dipolo

Fenómeno electromagnético

El campo magnético de una esfera con un polo magnético norte en la parte superior y un polo magnético sur en la parte inferior. En comparación, la Tierra tiene un polo magnético sur cerca de su polo geográfico norte y un polo magnético norte cerca de su polo sur.

En física , un dipolo (del griego δίς (dis)  'dos ​​veces' y πόλος (polos)  'eje' ^{[1] [2] [3]} ) es un fenómeno electromagnético que se produce de dos maneras:

• Un dipolo eléctrico se ocupa de la separación de las cargas eléctricas positivas y negativas que se encuentran en cualquier sistema electromagnético. Un ejemplo simple de este sistema es un par de cargas de igual magnitud pero de signo opuesto separadas por una distancia típicamente pequeña. (Un dipolo eléctrico permanente se llama electreto ) .
• Un dipolo magnético es la circulación cerrada de un sistema de corriente eléctrica . Un ejemplo sencillo es un único bucle de cable por el que circula corriente constante. Una barra magnética es un ejemplo de imán con un momento dipolar magnético permanente . ^{[4] [5]}

Los dipolos, ya sean eléctricos o magnéticos, se pueden caracterizar por su momento dipolar, una cantidad vectorial. Para el dipolo eléctrico simple, el momento dipolar eléctrico apunta desde la carga negativa hacia la carga positiva y tiene una magnitud igual a la fuerza de cada carga multiplicada por la separación entre las cargas. (Para ser precisos: para la definición del momento dipolar, siempre se debe considerar el "límite dipolar", donde, por ejemplo, la distancia de las cargas generadoras debe converger a 0 y al mismo tiempo, la intensidad de la carga debe divergir hasta el infinito en tales de manera que el producto permanezca como una constante positiva.)

Para el bucle de corriente magnético (dipolo), el momento dipolar magnético apunta a través del bucle (de acuerdo con la regla de agarre de la derecha ), con una magnitud igual a la corriente en el bucle multiplicada por el área del bucle.

De manera similar a los bucles de corriente magnéticos, la partícula electrónica y algunas otras partículas fundamentales tienen momentos dipolares magnéticos, ya que un electrón genera un campo magnético idéntico al generado por un bucle de corriente muy pequeño. Sin embargo, el momento dipolar magnético de un electrón no se debe a un bucle de corriente, sino a una propiedad intrínseca del electrón. ^[6] El electrón también puede tener un momento dipolar eléctrico , aunque aún no se ha observado (ver momento dipolar eléctrico del electrón ).

Gráfico de contorno del potencial electrostático de un dipolo eléctrico orientado horizontalmente de tamaño infinitesimal. Los colores fuertes indican el potencial más alto y más bajo (donde se encuentran las cargas opuestas del dipolo).

Un imán permanente, como una barra magnética, debe su magnetismo al momento dipolar magnético intrínseco del electrón. Los dos extremos de una barra magnética se denominan polos (no deben confundirse con monopolos , consulte Clasificación a continuación) y pueden etiquetarse como "norte" y "sur". En términos del campo magnético de la Tierra, son respectivamente polos "que buscan el norte" y "que buscan el sur": si el imán estuviera suspendido libremente en el campo magnético de la Tierra, el polo que busca el norte apuntaría hacia el norte y hacia el sur. El polo que busca apuntaría hacia el sur. El momento dipolar de la barra magnética apunta desde su sur magnético hasta su polo norte magnético . En una brújula magnética , el polo norte de una barra magnética apunta al norte. Sin embargo, eso significa que el polo norte geomagnético de la Tierra es el polo sur (polo que busca el sur) de su momento dipolar y viceversa.

Los únicos mecanismos conocidos para la creación de dipolos magnéticos son los bucles de corriente o el espín mecánico cuántico, ya que la existencia de monopolos magnéticos nunca ha sido demostrada experimentalmente.

Clasificación

Líneas de campo eléctrico de dos cargas opuestas separadas por una distancia finita.

Líneas de campo magnético de una corriente anular de diámetro finito.

Líneas de campo de un dipolo puntual de cualquier tipo, eléctrico, magnético, acústico, etc.

Un dipolo físico consta de dos cargas puntuales iguales y opuestas: en sentido literal, dos polos. Su campo a grandes distancias (es decir, distancias grandes en comparación con la separación de los polos) depende casi por completo del momento dipolar definido anteriormente. Un dipolo puntual (eléctrico) es el límite que se obtiene dejando que la separación tienda a 0 manteniendo fijo el momento dipolar. El campo de un dipolo puntual tiene una forma particularmente simple, y el término de orden 1 en la expansión multipolar es precisamente el campo dipolar puntual.

