. [11] [12]
Una escala musical es un conjunto discreto de tonos que se utilizan para hacer o describir música. La escala más importante en la tradición occidental es la escala diatónica, pero se han utilizado y propuesto muchas otras en diversas épocas históricas y partes del mundo. Cada tono corresponde a una frecuencia particular, expresada en hercios (Hz), a veces denominada ciclos por segundo (cps). Una escala tiene un intervalo de repetición, normalmente la octava . La octava de cualquier tono se refiere a una frecuencia exactamente dos veces mayor que la del tono dado.
Las superoctavas sucesivas son tonos que se encuentran en frecuencias cuatro, ocho, dieciséis veces, etc., de la frecuencia fundamental. Los tonos en frecuencias de la mitad, un cuarto, un octavo, etc. de la fundamental se denominan suboctavas. No hay ningún caso en armonía musical en el que, si un tono determinado se considera acorde, sus octavas se consideren de otra manera. Por lo tanto, cualquier nota y sus octavas generalmente se encontrarán con nombres similares en los sistemas musicales (por ejemplo, todas se llamarán doh o La o Sa , según sea el caso).
Cuando se expresa como ancho de banda de frecuencia, una octava A 2 –A 3 abarca de 110 Hz a 220 Hz (intervalo = 110 Hz). La siguiente octava abarcará desde 220 Hz hasta 440 Hz (intervalo = 220 Hz). La tercera octava abarca desde 440 Hz hasta 880 Hz (intervalo = 440 Hz), y así sucesivamente. Cada octava sucesiva abarca el doble del rango de frecuencia de la octava anterior.
Debido a que a menudo estamos interesados en las relaciones o proporciones entre los tonos (conocidos como intervalos ) más que en los tonos precisos en sí al describir una escala, es habitual referirnos a todos los tonos de la escala en términos de su relación con respecto a un tono particular, lo que Se le da el valor de uno (a menudo escrito 1/1 ), generalmente una nota que funciona como tónica de la escala. Para comparar el tamaño del intervalo, a menudo se utilizan centavos .
Hay dos familias principales de sistemas de afinación: temperamento igual y afinación justa . Las escalas de temperamento igual se construyen dividiendo una octava en intervalos que son iguales en una escala logarítmica , lo que da como resultado escalas divididas perfectamente uniformemente, pero con proporciones de frecuencias que son números irracionales . Las escalas justas se construyen multiplicando frecuencias por números racionales , lo que da como resultado relaciones simples entre frecuencias, pero con divisiones de escala que son desiguales.
Una diferencia importante entre afinaciones de temperamento igual y afinaciones justas son las diferencias en el ritmo acústico cuando dos notas suenan juntas, lo que afecta la experiencia subjetiva de consonancia y disonancia . Ambos sistemas, y la gran mayoría de la música en general, tienen escalas que se repiten en el intervalo de cada octava , que se define como una relación de frecuencia de 2:1. En otras palabras, cada vez que se duplica la frecuencia, se repite la escala dada.
A continuación se muestran archivos Ogg Vorbis que demuestran la diferencia entre entonación justa y temperamento igual. Es posible que tengas que reproducir las muestras varias veces antes de poder detectar la diferencia.
La afinación de 5 límites , la forma más común de entonación justa , es un sistema de afinación que utiliza tonos que son números armónicos regulares de una única frecuencia fundamental . Esta fue una de las escalas que presentó Johannes Kepler en sus Harmonices Mundi (1619) en relación con el movimiento planetario. La misma escala fue dada en forma transpuesta por el matemático y teórico musical escocés Alexander Malcolm en 1721 en su 'Tratado de música: especulativa, práctica e histórica', [13] y por el teórico José Wuerschmidt en el siglo XX. Una forma del mismo se utiliza en la música del norte de la India.
El compositor estadounidense Terry Riley también hizo uso de su forma invertida en su "Arpa de New Albion". La entonación justa da resultados superiores cuando hay poca o ninguna progresión de acordes : las voces y otros instrumentos gravitan hacia la entonación justa siempre que sea posible. Sin embargo, proporciona dos intervalos de tono completos diferentes (9:8 y 10:9) porque un instrumento con afinación fija, como un piano, no puede cambiar de tono. [14] Para calcular la frecuencia de una nota en una escala dada en términos de proporciones, la proporción de frecuencia se multiplica por la frecuencia tónica. Por ejemplo, con una tónica de La4 (La natural por encima del Do central), la frecuencia es de 440 Hz , y una quinta justamente afinada por encima (E5) es simplemente 440×(3:2) = 660 Hz.
La afinación pitagórica se basa únicamente en las consonancias perfectas, la octava (perfecta), la quinta perfecta y la cuarta perfecta. Por lo tanto, la tercera mayor no se considera una tercera sino un dítono, literalmente "dos tonos", y es (9:8) 2 = 81:64, en lugar del independiente y armónico justo debajo 5:4 = 80:64. Un tono completo es un intervalo secundario, que se deriva de dos quintas perfectas menos una octava, (3:2) 2/2 = 9:8.
La tercera mayor justa, 5:4 y la tercera menor, 6:5, son una coma sintónica , 81:80, aparte de sus equivalentes pitagóricos 81:64 y 32:27 respectivamente. Según Carl Dahlhaus (1990, p. 187), "la tercera dependiente se ajusta a la pitagórica, la tercera independiente a la afinación armónica de intervalos".
