La multilateración de rango real (también denominada multilateración de rango-rango y multilateración esférica ) es un método para determinar la ubicación de un vehículo móvil o un punto estacionario en el espacio utilizando múltiples rangos ( distancias ) entre el vehículo/punto y múltiples ubicaciones conocidas separadas espacialmente (a menudo denominadas "estaciones"). [1] [2] Las ondas de energía pueden participar en la determinación del rango, pero no son necesarias.
La multilateración de rango verdadero es tanto un tema matemático como una técnica aplicada que se utiliza en varios campos. Una aplicación práctica que implica una ubicación fija se da en la topografía . [3] [4] Las aplicaciones que implican la ubicación del vehículo se denominan navegación cuando se informa a las personas o equipos a bordo de su ubicación, y se denominan vigilancia cuando se informa a las entidades fuera del vehículo de la ubicación del vehículo.
Se pueden utilizar dos rangos oblicuos a partir de dos ubicaciones conocidas para localizar un tercer punto en un espacio cartesiano bidimensional (plano), lo que es una técnica que se aplica con frecuencia (por ejemplo, en topografía). De manera similar, se pueden utilizar dos rangos esféricos para localizar un punto en una esfera, lo que es un concepto fundamental de la antigua disciplina de la navegación astronómica , denominada el problema de la intersección con la altitud . Además, si se dispone de más rangos que el número mínimo, es una buena práctica utilizarlos también. Este artículo aborda la cuestión general de la determinación de la posición utilizando múltiples rangos.
En geometría bidimensional , se sabe que si un punto se encuentra en dos círculos, entonces los centros de los círculos y los dos radios proporcionan suficiente información para limitar las posibles ubicaciones a dos, una de las cuales es la solución deseada y la otra es una solución ambigua. La información adicional a menudo reduce las posibilidades a una ubicación única. En geometría tridimensional, cuando se sabe que un punto se encuentra en las superficies de tres esferas, entonces los centros de las tres esferas junto con sus radios también proporcionan suficiente información para limitar las posibles ubicaciones a no más de dos (a menos que los centros se encuentren en una línea recta).
La multilateración de rango verdadero se puede contrastar con la multilateración de pseudorango , que se encuentra con más frecuencia y que emplea diferencias de rango para localizar un punto (normalmente, móvil). La multilateración de pseudorango casi siempre se implementa midiendo los tiempos de llegada (TOA) de las ondas de energía. La multilateración de rango verdadero también se puede contrastar con la triangulación , que implica la medición de ángulos .
No existe un término general aceptado o ampliamente utilizado para lo que se denomina aquí multilateración de rango verdadero . Se selecciona ese nombre porque: (a) es una descripción precisa y una terminología parcialmente familiar ( la multilateración se usa a menudo en este contexto); (b) evita especificar el número de rangos involucrados (como lo hace, por ejemplo, rango-rango) ; (c) evita implicar una aplicación (como lo hacen, por ejemplo, la navegación DME/DME o la trilateración ) y (d) y evita la confusión con la multilateración de pseudorango más común .
Para rangos y errores de medición similares, un sistema de navegación y vigilancia basado en la multilateración de rango verdadero proporciona servicio a un área 2-D o volumen 3-D significativamente mayor que los sistemas basados en la multilateración de pseudorango . Sin embargo, a menudo es más difícil o costoso medir rangos verdaderos que medir pseudorangos. Para distancias de hasta unas pocas millas y ubicaciones fijas, el rango verdadero se puede medir manualmente. Esto se ha hecho en topografía durante varios miles de años, por ejemplo, utilizando cuerdas y cadenas.
Para distancias más largas o vehículos en movimiento, generalmente se necesita un sistema de radio/radar. Esta tecnología se desarrolló por primera vez alrededor de 1940 en conjunto con el radar. Desde entonces, se han empleado tres métodos:
Los algoritmos de multilateración de rango verdadero se pueden dividir en función de
Cualquier algoritmo de multilateración de pseudorango se puede especializar para su uso con multilateración de rango real.
Es probable que se conozca una solución analítica desde hace más de 1000 años y se da en varios textos. [6] Además, se pueden adaptar fácilmente algoritmos para un espacio cartesiano tridimensional.