Aunque no se conocen monopolos magnéticos en la naturaleza, existen dipolos magnéticos en forma de espín mecánico-cuántico asociados con partículas como los electrones (aunque la descripción precisa de tales efectos queda fuera del electromagnetismo clásico). Un dipolo de punto magnético teórico tiene un campo magnético de exactamente la misma forma que el campo eléctrico de un dipolo de punto eléctrico. Un bucle muy pequeño que transporta corriente es aproximadamente un dipolo de punto magnético; El momento dipolar magnético de dicho bucle es el producto de la corriente que fluye en el bucle y el área (vectorial) del bucle.

Cualquier configuración de cargas o corrientes tiene un "momento dipolar", que describe el dipolo cuyo campo es la mejor aproximación, a grandes distancias, al de la configuración dada. Este es simplemente un término en la expansión multipolar cuando la carga total ("momento monopolar") es 0, como siempre lo es en el caso magnético, ya que no hay monopolos magnéticos. El término dipolar es el dominante a grandes distancias: su campo disminuye en proporción a1/r ³, en comparación con1/r ⁴para el siguiente término ( cuadrupolo ) y potencias superiores de1/rpara términos más altos, o1/r ²para el término monopolar.

dipolos moleculares

Muchas moléculas tienen momentos dipolares debido a distribuciones no uniformes de cargas positivas y negativas en los distintos átomos. Tal es el caso de los compuestos polares como el fluoruro de hidrógeno (HF), donde la densidad electrónica se comparte de manera desigual entre los átomos. Por tanto, el dipolo de una molécula es un dipolo eléctrico con un campo eléctrico inherente que no debe confundirse con un dipolo magnético , que genera un campo magnético.

El químico físico Peter JW Debye fue el primer científico en estudiar ampliamente los dipolos moleculares y, como consecuencia, los momentos dipolares se miden en la unidad no perteneciente al SI denominada debye en su honor.

Para las moléculas existen tres tipos de dipolos:

dipolos permanentes

Estos ocurren cuando dos átomos en una molécula tienen electronegatividad sustancialmente diferente : un átomo atrae electrones más que otro, volviéndose más negativo, mientras que el otro átomo se vuelve más positivo. Una molécula con un momento dipolar permanente se llama molécula polar . Ver atracciones dipolo-dipolo .

Dipolos instantáneos

Estos ocurren por casualidad cuando los electrones están más concentrados en un lugar que en otro de una molécula , creando un dipolo temporal. Estos dipolos son de menor magnitud que los dipolos permanentes, pero aún desempeñan un papel importante en la química y la bioquímica debido a su prevalencia. Ver dipolo instantáneo .

dipolos inducidos

Estos pueden ocurrir cuando una molécula con un dipolo permanente repele los electrones de otra molécula, induciendo un momento dipolar en esa molécula. Una molécula está polarizada cuando lleva un dipolo inducido. Ver atracción dipolar inducida .

De manera más general, un dipolo inducido de cualquier distribución de carga polarizable ρ (recordemos que una molécula tiene una distribución de carga) es causado por un campo eléctrico externo a ρ . Este campo puede, por ejemplo, originarse a partir de un ion o una molécula polar en las proximidades de ρ o puede ser macroscópico (por ejemplo, una molécula entre las placas de un condensador cargado ). El tamaño del momento dipolar inducido es igual al producto de la intensidad del campo externo y la polarizabilidad dipolar de ρ .

Los valores del momento dipolar se pueden obtener midiendo la constante dieléctrica . Algunos valores típicos de la fase gaseosa en unidades debye son: ^[7]

• dióxido de carbono : 0
• monóxido de carbono : 0,112D
• ozono : 0,53D
• fosgeno : 1,17 D
• NH 3 tiene un momento dipolar de 1,42 D
• vapor de agua : 1,85D
• cianuro de hidrógeno : 2,98 D
• cianamida : 4,27 D
• bromuro de potasio : 10,41 D

La molécula lineal CO ₂ tiene un dipolo cero ya que los dos dipolos del enlace se cancelan.

El bromuro de potasio (KBr) tiene uno de los momentos dipolares más altos porque es un compuesto iónico que existe como molécula en fase gaseosa.

La molécula curvada H ₂ O tiene un dipolo neto. Los dos dipolos de enlace no se cancelan.

El momento dipolar general de una molécula se puede aproximar como una suma vectorial de los momentos dipolares del enlace . Como suma vectorial depende de la orientación relativa de los enlaces, de modo que del momento dipolar se puede deducir información sobre la geometría molecular .

Por ejemplo, el dipolo cero del CO ₂ implica que los dos momentos dipolares del enlace C=O se cancelan, por lo que la molécula debe ser lineal. Para H ₂ O, los momentos del enlace O-H no se cancelan porque la molécula está doblada. Para el ozono (O ₃ ), que también es una molécula curvada, los momentos dipolares del enlace no son cero aunque los enlaces O-O estén entre átomos similares. Esto concuerda con las estructuras de Lewis para las formas de resonancia del ozono que muestran una carga positiva en el átomo de oxígeno central.

Estructuras de resonancia de Lewis de la molécula de ozono.

Un ejemplo en química orgánica del papel de la geometría en la determinación del momento dipolar son los isómeros cis y trans del 1,2-dicloroeteno . En el isómero cis , los dos enlaces polares C-Cl están en el mismo lado del doble enlace C=C y el momento dipolar molecular es 1,90 D. En el isómero trans , el momento dipolar es cero porque los dos enlaces C-Cl están en lados opuestos de C = C y se cancelan (y los dos momentos de enlace para los enlaces C-H mucho menos polares también se cancelan).

Otro ejemplo del papel de la geometría molecular es el trifluoruro de boro , que tiene tres enlaces polares con una diferencia de electronegatividad mayor que el umbral tradicionalmente citado de 1,7 para los enlaces iónicos . Sin embargo, debido a la distribución triangular equilátera de los iones fluoruro centrados y en el mismo plano que el catión boro, la simetría de la molécula hace que su momento dipolar sea cero.

Operador dipolo mecánico cuántico

Considere una colección de N partículas con cargas q _i y vectores de posición r _i . Por ejemplo, esta colección puede ser una molécula formada por electrones, todos con carga _{−e, y núcleos con carga eZi} , donde Zi es el número atómico del _i - ésimo  núcleo. El dipolo observable (cantidad física) tiene el operador dipolo de la mecánica cuántica : ^{[ cita necesaria ]}

${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,\mathbf {r} _{i}\,.}$

Observe que esta definición es válida sólo para átomos o moléculas neutras, es decir, carga total igual a cero. En el caso ionizado, tenemos

${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{c}),}$

¿Dónde está el centro de masa de la molécula/grupo de partículas? ^[8] ${\displaystyle \mathbf {r} _{c}}$

dipolos atómicos

Un átomo no degenerado ( estado S ) sólo puede tener un dipolo permanente cero. Este hecho se deriva de la mecánica cuántica de la simetría de inversión de los átomos. Los 3 componentes del operador dipolo son antisimétricos bajo inversión con respecto al núcleo,

${\displaystyle {\mathfrak {I}}\;{\mathfrak {p}}\;{\mathfrak {I}}^{-1}=-{\mathfrak {p}},}$

donde es el operador dipolo y es el operador de inversión. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$

El momento dipolar permanente de un átomo en un estado no degenerado (ver nivel de energía degenerado ) se da como el valor esperado (promedio) del operador dipolar,

${\displaystyle \left\langle {\mathfrak {p}}\right\rangle =\left\langle \,S\,|{\mathfrak {p}}|\,S\,\right\rangle ,}$

donde es una función de onda de estado S , no degenerada, que es simétrica o antisimétrica bajo inversión: . Dado que el producto de la función de onda (en el ket) y su conjugado complejo (en el bra) es siempre simétrico bajo inversión y su inversa, ${\displaystyle |\,S\,\rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {I}}\,|\,S\,\rangle =\pm |\,S\,\rangle }$

${\displaystyle \left\langle {\mathfrak {p}}\right\rangle =\left\langle \,{\mathfrak {I}}^{-1}\,S\,|{\mathfrak {p}}|\,{\mathfrak {I}}^{-1}\,S\,\right\rangle =\left\langle \,S\,|{\mathfrak {I}}\,{\mathfrak {p}}\,{\mathfrak {I}}^{-1}|\,S\,\right\rangle =-\left\langle {\mathfrak {p}}\right\rangle }$

de ello se deduce que el valor esperado cambia de signo bajo inversión. