Optimización multiobjetivo

Concepto matemático

La optimización multiobjetivo u optimización de Pareto (también conocida como programación multiobjetivo , optimización vectorial , optimización multicriterio u optimización multiatributo ) es un área de toma de decisiones con criterios múltiples que se ocupa de problemas de optimización matemática que involucran más de una función objetivo . optimizados simultáneamente. El multiobjetivo es un tipo de optimización vectorial que se ha aplicado en muchos campos de la ciencia, incluida la ingeniería, la economía y la logística, donde es necesario tomar decisiones óptimas en presencia de compensaciones entre dos o más objetivos en conflicto. Minimizar los costos mientras se maximiza la comodidad al comprar un automóvil, y maximizar el rendimiento mientras se minimiza el consumo de combustible y las emisiones de contaminantes de un vehículo son ejemplos de problemas de optimización multiobjetivo que involucran dos y tres objetivos, respectivamente. En problemas prácticos, puede haber más de tres objetivos.

Para un problema de optimización de múltiples objetivos, no se garantiza que una única solución optimice simultáneamente cada objetivo. Se dice que las funciones objetivas están en conflicto. Una solución se llama no dominada , óptima de Pareto, eficiente de Pareto o no inferior, si ninguna de las funciones objetivo puede mejorarse en valor sin degradar algunos de los otros valores objetivos. Sin información adicional sobre preferencias subjetivas , puede existir un número (posiblemente infinito) de soluciones óptimas de Pareto, todas las cuales se consideran igualmente buenas. Los investigadores estudian los problemas de optimización multiobjetivo desde diferentes puntos de vista y, por tanto, existen diferentes filosofías de solución y objetivos a la hora de plantearlos y resolverlos. El objetivo puede ser encontrar un conjunto representativo de soluciones óptimas de Pareto y/o cuantificar las compensaciones para satisfacer los diferentes objetivos y/o encontrar una solución única que satisfaga las preferencias subjetivas de un tomador de decisiones humano (DM).

La optimización de bicriterios denota el caso especial en el que hay dos funciones objetivo.

Existe una relación directa entre la optimización multitarea y la optimización multiobjetivo. ^[1]

Introducción

Un problema de optimización multiobjetivo es un problema de optimización que involucra múltiples funciones objetivo. ^{[2] [3] [4]} En términos matemáticos, un problema de optimización multiobjetivo se puede formular como

${\displaystyle \min _{x\in X}(f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots ,f_{k}(x))}$

donde el número entero es el número de objetivos y el conjunto es el conjunto factible de vectores de decisión, que normalmente es pero depende del dominio de aplicación dimensional. El conjunto factible suele estar definido por algunas funciones de restricción. Además, la función objetivo valorada por un vector a menudo se define como ${\displaystyle k\geq 2}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f:X&\to \mathbb {R} ^{k}\\x&\mapsto {\begin{pmatrix}f_{1}(x)\\\vdots \\f_{k}(x)\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Ejemplo de frontera de Pareto (en rojo), el conjunto de soluciones óptimas de Pareto (aquellas que no están dominadas por ninguna otra solución factible). Los puntos encuadrados representan opciones factibles y se prefieren los valores más pequeños a los más grandes. El punto C no está en la frontera de Pareto porque está dominado tanto por el punto A como por el punto B. Los puntos A y B no están estrictamente dominados por ningún otro y, por tanto, se encuentran en la frontera.

Si se quiere maximizar alguna función objetivo, equivale a minimizar su negativa o su inversa. Denotamos la imagen de ; una solución factible o una decisión factible ; y un vector objetivo o un resultado . ${\displaystyle Y\subseteq \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x^{*}\in X}$ ${\displaystyle z^{*}=f(x^{*})\in \mathbb {R} ^{k}}$

En la optimización multiobjetivo, normalmente no existe una solución factible que minimice todas las funciones objetivo simultáneamente. Por tanto, se presta atención a las soluciones óptimas de Pareto ; es decir, soluciones que no pueden mejorarse en ninguno de los objetivos sin degradar al menos uno de los otros objetivos. En términos matemáticos, se dice que una solución factible domina (Pareto) a otra solución , si ${\displaystyle x_{1}\in X}$ ${\displaystyle x_{2}\in X}$

1. ${\displaystyle \forall i\in \{1,\dots ,k\},f_{i}(x_{1})\leq f_{i}(x_{2})}$, y
2. ${\displaystyle \exists i\in \{1,\dots ,k\},f_{i}(x_{1})<f_{i}(x_{2})}$.

Una solución (y el resultado correspondiente ) se llama Pareto óptimo si no existe otra solución que la domine. El conjunto de resultados óptimos de Pareto, denominado , a menudo se denomina frente de Pareto , frontera de Pareto o frontera de Pareto. ${\displaystyle x^{*}\in X}$ ${\displaystyle f(x^{*})}$ ${\displaystyle X^{*}}$

El frente de Pareto de un problema de optimización multiobjetivo está limitado por un vector objetivo nadir y un vector objetivo ideal , si son finitos. El vector objetivo nadir se define como ${\displaystyle z^{nadir}}$ ${\displaystyle z^{ideal}}$

${\displaystyle z^{nadir}={\begin{pmatrix}\sup _{x^{*}\in X^{*}}f_{1}(x^{*})\\\vdots \\\sup _{x^{*}\in X^{*}}f_{k}(x^{*})\end{pmatrix}}}$

y el vector objetivo ideal como

${\displaystyle z^{ideal}={\begin{pmatrix}\inf _{x^{*}\in X^{*}}f_{1}(x^{*})\\\vdots \\\inf _{x^{*}\in X^{*}}f_{k}(x^{*})\end{pmatrix}}}$

En otras palabras, los componentes del nadir y los vectores objetivo ideales definen los límites superior e inferior de la función objetivo de las soluciones óptimas de Pareto. En la práctica, el vector objetivo nadir sólo puede aproximarse ya que, normalmente, se desconoce todo el conjunto óptimo de Pareto. Además, un vector objetivo utópico , tal que donde es una pequeña constante, a menudo se define por razones numéricas. ${\displaystyle z^{utop}}$ ${\displaystyle z_{i}^{utop}=z_{i}^{ideal}-\epsilon ,\forall i\in \{1,\dots ,k\}}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$

Ejemplos de aplicaciones

Ciencias económicas

En economía , muchos problemas involucran múltiples objetivos junto con restricciones sobre qué combinaciones de esos objetivos son alcanzables. Por ejemplo, la demanda de diversos bienes por parte de los consumidores está determinada por el proceso de maximización de las utilidades derivadas de esos bienes, sujeta a una restricción basada en la cantidad de ingreso disponible para gastar en esos bienes y en los precios de esos bienes. Esta restricción permite comprar más de un bien sólo con el sacrificio de consumir menos de otro bien; por lo tanto, los diversos objetivos (se prefiere un mayor consumo de cada bien) están en conflicto entre sí. Un método común para analizar un problema de este tipo es utilizar una gráfica de curvas de indiferencia , que representan las preferencias, y una restricción presupuestaria, que representa las compensaciones a las que se enfrenta el consumidor.

Otro ejemplo tiene que ver con la frontera de posibilidades de producción , que especifica qué combinaciones de varios tipos de bienes puede producir una sociedad con ciertas cantidades de diversos recursos. La frontera especifica las compensaciones a las que se enfrenta la sociedad: si la sociedad está utilizando plenamente sus recursos, sólo se puede producir más de un bien a expensas de producir menos de otro bien. Entonces, una sociedad debe utilizar algún proceso para elegir entre las posibilidades en la frontera.

La formulación de políticas macroeconómicas es un contexto que requiere una optimización multiobjetivo. Normalmente, un banco central debe elegir una postura de política monetaria que equilibre objetivos en competencia: baja inflación , bajo desempleo , bajo déficit de balanza comercial , etc. Para hacer esto, el banco central utiliza un modelo de economía que describe cuantitativamente los diversos vínculos causales. en la economía; simula el modelo repetidamente bajo varias posturas posibles de política monetaria, con el fin de obtener un menú de posibles resultados previstos para las diversas variables de interés. Entonces, en principio, puede utilizar una función objetivo agregada para calificar los conjuntos alternativos de resultados previstos, aunque en la práctica los bancos centrales utilizan un proceso no cuantitativo, basado en juicios, para clasificar las alternativas y tomar la decisión de política.

Finanzas

En finanzas , un problema común es elegir una cartera cuando hay dos objetivos en conflicto: el deseo de que el valor esperado de los rendimientos de la cartera sea lo más alto posible y el deseo de tener riesgo , a menudo medido por la desviación estándar de los rendimientos de la cartera. , sea lo más bajo posible. Este problema suele representarse mediante un gráfico en el que la frontera eficiente muestra las mejores combinaciones de riesgo y rendimiento esperado disponibles, y en el que las curvas de indiferencia muestran las preferencias del inversor por varias combinaciones de riesgo y rendimiento esperado. El problema de optimizar una función del valor esperado (primer momento ) y la desviación estándar (raíz cuadrada del segundo momento central) del rendimiento de la cartera se denomina modelo de decisión de dos momentos .

Control óptimo

En ingeniería y economía , muchos problemas implican múltiples objetivos que no se pueden describir como cuanto más, mejor o cuanto menos, mejor; en cambio, existe un valor objetivo ideal para cada objetivo y el deseo es acercarse lo más posible al valor deseado de cada objetivo. Por ejemplo, los sistemas de energía suelen tener un equilibrio entre rendimiento y costo ^{[5] [6]} o uno podría querer ajustar el uso y la orientación de combustible de un cohete para que llegue a un lugar y a un tiempo específicos; o uno podría querer realizar operaciones de mercado abierto de modo que tanto la tasa de inflación como la tasa de desempleo estén lo más cerca posible de sus valores deseados.

A menudo, estos problemas están sujetos a restricciones de igualdad lineal que impiden que todos los objetivos se cumplan perfectamente simultáneamente, especialmente cuando el número de variables controlables es menor que el número de objetivos y cuando la presencia de shocks aleatorios genera incertidumbre. Comúnmente se utiliza una función objetivo cuadrática multiobjetivo , en la que el costo asociado con un objetivo aumenta cuadráticamente con la distancia del objetivo a su valor ideal. Dado que estos problemas normalmente implican ajustar las variables controladas en varios momentos en el tiempo y/o evaluar los objetivos en varios momentos en el tiempo, se emplean técnicas de optimización intertemporal . ^[7]

Diseño óptimo

El diseño de productos y procesos se puede mejorar en gran medida utilizando técnicas modernas de modelado, simulación y optimización. ^{[ cita necesaria ]} La pregunta clave en el diseño óptimo es medir qué es bueno o deseable acerca de un diseño. Antes de buscar diseños óptimos, es importante identificar las características que más contribuyen al valor general del diseño. Un buen diseño generalmente involucra múltiples criterios/objetivos tales como costo/inversión de capital, costo operativo, ganancias, calidad y/o recuperación del producto, eficiencia, seguridad del proceso, tiempo de operación, etc. Por lo tanto, en aplicaciones prácticas, el desempeño del proceso y del producto El diseño a menudo se mide con respecto a múltiples objetivos. Estos objetivos suelen ser conflictivos, es decir, lograr el valor óptimo para un objetivo requiere algún compromiso en uno o más objetivos.

Por ejemplo, al diseñar una fábrica de papel, se puede buscar disminuir la cantidad de capital invertido en una fábrica de papel y mejorar la calidad del papel simultáneamente. Si el diseño de una fábrica de papel se define por grandes volúmenes de almacenamiento y la calidad del papel se define por parámetros de calidad, entonces el problema del diseño óptimo de una fábrica de papel puede incluir objetivos tales como i) minimización de la variación esperada de esos parámetros de calidad con respecto a su valor nominal. valores, ii) minimización del tiempo esperado de pausas y iii) minimización del coste de inversión de los volúmenes de almacenamiento. Aquí, el volumen máximo de torres es una variable de diseño. Este ejemplo de diseño óptimo de una fábrica de papel es una simplificación del modelo utilizado. ^[8] La optimización del diseño multiobjetivo también se ha implementado en sistemas de ingeniería en circunstancias tales como la optimización del diseño del gabinete de control, ^[9] optimización de la forma del perfil aerodinámico utilizando flujos de trabajo científicos, ^[10] diseño de nano- CMOS , ^{[11] diseño} de sistemas en chips , diseño de sistemas de riego con energía solar, ^[12] optimización de sistemas de moldes de arena, ^{[13] [14]} diseño de motores, ^{[15] [ 16]} implementación óptima del sensor ^[17] y diseño óptimo del controlador. ^{[18] [19]}

Optimización de procesos

La optimización multiobjetivo se ha empleado cada vez más en la ingeniería química y la fabricación . En 2009, Fiandaca y Fraga utilizaron el algoritmo genético multiobjetivo (MOGA) para optimizar el proceso de adsorción por cambio de presión (proceso de separación cíclica). El problema de diseño implicó la maximización dual de la recuperación y la pureza del nitrógeno. Los resultados se aproximaron bien a la frontera de Pareto con compensaciones aceptables entre los objetivos. ^[20]

En 2010, Sendín et al. resolvió un problema multiobjetivo para el procesamiento térmico de alimentos. Abordaron dos estudios de caso (problemas bioobjetivos y de triple objetivo) con modelos dinámicos no lineales. Utilizaron un enfoque híbrido que consiste en el método ponderado de Tchebycheff y el método de intersección de límites normales. El novedoso enfoque híbrido permitió construir un conjunto óptimo de Pareto para el procesamiento térmico de alimentos. ^[21]

En 2013, Ganesan et al. llevó a cabo la optimización multiobjetivo del reformado combinado de dióxido de carbono y la oxidación parcial de metano. Las funciones objetivo fueron la conversión de metano, la selectividad del monóxido de carbono y la relación entre hidrógeno y monóxido de carbono. Ganesan utilizó el método de intersección de límites normales (NBI) junto con dos técnicas basadas en enjambres (algoritmo de búsqueda gravitacional (GSA) y optimización de enjambre de partículas (PSO)) para abordar el problema. ^[22] Las aplicaciones que implican extracción química ^[23] y procesos de producción de bioetanol ^[24] han planteado problemas multiobjetivo similares.

En 2013, Abakarov et al. propusieron una técnica alternativa para resolver problemas de optimización multiobjetivo que surgen en la ingeniería de alimentos. ^[25] Se utilizaron el enfoque de funciones de agregación, el algoritmo de búsqueda aleatoria adaptativa y el enfoque de funciones de penalización para calcular el conjunto inicial de soluciones no dominadas o óptimas de Pareto. Se utilizaron simultáneamente el proceso de jerarquía analítica y el método tabular para elegir la mejor alternativa entre el subconjunto calculado de soluciones no dominadas para procesos de deshidratación osmótica. ^[26]

En 2018, Pearce et al. formuló la asignación de tareas a trabajadores humanos y robóticos como un problema de optimización multiobjetivo, considerando el tiempo de producción y el impacto ergonómico en el trabajador humano como los dos objetivos considerados en la formulación. Su enfoque utilizó un programa lineal entero mixto para resolver el problema de optimización de una suma ponderada de los dos objetivos para calcular un conjunto de soluciones óptimas de Pareto . La aplicación del enfoque a varias tareas de fabricación mostró mejoras en al menos un objetivo en la mayoría de las tareas y en ambos objetivos en algunos de los procesos. ^[27]

Gestión de recursos radioeléctricos

El propósito de la gestión de recursos de radio es satisfacer las velocidades de datos solicitadas por los usuarios de una red celular. ^[28] Los principales recursos son los intervalos de tiempo, los bloques de frecuencia y las potencias de transmisión. Cada usuario tiene su propia función objetivo que, por ejemplo, puede representar alguna combinación de velocidad de datos, latencia y eficiencia energética. Estos objetivos son contradictorios ya que los recursos de frecuencia son muy escasos, por lo que existe la necesidad de una reutilización espacial estricta de las frecuencias , lo que provoca una inmensa interferencia entre usuarios si no se controla adecuadamente. Hoy en día se utilizan técnicas MIMO multiusuario para reducir la interferencia mediante precodificación adaptativa . Al operador de red le gustaría ofrecer una gran cobertura y altas velocidades de datos, por lo que le gustaría encontrar una solución óptima de Pareto que equilibre el rendimiento total de datos de la red y la equidad para el usuario de una manera subjetiva adecuada.

La gestión de recursos radioeléctricos suele resolverse mediante escalarización; es decir, selección de una función de utilidad de red que intenta equilibrar el rendimiento y la equidad para el usuario. La elección de la función de utilidad tiene un gran impacto en la complejidad computacional del problema de optimización de objetivo único resultante. ^[28] Por ejemplo, la utilidad común de la tasa de suma ponderada da un problema NP-difícil con una complejidad que escala exponencialmente con el número de usuarios, mientras que la utilidad ponderada de equidad máxima-mínima da como resultado un problema de optimización cuasi-convexo con solo una Escalado polinómico con el número de usuarios. ^[29]

Sistemas de energía eléctrica

La reconfiguración, al intercambiar los enlaces funcionales entre los elementos del sistema, representa una de las medidas más importantes que pueden mejorar el rendimiento operativo de un sistema de distribución. El problema de optimización a través de la reconfiguración de un sistema de distribución de energía, en términos de su definición, es un problema histórico de objetivo único con restricciones. Desde 1975, cuando Merlin y Back ^[30] introdujeron la idea de la reconfiguración del sistema de distribución para la reducción activa de pérdidas de potencia, hasta la actualidad, muchos investigadores han propuesto diversos métodos y algoritmos para resolver el problema de reconfiguración como un problema de objetivo único. Algunos autores han propuesto enfoques basados ​​en la optimización de Pareto (incluyendo pérdidas de potencia activa e índices de confiabilidad como objetivos). Para ello se han utilizado diferentes métodos basados ​​en inteligencia artificial: microgenético, ^[31] intercambio de ramas, ^[32] optimización de enjambre de partículas ^[33] y algoritmo genético de clasificación no dominado. ^[34]

Inspección de infraestructura

La inspección autónoma de la infraestructura tiene el potencial de reducir costos, riesgos e impactos ambientales, además de garantizar un mejor mantenimiento periódico de los activos inspeccionados. Normalmente, la planificación de este tipo de misiones se ha visto como un problema de optimización de un solo objetivo, en el que se pretende minimizar la energía o el tiempo dedicado a inspeccionar una estructura objetivo completa. ^[35] Sin embargo, para estructuras complejas del mundo real, cubrir el 100% de un objetivo de inspección no es factible, y generar un plan de inspección puede verse mejor como un problema de optimización multiobjetivo, donde se busca maximizar la cobertura de la inspección y minimizar el tiempo. y costos. Un estudio reciente ha indicado que la planificación de la inspección multiobjetivo tiene el potencial de superar a los métodos tradicionales en estructuras complejas ^[36]

Solución

Como generalmente existen múltiples soluciones óptimas de Pareto para problemas de optimización multiobjetivo, lo que significa resolver un problema de este tipo no es tan sencillo como lo es para un problema de optimización convencional de un solo objetivo. Por ello, diferentes investigadores han definido el término “resolver un problema de optimización multiobjetivo” de diversas formas. Esta sección resume algunos de ellos y los contextos en los que se utilizan. Muchos métodos convierten el problema original con múltiples objetivos en un problema de optimización de un solo objetivo . A esto se le llama problema escalarizado. Si se puede garantizar el óptimo de Pareto de las soluciones de objetivo único obtenidas, la escalarización se caracteriza como realizada de forma ordenada.

A veces se entiende que resolver un problema de optimización multiobjetivo consiste en aproximar o calcular todas o un conjunto representativo de soluciones óptimas de Pareto. ^{[37] [38]}

Cuando se enfatiza la toma de decisiones , el objetivo de resolver un problema de optimización multiobjetivo se refiere a ayudar al tomador de decisiones a encontrar la solución óptima de Pareto más preferida de acuerdo con sus preferencias subjetivas. ^{[2] [39]} La suposición subyacente es que se debe identificar una solución al problema para implementarla en la práctica. Aquí, un tomador de decisiones humano (DM) juega un papel importante. Se espera que el DM sea un experto en el dominio del problema.

Los resultados más preferidos se pueden encontrar utilizando diferentes filosofías. Los métodos de optimización multiobjetivo se pueden dividir en cuatro clases. ^[3]

1. En los llamados métodos sin preferencia , no se espera que haya DM disponible, pero se identifica una solución de compromiso neutral sin información de preferencia. ^[2] Las otras clases son los llamados métodos a priori, a posteriori e interactivos, y todos involucran información de preferencias del DM de diferentes maneras.
2. En los métodos a priori , primero se solicita información sobre preferencias al DM y luego se encuentra la solución que mejor satisfaga estas preferencias.
3. En los métodos a posteriori , primero se encuentra un conjunto representativo de soluciones óptimas de Pareto y luego el DM debe elegir una de ellas.
4. En los métodos interactivos , quien toma las decisiones puede buscar la solución preferida de forma iterativa. En cada iteración del método interactivo, al DM se le muestran las soluciones óptimas de Pareto y describe cómo se podrían mejorar las soluciones. La información proporcionada por el DM se tiene en cuenta al generar nuevas soluciones óptimas de Pareto para que el DM las estudie en la siguiente iteración. De esta manera, el DM aprende sobre la viabilidad de sus deseos y puede concentrarse en las soluciones que le interesen. El DM puede detener la búsqueda cuando lo desee.

En las siguientes secciones se proporciona más información y ejemplos de diferentes métodos en las cuatro clases.

Métodos sin preferencia

Cuando quien toma decisiones no articula explícitamente ninguna información sobre preferencias, el método de optimización multiobjetivo puede clasificarse como un método sin preferencias. ^[3] Un ejemplo bien conocido es el método de criterio global, ^[40] en el que un problema escalarizado de la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}\min &\|f(x)-z^{ideal}\|\\{\text{s.t. }}&x\in X\end{aligned}}}$

está resuelto. En el problema anterior, puede haber cualquier norma , con opciones comunes que incluyen , y . ^[2] El método de criterio global es sensible al escalamiento de las funciones objetivo. Por tanto, se recomienda que los objetivos se normalicen en una escala uniforme y adimensional. ^{[2] [39]} ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle L_{p}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle L_{\infty }}$

Métodos a priori

Los métodos a priori requieren que se exprese suficiente información de preferencia antes del proceso de solución. ^[3] Ejemplos bien conocidos de métodos a priori incluyen el método de la función de utilidad, el método lexicográfico y la programación de objetivos .

Método de función de utilidad

El método de la función de utilidad supone que la función de utilidad del tomador de decisiones está disponible. Una aplicación es una función de utilidad si se cumple que si quien toma las decisiones prefiere , y si es indiferente entre y . La función de utilidad especifica un orden de los vectores de decisión (recuerde que los vectores se pueden ordenar de muchas maneras diferentes). Una vez obtenido basta con resolver ${\displaystyle u\colon Y\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} ^{1},\mathbf {y} ^{2}\in Y}$ ${\displaystyle u(\mathbf {y} ^{1})>u(\mathbf {y} ^{2})}$ ${\displaystyle \mathbf {y} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {y} ^{2}}$ ${\displaystyle u(\mathbf {y} ^{1})=u(\mathbf {y} ^{2})}$ ${\displaystyle \mathbf {y} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {y} ^{2}}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle \max \;u(\mathbf {f} (\mathbf {x} )){\text{ subject to }}\mathbf {x} \in X,}$

pero en la práctica, es muy difícil construir una función de utilidad que represente con precisión las preferencias de quien toma las decisiones, ^[2] particularmente porque el frente de Pareto se desconoce antes de que comience la optimización.

método lexicográfico

El método lexicográfico supone que los objetivos se pueden clasificar en orden de importancia. Suponemos que las funciones objetivo están en orden de importancia de modo que sea la más importante y la menos importante para quien toma las decisiones. Sujeto a esta suposición, se pueden utilizar varios métodos para alcanzar la solución lexicográficamente óptima. Tenga en cuenta que aquí no se especifica una meta o un valor objetivo para ningún objetivo, lo que lo diferencia del método de programación lexicográfica de metas . ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{k}}$

Escalarizar

El enfoque de escalarización lineal es un método sencillo que se utiliza para resolver problemas de optimización multiobjetivo. Consiste en agregar las diferentes funciones de optimización en una sola función. Sin embargo, este método sólo permite encontrar las soluciones soportadas del problema (es decir, puntos en el casco convexo del conjunto de objetivos). Esta animación muestra que cuando el conjunto de resultados no es convexo, no se pueden encontrar todas las soluciones eficientes.

Escalar un problema de optimización multiobjetivo es un método a priori, lo que significa formular un problema de optimización de un solo objetivo de modo que las soluciones óptimas al problema de optimización de un solo objetivo sean soluciones óptimas de Pareto para el problema de optimización de múltiples objetivos. ^[3] Además, a menudo se requiere que cada solución óptima de Pareto pueda alcanzarse con algunos parámetros de escalarización. ^[3] Con diferentes parámetros para la escalarización, se producen diferentes soluciones óptimas de Pareto. Una formulación general para una escalarización de un problema de optimización multiobjetivo es

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\min &g(f_{1}(x),\ldots ,f_{k}(x),\theta )\\{\text{s.t.}}&x\in X_{\theta }\end{array}}}$

donde es un parámetro vectorial, el conjunto es un conjunto que depende del parámetro y es una función. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle X_{\theta }\subseteq X}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{k+1}\rightarrow \mathbb {R} }$

Ejemplos muy conocidos son:

• escalarización lineal

${\displaystyle \min _{x\in X}\sum _{i=1}^{k}w_{i}f_{i}(x)}$

donde los pesos de los objetivos son los parámetros de la escalarización. ${\displaystyle w_{i}>0}$

• ${\displaystyle \epsilon }$-método de restricción (ver, por ejemplo, ^[2] )

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\min &f_{j}(x)\\{\text{s.t.}}&x\in X\\&f_{i}(x)\leq \epsilon _{i}{\text{ for }}i\in \{1,\ldots ,k\}\setminus \{j\}\end{array}}}$

donde los límites superiores son parámetros como los anteriores y es el objetivo a minimizar. ${\displaystyle \epsilon _{j}}$ ${\displaystyle f_{j}}$

Ejemplos algo más avanzados son los siguientes:

• Problemas de escalarización de logros de Wierzbicki ^[41]

Un ejemplo de problemas de escalarización de logros se puede formular como

${\displaystyle {\begin{aligned}\min &\max _{i=1,\ldots ,k}\left[{\frac {f_{i}(x)-{\bar {z}}_{i}}{z_{i}^{nadir}-z_{i}^{utop}}}\right]+\rho \sum _{i=1}^{k}{\frac {f_{i}(x)}{z_{i}^{nadir}-z_{i}^{utop}}}\\{\text{s.t. }}&x\in S\end{aligned}}}$

donde el término se llama término de aumento, es una constante pequeña y y son los vectores nadir y utópico , respectivamente. En el problema anterior, el parámetro es el llamado punto de referencia que representa los valores de la función objetivo preferidos por quien toma las decisiones. ${\displaystyle \rho \sum _{i=1}^{k}{\frac {f_{i}(x)}{z_{i}^{nadir}-z_{i}^{utop}}}}$ ${\displaystyle \rho >0}$ ${\displaystyle z^{nadir}}$ ${\displaystyle z^{utop}}$ ${\displaystyle {\bar {z}}}$

• Programación multiobjetivo de Sen ^[42]

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\max &{\frac {\sum _{j=1}^{r}Z_{j}}{W_{j}}}-{\frac {\sum _{j=r+1}^{s}Z_{j}}{W_{r+1}}}\\{\text{s.t. }}&AX=b\\&X\geq 0\end{array}}}$

¿ Dónde está el óptimo individual (absoluto) para los objetivos de maximización y minimización ? ${\displaystyle W_{j}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r+1}$ ${\displaystyle s}$

• hipervolumen/escalarización de Chebyshev ^[43]

${\displaystyle \min _{x\in X}\max _{i}{\frac {f_{i}(x)}{w_{i}}}}$

donde los pesos de los objetivos son los parámetros de la escalarización. Si los parámetros/pesos se dibujan uniformemente en la ortante positiva, se muestra que esta escalarización probablemente converge al frente de Pareto , ^[43] incluso cuando el frente no es convexo. ${\displaystyle w_{i}>0}$

Por ejemplo, la optimización de la cartera a menudo se realiza en términos de análisis de media-varianza . En este contexto, el conjunto eficiente es un subconjunto de las carteras parametrizadas por el rendimiento medio de la cartera en el problema de elegir acciones de la cartera para minimizar la varianza del rendimiento de la cartera sujeta a un valor dado de ; consulte el teorema de separación de fondos mutuos para obtener más detalles. Alternativamente, el conjunto eficiente se puede especificar eligiendo las acciones de la cartera para maximizar la función ; El conjunto de carteras eficientes consta de soluciones que van desde cero hasta infinito. ${\displaystyle \mu _{P}}$ ${\displaystyle \sigma _{P}}$ ${\displaystyle \mu _{P}}$ ${\displaystyle \mu _{P}-b\sigma _{P}}$ ${\displaystyle b}$

Métodos a posteriori

Los métodos a posteriori tienen como objetivo producir todas las soluciones óptimas de Pareto o un subconjunto representativo de las soluciones óptimas de Pareto. La mayoría de los métodos a posteriori se clasifican en una de las tres clases siguientes:

• Programación matemática : métodos a posteriori basados ​​en los que se repite un algoritmo y cada ejecución del algoritmo produce una solución óptima de Pareto;
• Algoritmos evolutivos donde una ejecución del algoritmo produce un conjunto de soluciones óptimas de Pareto;
• Métodos de aprendizaje profundo en los que primero se entrena un modelo en un subconjunto de soluciones y luego se le pregunta para proporcionar otras soluciones en el frente de Pareto.

programación matemática

Ejemplos bien conocidos de métodos a posteriori basados ​​en programación matemática son la intersección de límites normales (NBI), ^[44] la intersección de límites normales modificada (NBIm), ^[45] la restricción normal (NC), ^{[46] [47]} la optimización sucesiva de Pareto. (SPO), ^[48] y los métodos de dominio de búsqueda dirigida (DSD) ^{[ cita necesaria ]} , que resuelven el problema de optimización multiobjetivo mediante la construcción de varias escalarizaciones. La solución de cada escalarización produce una solución óptima de Pareto, ya sea local o globalmente. Las escalarizaciones de los métodos NBI, NBIm, NC y DSD se construyen para obtener puntos de Pareto distribuidos uniformemente que den una buena aproximación del conjunto real de puntos de Pareto.

Algoritmos evolutivos

Los algoritmos evolutivos son enfoques populares para generar soluciones óptimas de Pareto para un problema de optimización multiobjetivo. La mayoría de los algoritmos evolutivos de optimización multiobjetivo (EMO) aplican esquemas de clasificación basados ​​en Pareto. Algoritmos evolutivos como el Algoritmo genético de clasificación no dominado-II (NSGA-II), ^[49] su versión extendida NSGA-III, ^{[50] [51]} Algoritmo evolutivo de fuerza de Pareto 2 (SPEA-2) ^[52] y multiobjetivo Las variantes de evolución diferencial se han convertido en enfoques estándar, aunque algunos esquemas basados ​​en la optimización del enjambre de partículas y el recocido simulado ^[53] son ​​importantes. La principal ventaja de los algoritmos evolutivos, cuando se aplican para resolver problemas de optimización multiobjetivo, es el hecho de que normalmente generan conjuntos de soluciones, lo que permite calcular una aproximación de todo el frente de Pareto. La principal desventaja de los algoritmos evolutivos es su menor velocidad y no se puede garantizar la optimización de Pareto de las soluciones; sólo se sabe que ninguna de las soluciones generadas está dominada por otra.

Recientemente se mejoró otro paradigma de optimización multiobjetivo basado en la novedad utilizando algoritmos evolutivos. ^[54] Este paradigma busca soluciones novedosas en el espacio objetivo (es decir, búsqueda de novedades ^[55] en el espacio objetivo) además de la búsqueda de soluciones no dominadas. La búsqueda de novedades es como peldaños que guían la búsqueda hacia lugares previamente inexplorados. Es especialmente útil para superar sesgos y estancamientos, así como para guiar la búsqueda en problemas de optimización con muchos objetivos.

Métodos de aprendizaje profundo

Los métodos condicionales de aprendizaje profundo son nuevos enfoques para generar varias soluciones óptimas de Pareto. La idea es utilizar la capacidad de generalización de las redes neuronales profundas para aprender un modelo de todo el frente de Pareto a partir de un número limitado de ejemplos de compensaciones a lo largo de ese frente, una tarea llamada Aprendizaje del Frente de Pareto . ^[56] Varios enfoques abordan esta configuración, incluido el uso de hiperredes ^[56] y el descenso de gradiente variacional de Stein. ^[57]

Lista de métodos

Los métodos a posteriori comúnmente conocidos se enumeran a continuación:

• Método de restricción ε ^{[58] [59]}
• Hiperredes de Pareto ^[56]
• Ramificación y consolidación multiobjetivo ^{[60] [61] [62]}
• Intersección de límites normales (NBI) ^[44]
• Intersección de límites normales modificada (NBIm) ^[45]
• Restricción normal (NC) ^{[46] [47]}
• Optimización sucesiva de Pareto (SPO) ^[48]
• Dominio de búsqueda dirigida (DSD) ^{[ cita necesaria ]}
• NSGA-II ^[49]
• PGEN (generación de superficies de Pareto para instancias convexas multiobjetivo) ^[63]
• IOSO (Optimización Indirecta sobre la Base de la Autoorganización)
• SMS-EMOA (algoritmo multiobjetivo evolutivo de selección S-métrica) ^[64]
• Evolución guiada por aproximación (primer algoritmo que implementa y optimiza directamente el concepto formal de aproximación de la informática teórica) ^[65]
• Optimización de búsqueda reactiva (utilizando el aprendizaje automático para adaptar estrategias y objetivos), ^{[66] [67]} implementada en LIONsolver
• Algoritmo de Benson para programas lineales multiobjetivo y programas convexos multiobjetivo
• Optimización de enjambres de partículas multiobjetivo
• Algoritmo de subpoblación basado en novedad ^[54]
• MOEA/D (Algoritmo evolutivo multiobjetivo basado en descomposición)

Métodos interactivos

En los métodos interactivos de optimización de múltiples problemas objetivos, el proceso de solución es iterativo y quien toma las decisiones interactúa continuamente con el método cuando busca la solución más preferida (ver, por ejemplo, Miettinen 1999, ^[2] Miettinen 2008 ^[68] ). En otras palabras, se espera que quien toma las decisiones exprese preferencias en cada iteración para obtener soluciones óptimas de Pareto que sean de su interés y aprenda qué tipo de soluciones son alcanzables.

Los siguientes pasos suelen estar presentes en los métodos interactivos de optimización: ^[68]

1. inicializar (por ejemplo, calcular los vectores objetivos nadir ideales y aproximados y mostrárselos a quien toma las decisiones)
2. generar un punto de partida óptimo de Pareto (utilizando, por ejemplo, algún método o solución sin preferencia proporcionado por quien toma las decisiones)
3. Solicitar información sobre preferencias a quien toma las decisiones (por ejemplo, niveles de aspiración o número de nuevas soluciones a generar).
4. Generar nuevas soluciones óptimas de Pareto de acuerdo con las preferencias y mostrarlas y posiblemente alguna otra información sobre el problema al tomador de decisiones.
5. Si se generaron varias soluciones, pida a quien toma las decisiones que seleccione la mejor solución hasta el momento.
6. detenerse (si quien toma la decisión así lo desea; de lo contrario, vaya al paso 3).

Los niveles de aspiración anteriores se refieren a valores de función objetivo deseables que forman un punto de referencia. En lugar de la convergencia matemática, que suele utilizarse como criterio de parada en los métodos de optimización matemática , en los métodos interactivos suele hacerse hincapié en la convergencia psicológica. En términos generales, un método finaliza cuando quien toma la decisión confía en haber encontrado la solución disponible más preferida .

Tipos de información de preferencias

Existen diferentes métodos interactivos que involucran diferentes tipos de información de preferencias. Se pueden identificar tres tipos según

1. información de compensación,
2. puntos de referencia y
3. clasificación de funciones objetivas. ^[68]

Por otro lado, un cuarto tipo de generación de una pequeña muestra de soluciones se incluye en: ^{[69] [70]} Un ejemplo del método interactivo que utiliza información de compensación es el método Zionts-Wallenius , ^[71] donde el tomador de decisiones Se muestran varias compensaciones objetivas en cada iteración, y se espera que diga si le gusta, no le gusta o es indiferente con respecto a cada compensación. En los métodos basados ​​en puntos de referencia (ver, por ejemplo, ^{[72] [73]} ), se espera que quien toma las decisiones en cada iteración especifique un punto de referencia que consta de los valores deseados para cada objetivo y luego se calcula la solución óptima de Pareto correspondiente. y se los muestra para su análisis. En los métodos interactivos basados ​​en clasificación, se supone que quien toma las decisiones da preferencias clasificando los objetivos en la solución óptima actual de Pareto en diferentes clases, indicando cómo se deben cambiar los valores de los objetivos para obtener una solución más preferida. Luego, la información de clasificación se considera cuando se calculan soluciones óptimas de Pareto nuevas (más preferidas). En el método de compensación satisfactoria (STOM), ^[74] se utilizan tres clases: objetivos cuyos valores 1) deben mejorarse, 2) pueden relajarse y 3) son aceptables como tales. En el método NIMBUS, ^{[75] [76]} también se utilizan dos clases adicionales: objetivos cuyos valores 4) deben mejorarse hasta un límite determinado y 5) pueden relajarse hasta un límite determinado.

Métodos híbridos

Existen diferentes métodos híbridos , pero aquí consideramos la hibridación de MCDM ( toma de decisiones multicriterio ) y EMO (optimización evolutiva multiobjetivo). Un algoritmo híbrido en optimización multiobjetivo combina algoritmos/enfoques de estos dos campos (ver, por ejemplo, ^[68] ). Los algoritmos híbridos de EMO y MCDM se utilizan principalmente para superar las deficiencias utilizando las fortalezas. En la literatura se han propuesto varios tipos de algoritmos híbridos, por ejemplo, incorporar enfoques MCDM en algoritmos EMO como un operador de búsqueda local, llevar a un DM a la(s) solución(es) más preferida(s), etc. Un operador de búsqueda local se utiliza principalmente para mejorar la Tasa de convergencia de los algoritmos EMO.

