En matemáticas , un morfismo es un concepto de la teoría de categorías que generaliza los mapas que preservan la estructura, como el homomorfismo entre estructuras algebraicas , funciones de un conjunto a otro conjunto y funciones continuas entre espacios topológicos . Aunque muchos ejemplos de morfismos son mapas que preservan la estructura, los morfismos no necesitan ser mapas, pero pueden estar compuestos de una manera similar a la composición de funciones .
Los morfismos y los objetos son constituyentes de una categoría . Los morfismos, también llamados mapas o flechas , relacionan dos objetos llamados origen y destino del morfismo. Existe una operación parcial , llamada composición , sobre los morfismos de una categoría que se define si el destino del primer objeto es igual al origen del segundo objeto. La composición de morfismos se comporta como una composición de funciones ( asociatividad de la composición cuando está definida y existencia de un morfismo identidad para cada objeto).
Los morfismos y las categorías son recurrentes en gran parte de la matemática contemporánea. Originalmente, se introdujeron para el álgebra homológica y la topología algebraica . Pertenecen a las herramientas fundamentales de la teoría de esquemas de Grothendieck , una generalización de la geometría algebraica que se aplica también a la teoría algebraica de números .
Una categoría C consta de dos clases , una de objetos y otra de morfismos . Hay dos objetos que están asociados a cada morfismo, el origen y el destino . Un morfismo f de X a Y es un morfismo con origen X y destino Y ; se escribe comúnmente como f : X → Y o X Y la última forma es más adecuada para los diagramas conmutativos .
Para muchas categorías comunes, los objetos son conjuntos (a menudo con alguna estructura adicional) y los morfismos son funciones de un objeto a otro objeto. Por lo tanto, la fuente y el destino de un morfismo a menudo se denominandominio ycodominio respectivamente.
Los morfismos están equipados con una operación binaria parcial , llamada composición . La composición de dos morfismos f y g se define con precisión cuando el objetivo de f es la fuente de g , y se denota g ∘ f (o, a veces, simplemente gf ). La fuente de g ∘ f es la fuente de f , y el objetivo de g ∘ f es el objetivo de g . La composición satisface dos axiomas :
Para una categoría concreta (una categoría en la que los objetos son conjuntos, posiblemente con estructura adicional, y los morfismos son funciones que preservan la estructura), el morfismo identidad es simplemente la función identidad , y la composición es simplemente la composición ordinaria de funciones .
La composición de morfismos se representa a menudo mediante un diagrama conmutativo . Por ejemplo,
La colección de todos los morfismos de X a Y se denota Hom C ( X , Y ) o simplemente Hom( X , Y ) y se llama el hom-set entre X e Y . Algunos autores escriben Mor C ( X , Y ) , Mor( X , Y ) o C( X , Y ) . El término hom-set es algo inapropiado, ya que la colección de morfismos no está obligada a ser un conjunto; una categoría donde Hom( X , Y ) es un conjunto para todos los objetos X e Y se llama localmente pequeño . Debido a que los hom-sets pueden no ser conjuntos, algunas personas prefieren usar el término "hom-class".
El dominio y el codominio son, de hecho, parte de la información que determina un morfismo. Por ejemplo, en la categoría de conjuntos , donde los morfismos son funciones, dos funciones pueden ser idénticas como conjuntos de pares ordenados (pueden tener el mismo rango ), pero tener codominios diferentes. Las dos funciones son distintas desde el punto de vista de la teoría de categorías. Por lo tanto, muchos autores requieren que las clases hom Hom( X , Y ) sean disjuntas . En la práctica, esto no es un problema porque si esta disjunción no se cumple, se puede asegurar añadiendo el dominio y el codominio a los morfismos (por ejemplo, como el segundo y tercer componente de una terna ordenada).
