Operador de multiplicación

En teoría de operadores , un operador de multiplicación es un operador T _f definido en algún espacio vectorial de funciones y cuyo valor en una función φ se da por la multiplicación por una función fija f . Es decir, para todo φ en el dominio de T _f , y todo x en el dominio de φ (que es el mismo que el dominio de f ). ^[1] $${\displaystyle T_{f}\varphi (x)=f(x)\varphi (x)\quad }$$

Los operadores de multiplicación generalizan la noción de operador dada por una matriz diagonal . ^[2] Más precisamente, uno de los resultados de la teoría de operadores es un teorema espectral que establece que cada operador autoadjunto en un espacio de Hilbert es unitariamente equivalente a un operador de multiplicación en un espacio L 2 . ^[3]

Estos operadores se contrastan a menudo con los operadores de composición , que son inducidos de manera similar por cualquier función fija f . También están estrechamente relacionados con los operadores de Toeplitz , que son compresiones de operadores de multiplicación en el círculo al espacio de Hardy .

Propiedades

• Un operador de multiplicación en , donde X es -finito , está acotado si y solo si f está en . En este caso, su norma de operador es igual a . ^[1] ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle L^{2}(X)}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle L^{\infty }(X)}$ ${\displaystyle \|f\|_{\infty }}$

• El adjunto de un operador de multiplicación es , donde es el conjugado complejo de f . En consecuencia, es autoadjunto si y solo si f es de valor real. ^[4] ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle T_{\overline {f}}}$ ${\displaystyle {\overline {f}}}$ ${\displaystyle T_{f}}$

• El espectro de un operador de multiplicación acotado es el rango esencial de f ; fuera de este espectro, el inverso de es el operador de multiplicación ^[1] ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle (T_{f}-\lambda )}$ ${\displaystyle T_{\frac {1}{f-\lambda }}.}$

• Dos operadores de multiplicación acotados y son iguales si f y g son iguales casi en todas partes . ^[4] ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle T_{g}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Ejemplo

Considérese el espacio de Hilbert X = L ² [−1, 3] de funciones integrables cuadradas de valor complejo en el intervalo [−1, 3] . Con f ( x ) = x ² , defina el operador para cualquier función φ en X . Este será un operador lineal autoadjunto acotado , con dominio todo X = L ² [−1, 3] y con norma 9 . Su espectro será el intervalo [0, 9] (el rango de la función x ↦ x ² definida en [−1, 3] ). De hecho, para cualquier número complejo λ , el operador T _f − λ está dado por $${\displaystyle T_{f}\varphi (x)=x^{2}\varphi (x)}$$ $${\displaystyle (T_{f}-\lambda )(\varphi )(x)=(x^{2}-\lambda )\varphi (x).}$$

Es invertible si y sólo si λ no está en [0, 9] , y entonces su inverso es que es otro operador de multiplicación. $${\displaystyle (T_{f}-\lambda )^{-1}(\varphi )(x)={\frac {1}{x^{2}-\lambda }}\varphi (x),}$$

Este ejemplo se puede generalizar fácilmente para caracterizar la norma y el espectro de un operador de multiplicación en cualquier espacio L p .

Véase también

• Operador de traducción
• Operador de turno
• Operador de transferencia
• Descomposición del espectro (análisis funcional)

Referencias

1. Arveson, William (2001). Un curso breve sobre teoría espectral . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 209. Springer Verlag . ISBN 0-387-95300-0.
2. Halmos, Paul (1982). Un libro de problemas del espacio de Hilbert . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 19. Springer Verlag . ISBN 0-387-90685-1.
3. Weidmann, Joaquín (1980). Operadores lineales en espacios de Hilbert . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 68. Springer Verlag . ISBN 978-1-4612-6029-5.
4. Garcia, Stephan Ramon ; Mashreghi, Javad ; Ross, William T. (2023). Teoría de operadores por ejemplo . Oxford Graduate Texts in Mathematics. Vol. 30. Oxford University Press . ISBN 9780192863867.

• Conway, JB (1990). Un curso de análisis funcional . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 96. Springer Verlag . ISBN. 0-387-97245-5.