Las raíces de la optimización híbrida multiobjetivo se remontan al primer seminario de Dagstuhl organizado en noviembre de 2004 (ver aquí). Aquí, algunas de las mejores mentes ^{[ cita necesaria ]} en EMO (Profesor Kalyanmoy Deb, Profesor Jürgen Branke, etc.) y MCDM (Profesor Kaisa Miettinen, Profesor Ralph E. Steuer, etc.) se dieron cuenta del potencial de combinar ideas y enfoques de Campos MCDM y EMO para preparar híbridos de los mismos. Posteriormente, se organizaron muchos más seminarios Dagstuhl para fomentar la colaboración. Recientemente, la optimización híbrida multiobjetivo se ha convertido en un tema importante en varias conferencias internacionales en el área de EMO y MCDM (ver, por ejemplo, ^{[77] [78]} ).

Visualización del frente de Pareto

La visualización del frente de Pareto es una de las técnicas de preferencia a posteriori de optimización multiobjetivo. Las técnicas de preferencia a posteriori proporcionan una clase importante de técnicas de optimización multiobjetivo. ^[2] Generalmente, las técnicas de preferencia a posteriori incluyen cuatro pasos: (1) la computadora aproxima el frente de Pareto, es decir, el conjunto óptimo de Pareto en el espacio objetivo; (2) quien toma las decisiones estudia la aproximación del frente de Pareto; (3) quien toma las decisiones identifica el punto preferido en el frente de Pareto; (4) la computadora proporciona la decisión óptima de Pareto, cuyo resultado coincide con el punto objetivo identificado por quien toma la decisión. Desde el punto de vista de quien toma las decisiones, el segundo paso de las técnicas de preferencia a posteriori es el más complicado. Hay dos enfoques principales para informar a quien toma las decisiones. En primer lugar, se pueden proporcionar una serie de puntos del frente de Pareto en forma de lista (se ofrecen discusiones y referencias interesantes en ^[79] ) o utilizando mapas de calor. ^[80]

Visualización en problemas bioobjetivos: curva de compensación

En el caso de problemas bioobjetivos, la información al tomador de decisiones sobre el frente de Pareto generalmente se realiza mediante su visualización: el frente de Pareto, a menudo denominado curva de compensación en este caso, se puede dibujar en el plano objetivo. La curva de compensación brinda información completa sobre los valores objetivos y las compensaciones objetivas, que informan cómo la mejora de un objetivo se relaciona con el deterioro del segundo mientras se avanza a lo largo de la curva de compensación. Quien toma las decisiones tiene en cuenta esta información al especificar el punto objetivo óptimo de Pareto preferido. La idea de aproximar y visualizar el frente de Pareto fue introducida para problemas de decisión bioobjetiva lineal por S. Gass y T. Saaty. ^[81] Esta idea fue desarrollada y aplicada en problemas ambientales por JL Cohon. ^{[82] En [83]} se proporciona una revisión de los métodos para aproximar el frente de Pareto para varios problemas de decisión con un pequeño número de objetivos (principalmente, dos).

Visualización en problemas de optimización multiobjetivo de alto orden.

Hay dos ideas genéricas para visualizar el frente de Pareto en problemas de decisión multiobjetivo de alto orden (problemas con más de dos objetivos). Uno de ellos, que es aplicable en el caso de un número relativamente pequeño de puntos objetivos que representan el frente de Pareto, se basa en el uso de técnicas de visualización desarrolladas en estadística (diversos diagramas, etc.; ver el subapartado correspondiente más adelante). La segunda idea propone la visualización de secciones transversales bio-objetivas (slices) del frente de Pareto. Fue introducido por WS Meisel en 1973 ^[84] , quien argumentó que tales porciones informan a quien toma las decisiones sobre compensaciones objetivas. Las figuras que muestran una serie de cortes bioobjetivos del frente de Pareto para problemas de tres objetivos se conocen como mapas de decisión. Ofrecen una imagen clara de las compensaciones entre los tres criterios. Las desventajas de tal enfoque están relacionadas con los dos hechos siguientes. Primero, los procedimientos computacionales para construir los cortes bioobjetivos del frente de Pareto son inestables ya que el frente de Pareto generalmente no es estable. En segundo lugar, es aplicable en el caso de sólo tres objetivos. En la década de 1980, la idea de WS Meisel se implementó de una forma diferente: en la forma de la técnica de mapas de decisión interactivos (IDM). ^[85] Más recientemente, N. Wesner ^[86] propuso utilizar una combinación de un diagrama de Venn y múltiples diagramas de dispersión del espacio objetivo para explorar la frontera de Pareto y seleccionar soluciones óptimas.

Ver también

• Programación concurrente
• Software para la toma de decisiones
• Programación de objetivos
• Mapas de decisión interactivos
• Toma de decisiones con múltiples criterios
• Programación lineal multiobjetivo
• Optimización del diseño multidisciplinario
• eficiencia de Pareto
• Función de utilidad
• Optimización de vectores

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enlaces externos

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• Sociedad Internacional para la Toma de Decisiones con Criterios Múltiples
• Optimización evolutiva multiobjetivo, el proyecto de demostraciones Wolfram
• Un tutorial sobre optimización multiobjetivo y algoritmos genéticos, socio profesional de Scilab
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• Lista de referencias sobre optimización evolutiva multiobjetivo