La música de práctica común occidental generalmente no se puede tocar con entonación justa, sino que requiere una escala moderada sistemáticamente. El templado puede involucrar las irregularidades del temperamento bueno o construirse como un temperamento regular , ya sea alguna forma de temperamento igual o algún otro temperamento regular, pero en todos los casos involucrará las características fundamentales del temperamento medio . Por ejemplo, la fundamental del acorde ii , si se afina en una quinta por encima de la dominante, sería un tono entero mayor (9:8) por encima de la tónica. Sin embargo, si se afina en una tercera menor (6:5) por debajo de un grado apenas subdominante de 4:3, el intervalo desde la tónica equivaldría a un tono entero menor (10:9). El temperamento de tono medio reduce la diferencia entre 9:8 y 10:9. Su proporción, (9:8)/(10:9) = 81:80, se trata como un unísono. El intervalo 81:80, llamado coma sintónica o coma de Didymus, es la coma clave del temperamento mediotono.
En el temperamento igual , la octava se divide en partes iguales en la escala logarítmica. Si bien es posible construir una escala de temperamento igual con cualquier número de notas (por ejemplo, el sistema tonal árabe de 24 tonos ), el número más común es el 12, que conforma la escala cromática de temperamento igual . En la música occidental, comúnmente se supone una división en doce intervalos, a menos que se especifique lo contrario.
Para la escala cromática, la octava se divide en doce partes iguales, cada semitono (medio tono) es un intervalo de la raíz duodécima de dos de modo que doce de estos semitonos iguales suman exactamente una octava. Con instrumentos con trastes es muy útil utilizar temperamento igual para que los trastes se alineen uniformemente a lo largo de las cuerdas. En la tradición musical europea, el temperamento igual se utilizó mucho antes para la música de laúd y de guitarra que para otros instrumentos, como los teclados musicales . Debido a esta fuerza histórica, el temperamento igual dodecafónico es ahora el sistema de entonación dominante en el mundo occidental y en gran parte del mundo no occidental.
Se han utilizado escalas igualmente templadas y se han construido instrumentos utilizando otros números de intervalos iguales. El temperamento igual de 19 , propuesto y utilizado por primera vez por Guillaume Costeley en el siglo XVI, utiliza 19 tonos equiespaciados, ofreciendo mejores terceras mayores y terceras menores mucho mejores que el temperamento igual normal de 12 semitonos a costa de una quinta más plana. El efecto general es de mayor consonancia. Veinticuatro temperamentos iguales , con veinticuatro tonos equiespaciados, está muy extendido en la pedagogía y notación de la música árabe . Sin embargo, en teoría y práctica, la entonación de la música árabe se ajusta a proporciones racionales , a diferencia de las proporciones irracionales de los sistemas igualmente templados. [15]
Si bien cualquier analogía con el cuarto de tono igualmente templado está completamente ausente en los sistemas de entonación árabes, con frecuencia ocurren analogías con un cuarto de tono o segundo neutro . Estos segundos neutrales, sin embargo, varían ligeramente en sus proporciones dependiendo del maqam , así como de la geografía. De hecho, el historiador de la música árabe Habib Hassan Touma ha escrito que "la amplitud de la desviación de este paso musical es un ingrediente crucial en el sabor peculiar de la música árabe. Templar la escala dividiendo la octava en veinticuatro cuartos de tono de igual tamaño Sería renunciar a uno de los elementos más característicos de esta cultura musical." [15]
53 temperamento igual surge de la casi igualdad de 53 quintas perfectas con 31 octavas, y fue notado por Jing Fang y Nicholas Mercator .
La teoría de conjuntos musicales utiliza el lenguaje de la teoría matemática de conjuntos de forma elemental para organizar objetos musicales y describir sus relaciones. Para analizar la estructura de una pieza musical (normalmente atonal) utilizando la teoría de conjuntos musicales, normalmente se comienza con un conjunto de tonos, que podrían formar motivos o acordes. Aplicando operaciones simples como la transposición y la inversión , se pueden descubrir estructuras profundas en la música. Operaciones como la transposición y la inversión se denominan isometrías porque preservan los intervalos entre tonos de un conjunto.
Ampliando los métodos de la teoría de conjuntos musicales, algunos teóricos han utilizado el álgebra abstracta para analizar la música. Por ejemplo, las clases de tono en una octava igualmente templada forman un grupo abeliano con 12 elementos. Es posible describir la entonación justa en términos de un grupo abeliano libre . [16] [17]
La teoría transformacional es una rama de la teoría musical desarrollada por David Lewin . La teoría permite una gran generalidad porque enfatiza las transformaciones entre objetos musicales, más que los objetos musicales en sí.
Los teóricos también han propuesto aplicaciones musicales de conceptos algebraicos más sofisticados. La teoría de los temperamentos regulares se ha desarrollado ampliamente con una amplia gama de matemáticas sofisticadas, por ejemplo asociando cada temperamento regular con un punto racional en un Grassmanniano .
La escala cromática tiene una acción libre y transitiva del grupo cíclico , definiéndose la acción vía transposición de notas. Por tanto, la escala cromática puede considerarse como un torsor del grupo.
Algunos compositores han incorporado la proporción áurea y los números de Fibonacci en sus obras. [18] [19]
El matemático y musicólogo Guerino Mazzola ha utilizado la teoría de categorías ( teoría del topos ) como base de la teoría musical, que incluye el uso de la topología como base para una teoría del ritmo y los motivos , y la geometría diferencial como base para una teoría del fraseo y el tempo musicales. y entonación . [20]