El algoritmo más simple emplea geometría analítica y un marco de coordenadas basado en estaciones. Por lo tanto, considere los centros del círculo (o estaciones) C1 y C2 en la Fig. 1 que tienen coordenadas conocidas (por ejemplo, ya han sido inspeccionados) y, por lo tanto, cuya separación es conocida. La figura 'página' contiene C1 y C2 . Si un tercer 'punto de interés' P (por ejemplo, un vehículo u otro punto a inspeccionar) está en el punto desconocido , entonces el teorema de Pitágoras da como resultado
De este modo,
Tenga en cuenta que tiene dos valores (es decir, la solución es ambigua); esto generalmente no es un problema.
Si bien existen muchas mejoras, la ecuación 1 es la relación de multilateración de rango verdadero más fundamental. La navegación DME/DME de aeronaves y el método de trilateración de topografía son ejemplos de su aplicación. Durante la Segunda Guerra Mundial, Oboe y durante la Guerra de Corea, SHORAN utilizó el mismo principio para guiar aeronaves en función de los rangos medidos a dos estaciones terrestres. SHORAN se utilizó más tarde para la exploración petrolera en alta mar y para la topografía aérea. El sistema de topografía aérea australiano Aerodist utilizó la multilateración de rango verdadero cartesiana en 2-D. [7] Este escenario en 2-D es lo suficientemente importante como para que el término trilateración se aplique a menudo a todas las aplicaciones que implican una línea base conocida y dos mediciones de rango.
La línea de base que contiene los centros de los círculos es una línea de simetría. Las soluciones correctas y ambiguas son perpendiculares a la línea de base y están igualmente distantes de ella (en lados opuestos de ella). Por lo general, la solución ambigua se identifica fácilmente. Por ejemplo, si P es un vehículo, cualquier movimiento hacia o desde la línea de base será opuesto al de la solución ambigua; por lo tanto, una medición aproximada de la dirección del vehículo es suficiente. Un segundo ejemplo: los topógrafos saben perfectamente de qué lado de la línea de base se encuentra P. Un tercer ejemplo: en aplicaciones donde P es una aeronave y C1 y C2 están en tierra, la solución ambigua suele estar bajo tierra.
Si es necesario, los ángulos interiores del triángulo C1-C2-P se pueden encontrar utilizando la ley trigonométrica de los cosenos . Además, si es necesario, las coordenadas de P se pueden expresar en un segundo sistema de coordenadas más conocido (por ejemplo, el sistema Universal Transverse Mercator (UTM)) , siempre que se conozcan las coordenadas de C1 y C2 en ese segundo sistema. Ambos se realizan a menudo en topografía cuando se emplea el método de trilateración. [8] Una vez que se establecen las coordenadas de P , las líneas C1-P y C2-P se pueden utilizar como nuevas líneas de base y se pueden topografíar puntos adicionales. Por lo tanto, se pueden topografíar grandes áreas o distancias basándose en triángulos múltiples y más pequeños, lo que se denomina poligonal .
Una suposición implícita para que la ecuación anterior sea verdadera es que y se relacionan con la misma posición de P . Cuando P es un vehículo, entonces típicamente y deben medirse dentro de una tolerancia de sincronización que depende de la velocidad del vehículo y del error de posición permitido del mismo. Alternativamente, el movimiento del vehículo entre mediciones de rango puede tenerse en cuenta, a menudo mediante estimación.
También es posible una solución trigonométrica (caso lado-lado-lado). También es posible una solución que emplee gráficos. A veces, una solución gráfica se emplea durante la navegación en tiempo real, como una superposición en un mapa.
Existen múltiples algoritmos que resuelven el problema de multilateración de rango verdadero cartesiano 3-D directamente (es decir, en forma cerrada), por ejemplo, Fang. [9] Además, se pueden adoptar algoritmos de forma cerrada desarrollados para la multilateración de pseudorango . [10] [6] El algoritmo de Bancroft [11] (adaptado) emplea vectores, lo que es una ventaja en algunas situaciones.
