La técnica de Mapas de Decisión Interactivos de optimización multiobjetivo se basa en la aproximación de la Envoltura de Edgeworth -Pareto (EPH) del conjunto de objetivos factibles, es decir, el conjunto de objetivos factibles ampliado por los puntos objetivo dominados por él. Alternativamente, este conjunto se conoce como Envoltura de Libre Disposición. Es importante que la EPH tenga el mismo frente de Pareto que el conjunto de objetivos factibles, pero las porciones de biobjetivos de la EPH parecen mucho más simples. Las fronteras de las porciones de biobjetivos de la EPH contienen las porciones del frente de Pareto. Es importante que, a diferencia del propio frente de Pareto, la EPH suele ser estable con respecto a las perturbaciones de los datos. La técnica IDM aplica una visualización rápida en línea de las porciones de biobjetivos de la EPH aproximadas de antemano.
Dado que las porciones bi-objetivo de la EPH para dos objetivos seleccionados se extienden (o se encogen) monótonamente, mientras que el valor de uno de los otros objetivos (el "tercer" objetivo) cambia monótonamente, las fronteras de las porciones de la EPH, para las cuales solo cambian los valores del "tercer" objetivo, no se intersecan. Por eso, una figura con porciones bi-objetivo superpuestas de la EPH parece un mapa topográfico ordinario y también se denomina mapa de decisión. Para estudiar la influencia de los otros objetivos (cuarto, quinto, etc.), se puede utilizar la animación de los mapas de decisión. Dicha animación es posible debido a la aproximación preliminar de la EPH. Alternativamente, se pueden estudiar varias colecciones de instantáneas de la animación. Las computadoras pueden visualizar el frente de Pareto en forma de mapas de decisión para problemas de decisión lineales y no lineales para tres a aproximadamente ocho objetivos. Las redes de computadoras pueden traer, por ejemplo, applets de Java que muestran gráficos de los frentes de Pareto a pedido. Las aplicaciones reales de la técnica IDM se describen en [1] .
La figura anterior representa una copia en escala de grises de una pantalla de computadora en color para un problema de calidad del agua de la vida real [1] que involucra cinco objetivos. El mapa de decisiones consta de cuatro porciones de biobjetivos superpuestas de diferentes colores. Una paleta muestra la relación entre los valores del "tercer" objetivo y los colores. Dos barras de desplazamiento están relacionadas con los valores del cuarto y quinto objetivo.
El movimiento de una barra de desplazamiento da como resultado un cambio en el mapa de decisiones. Se puede mover el control deslizante manualmente. Sin embargo, la forma más eficaz de mostrar información al DM se basa en un movimiento automático del control deslizante, es decir, en un incremento (o decremento) gradual de la restricción impuesta al valor de un objetivo. Un reemplazo rápido de los mapas de decisiones ofrece el efecto de una animación. Debido a que se puede ubicar cualquier número razonable de barras de desplazamiento en la pantalla, se puede explorar la influencia del cuarto, quinto (y tal vez incluso el sexto y séptimo, etc.) objetivos en el mapa de decisiones.
La EPH debe aproximarse en la técnica IDM antes de que se muestren los mapas de decisión. Los métodos para aproximar la EPH dependen de las propiedades de convexidad de la EPH. Los métodos de aproximación se basan típicamente en la aproximación de la EPH por un conjunto poliédrico convexo o en la aproximación de la EPH por un número grande pero finito de conos de dominación en el espacio objetivo con vértices que están cerca del frente de Pareto. La primera forma se puede aplicar solo en los problemas convexos, mientras que la segunda forma es universal y se puede utilizar en problemas no lineales generales. [1]
La EPH aproximada por un conjunto poliédrico se describe mediante un sistema de un número finito de desigualdades lineales, que se deben construir mediante la técnica de aproximación. La teoría matemática de la aproximación poliédrica óptima de cuerpos convexos se desarrolló recientemente, y sus resultados se pueden aplicar para desarrollar métodos efectivos para aproximar la EPH. [1] Se puede calcular una gran cantidad de porciones bi-objetivas de tales aproximaciones y mostrarlas en forma de un mapa de decisiones en varios segundos.
Se puede construir una aproximación EPH mediante un número grande pero finito de conos de dominación sobre la base de cualquier aproximación puntual del frente de Pareto , que se puede encontrar utilizando una amplia gama de técnicas, desde los métodos clásicos de optimización de un solo objetivo [2] [3] hasta los métodos evolutivos modernos [4] . También se pueden utilizar métodos híbridos para aproximar la EPH basados en la combinación de métodos clásicos y evolutivos. [5] Las porciones bi-objetivo de dicha aproximación también se pueden calcular muy rápidamente. La aplicación de estos métodos da como resultado mapas de decisión que parecen bastante comprensibles si el número de puntos de aproximación es suficientemente grande.
En la técnica IDM, la búsqueda de la decisión preferida se basa en la identificación de un punto objetivo óptimo de Pareto preferido (meta factible). Los mapas de decisión ayudan al usuario a identificar la meta directamente en una curva de equilibrio dibujada en la pantalla de la computadora. Luego, se encuentra automáticamente una decisión óptima de Pareto asociada con la meta. En el artículo Visualizing the Pareto Frontier (Lotov y Miettinen, 2008) se ofrece una discusión detallada de los problemas de visualización del frente de Pareto.