Un morfismo f : X → Y se llama monomorfismo si f ∘ g 1 = f ∘ g 2 implica g 1 = g 2 para todos los morfismos g 1 , g 2 : Z → X . Un monomorfismo puede llamarse mono para abreviar, y podemos usar mónico como adjetivo. [1] Un morfismo f tiene una inversa izquierda o es un monomorfismo dividido si hay un morfismo g : Y → X tal que g ∘ f = id X . Por lo tanto f ∘ g : Y → Y es idempotente ; es decir, ( f ∘ g ) 2 = f ∘ ( g ∘ f ) ∘ g = f ∘ g . La inversa izquierda g también se llama retracción de f . [1]
Los morfismos con inversas izquierdas son siempre monomorfismos, pero lo contrario no es cierto en general; un monomorfismo puede no tener una inversa izquierda. En categorías concretas , una función que tiene una inversa izquierda es inyectiva . Por lo tanto, en categorías concretas, los monomorfismos son a menudo, pero no siempre, inyectivos. La condición de ser una inyección es más fuerte que la de ser un monomorfismo, pero más débil que la de ser un monomorfismo escindido.
Dualmente para los monomorfismos, un morfismo f : X → Y se llama epimorfismo si g 1 ∘ f = g 2 ∘ f implica g 1 = g 2 para todos los morfismos g 1 , g 2 : Y → Z . Un epimorfismo puede llamarse epi para abreviar, y podemos usar épico como adjetivo. [1] Un morfismo f tiene un inverso recto o es un epimorfismo partido si hay un morfismo g : Y → X tal que f ∘ g = id Y . El inverso recto g también se llama sección de f . [1] Los morfismos que tienen un inverso recto son siempre epimorfismos, pero lo inverso no es cierto en general, ya que un epimorfismo puede no tener un inverso recto.
Si un monomorfismo f se desdobla con inversa izquierda g , entonces g es un epimorfismo desdoblado con inversa derecha f . En categorías concretas , una función que tiene inversa derecha es sobreyectiva . Por lo tanto, en categorías concretas, los epimorfismos son a menudo, pero no siempre, sobreyectivos. La condición de ser una sobreyección es más fuerte que la de ser un epimorfismo, pero más débil que la de ser un epimorfismo desdoblado. En la categoría de conjuntos , el enunciado de que toda sobreyección tiene una sección es equivalente al axioma de elección .
Un morfismo que es al mismo tiempo un epimorfismo y un monomorfismo se llama bimorfismo .
Un morfismo f : X → Y se denomina isomorfismo si existe un morfismo g : Y → X tal que f ∘ g = id Y y g ∘ f = id X . Si un morfismo tiene inversa izquierda e inversa derecha, entonces las dos inversas son iguales, por lo que f es un isomorfismo y g se denomina simplemente la inversa de f . Los morfismos inversos, si existen, son únicos. La inversa g también es un isomorfismo, con inversa f . Se dice que dos objetos con un isomorfismo entre ellos son isomorfos o equivalentes.
Si bien todo isomorfismo es un bimorfismo, un bimorfismo no es necesariamente un isomorfismo. Por ejemplo, en la categoría de anillos conmutativos, la inclusión Z → Q es un bimorfismo que no es un isomorfismo. Sin embargo, cualquier morfismo que sea a la vez un epimorfismo y un monomorfismo dividido , o tanto un monomorfismo como un epimorfismo dividido , debe ser un isomorfismo. Una categoría, como un Conjunto , en la que todo bimorfismo es un isomorfismo se conoce como una categoría balanceada .
Un morfismo f : X → X (es decir, un morfismo con origen y destino idénticos) es un endomorfismo de X . Un endomorfismo escindido es un endomorfismo idempotente f si f admite una descomposición f = h ∘ g con g ∘ h = id . En particular, la envolvente de Karoubi de una categoría escinde todo morfismo idempotente.
Un automorfismo es un morfismo que es a la vez endomorfismo e isomorfismo. En cada categoría, los automorfismos de un objeto siempre forman un grupo , llamado grupo de automorfismos del objeto.
Para más ejemplos, véase Teoría de categorías .