El algoritmo más simple corresponde a los centros de las esferas en la Fig. 2. La figura 'página' es el plano que contiene C1 , C2 y C3 . Si P es un 'punto de interés' (por ejemplo, un vehículo) en , entonces el teorema de Pitágoras arroja los rangos de inclinación entre P y los centros de las esferas:
Por lo tanto, las coordenadas de P son:
El plano que contiene los centros de las esferas es un plano de simetría. Las soluciones correctas y ambiguas son perpendiculares a él y están igualmente distantes de él, en lados opuestos.
Muchas aplicaciones de la multilateración de rango real 3-D involucran rangos cortos, por ejemplo, fabricación de precisión. [12] Integrar la medición de rango de tres o más radares (por ejemplo, ERAM de la FAA ) es una aplicación de vigilancia de aeronaves 3-D. La multilateración de rango real 3-D se ha utilizado de manera experimental con satélites GPS para navegación de aeronaves. [5] El requisito de que una aeronave esté equipada con un reloj atómico impide su uso general. Sin embargo, la ayuda del reloj del receptor GPS es un área de investigación activa, incluida la ayuda a través de una red. Por lo tanto, las conclusiones pueden cambiar. [13] La multilateración de rango real 3-D fue evaluada por la Organización de Aviación Civil Internacional como un sistema de aterrizaje de aeronaves, pero se encontró que otra técnica era más eficiente. [14] Medir con precisión la altitud de la aeronave durante la aproximación y el aterrizaje requiere muchas estaciones terrestres a lo largo de la trayectoria de vuelo.
.gif/1280px-Sun_Moon_(annotated).gif)
Este es un problema clásico de navegación celestial (o astronómica), denominado problema de intersección de altitud (Fig. 3). Es el equivalente geométrico esférico del método de trilateración de topografía (aunque las distancias involucradas son generalmente mucho mayores). Una solución en el mar (no necesariamente involucrando al Sol y la Luna) fue posible gracias al cronómetro marino (introducido en 1761) y al descubrimiento de la "línea de posición" (LOP) en 1837. El método de solución que ahora se enseña más en las universidades (por ejemplo, la Academia Naval de EE. UU.) emplea trigonometría esférica para resolver un triángulo esférico oblicuo basado en mediciones sextantes de la "altitud" de dos cuerpos celestes. [15] [16] Este problema también se puede abordar utilizando análisis vectorial. [17] Históricamente, se emplearon técnicas gráficas, por ejemplo, el método de intersección . Estas pueden dar cabida a más de dos "altitudes" medidas. Debido a la dificultad de hacer mediciones en el mar, a menudo se recomiendan de 3 a 5 "altitudes".
Como la Tierra se modela mejor como un elipsoide de revolución que como una esfera, se pueden utilizar técnicas iterativas en implementaciones modernas. [18] En aviones y misiles de gran altitud, un subsistema de navegación celestial a menudo se integra con un subsistema de navegación inercial para realizar una navegación automatizada, por ejemplo, el SR-71 Blackbird y el B-2 Spirit de la Fuerza Aérea de EE. UU .
Aunque se concibió como un sistema de multilateración de pseudorango "esférico", Loran-C también se ha utilizado como un sistema de multilateración de rango verdadero "esférico" por usuarios bien equipados (por ejemplo, el Servicio Hidrográfico Canadiense). [2] Esto permitió que el área de cobertura de una tríada de estaciones Loran-C se extendiera significativamente (por ejemplo, se duplicara o triplicara) y que el número mínimo de transmisores disponibles se redujera de tres a dos. En la aviación moderna, se miden con más frecuencia los rangos oblicuos en lugar de los rangos esféricos; sin embargo, cuando se conoce la altitud de la aeronave, los rangos oblicuos se convierten fácilmente en rangos esféricos. [6]
Cuando hay más mediciones de rango disponibles que dimensiones problemáticas, ya sea de las mismas estaciones C1 y C2 (o C1 , C2 y C3 ), o de estaciones adicionales, al menos se obtienen estos beneficios:
El algoritmo iterativo de Gauss-Newton para resolver problemas de mínimos cuadrados no lineales (NLLS) se prefiere generalmente cuando hay más mediciones "buenas" que el mínimo necesario. Una ventaja importante del método de Gauss-Newton sobre muchos algoritmos de forma cerrada es que trata los errores de rango de forma lineal, que a menudo es su naturaleza, reduciendo así el efecto de los errores de rango al promediar. [10] El método de Gauss-Newton también se puede utilizar con el número mínimo de rangos medidos. Dado que es iterativo, el método de Gauss-Newton requiere una estimación de solución inicial.
En el espacio cartesiano 3D, una cuarta esfera elimina la solución ambigua que se da con tres rangos, siempre que su centro no sea coplanar con los tres primeros. En el espacio cartesiano o esférico 2D, un tercer círculo elimina la solución ambigua que se da con dos rangos, siempre que su centro no sea colineal con los dos primeros.
Este artículo describe en gran medida la aplicación "única" de la técnica de multilateración de rango verdadero, que es el uso más básico de la técnica. Con referencia a la Figura 1, la característica de las situaciones "única" es que el punto P y al menos uno de C1 y C2 cambian de una aplicación de la técnica de multilateración de rango verdadero a la siguiente. Esto es apropiado para topografía, navegación astronómica mediante avistamientos manuales y algunas aplicaciones de navegación DME/DME de aeronaves.
Sin embargo, en otras situaciones, la técnica de multilateración de rango verdadero se aplica de manera repetitiva (esencialmente de manera continua). En esas situaciones, C1 y C2 (y quizás Cn, n = 3,4,... ) permanecen constantes y P es el mismo vehículo. Las aplicaciones de ejemplo (e intervalos seleccionados entre mediciones) son: vigilancia de aeronaves con radar múltiple (5 y 12 segundos, dependiendo del rango de cobertura del radar), topografía aérea, navegación Loran-C con un reloj de usuario de alta precisión (aproximadamente 0,1 segundos) y navegación DME/DME de algunas aeronaves (aproximadamente 0,1 segundos). Generalmente, las implementaciones para uso repetitivo: (a) emplean un algoritmo de "rastreador" [19] (además del algoritmo de solución de multilateración), que permite comparar y promediar de alguna manera las mediciones recopiladas en diferentes momentos; y (b) utilizan un algoritmo de solución iterativo, ya que (b1) admiten una cantidad variable de mediciones (incluidas mediciones redundantes) y (b2) tienen inherentemente una estimación inicial cada vez que se invoca el algoritmo de solución.
También son posibles los sistemas de multilateración híbridos (aquellos que no son sistemas de rango verdadero ni de pseudorango). Por ejemplo, en la figura 1, si los centros de los círculos se desplazan hacia la izquierda de modo que C1 esté en y C2 en entonces el punto de interés P está en
Esta forma de la solución depende explícitamente de la suma y la diferencia de y y no requiere "encadenamiento" de la -solución a la -solución. Podría implementarse como un sistema de multilateración de rango verdadero midiendo y .
Sin embargo, también podría implementarse como un sistema híbrido de multilateración midiendo y utilizando diferentes equipos, por ejemplo, para vigilancia mediante un radar multiestático con un transmisor y dos receptores (en lugar de dos radares monoestáticos ). Si bien la eliminación de un transmisor es un beneficio, existe un "costo" compensatorio: la tolerancia de sincronización para las dos estaciones pasa a depender de la velocidad de propagación (normalmente, la velocidad de la luz) en lugar de la velocidad del punto P , para poder medir con precisión ambas .
Si bien no se han implementado operativamente, se han investigado sistemas híbridos de multilateración para la vigilancia de aeronaves cerca de aeropuertos y como sistema de respaldo de navegación GPS para la aviación. [20]
La precisión de la posición de un sistema de multilateración de rango verdadero (por ejemplo, la precisión de las coordenadas del punto P en la figura 1) depende de dos factores: (1) la precisión de la medición del rango y (2) la relación geométrica de P con las estaciones C1 y C2 del sistema . Esto se puede entender a partir de la figura 4. Las dos estaciones se muestran como puntos y BLU denota unidades de línea base. (El patrón de medición es simétrico tanto con respecto a la línea base como a la bisectriz perpendicular de la línea base, y está truncado en la figura). Como se hace comúnmente, los errores de medición de rango individuales se toman como independientes del rango, estadísticamente independientes y distribuidos de manera idéntica. Esta suposición razonable separa los efectos de la geometría de la estación del usuario y los errores de medición de rango en el error en las coordenadas calculadas de P. Aquí, la geometría de medición es simplemente el ángulo en el que se cruzan dos círculos, o equivalentemente, el ángulo entre las líneas P-C1 y P-C2 . Cuando el punto P- no está en un círculo, el error en su posición es aproximadamente proporcional al área delimitada por los dos círculos azules y los dos círculos magenta más cercanos.
Sin mediciones redundantes, un sistema de multilateración de rango verdadero no puede ser más preciso que las mediciones de rango, pero puede ser significativamente menos preciso si la geometría de medición no se elige correctamente. En consecuencia, algunas aplicaciones imponen restricciones sobre la ubicación del punto P . Para una situación cartesiana (trilateración) 2-D, estas restricciones toman una de dos formas equivalentes:
La planificación de un sistema de vigilancia o navegación multilateración de alcance real a menudo implica un análisis de dilución de precisión (DOP) para fundamentar las decisiones sobre el número y la ubicación de las estaciones y el área de servicio del sistema (dos dimensiones) o el volumen de servicio (tres dimensiones). [21] [22] La figura 5 muestra las DOP horizontales (HDOP) para un sistema de multilateración de alcance real de dos estaciones en 2D. La HDOP es infinita a lo largo de la línea de base y sus extensiones, ya que solo se mide realmente una de las dos dimensiones. Un usuario de un sistema de este tipo debería estar aproximadamente a lo ancho de la línea de base y dentro de una banda de alcance dependiente de la aplicación. Por ejemplo, para las correcciones de navegación DME/DME por aeronaves, la HDOP máxima permitida por la FAA de EE. UU. es el doble del valor mínimo posible, o 2,828, [23] lo que limita el rango de uso máximo (que ocurre a lo largo de la bisectriz de la línea de base) a 1,866 veces la longitud de la línea de base. (El plano que contiene dos estaciones terrestres DME y una aeronave no es estrictamente horizontal, pero por lo general lo es). De manera similar, los topógrafos seleccionan el punto P en la figura 1 de modo que C1-C2-P formen aproximadamente un triángulo equilátero (donde HDOP = 1,633).
Los errores en los estudios de trilateración se analizan en varios documentos. [24] [25] Generalmente, se pone énfasis en los efectos de los errores de medición de rango, más que en los efectos de los errores numéricos del algoritmo.
Los sistemas de navegación y vigilancia suelen implicar vehículos y requieren que una entidad gubernamental u otra organización despliegue múltiples estaciones que empleen algún tipo de tecnología de radio (es decir, utilicen ondas electromagnéticas). Las ventajas y desventajas de emplear la multilateración de rango real para un sistema de este tipo se muestran en la siguiente tabla.
La multilateración de alcance real suele contrastarse con la multilateración (de pseudoalcance), ya que ambas requieren una forma de alcance del usuario a múltiples estaciones. La complejidad y el coste del equipamiento del usuario es probablemente el factor más importante que limita el uso de la multilateración de alcance real para la navegación y vigilancia de vehículos. Algunos usos no son el propósito original de la implementación del sistema, por ejemplo, la navegación DME/DME para aeronaves.
![{\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}^{2}&=x^{2}+y^{2}\\[4pt]r_{2}^{2}&=(Ux)^{2}+y^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75417a7cc7c30bde5d833ed87fd7bac94bdf7ce0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}^{2}&=x^{2}+y^{2}+z^{2}\\[4pt]r_{2}^{2}&=(xU)^{2}+y^{2}+z^{2}\\[4pt]r_{3}^{2}&=(x-V_{x})^{2}+(y-V_{y})^{2}+z^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c79d1b3b07b4a53e3567564dd212e76f1146473e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{\prime }&={\frac {(r_{1}^{\prime }+r_{2}^{\prime })(r_{1}^{\prime }-r_{2}^{\prime })}{2U}}\\[4pt]y^{\prime }&=\pm {\frac {{\sqrt {(r_{1}^{\prime }+r_{2}^{\prime })^{2}-U^{2}}}{\sqrt {U^{2}-(r_{1}^{\prime }-r_{2}^{\prime })^{2}}}}{2U}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/656d76a6985f39c396e1a9bda6019b29877112fb)
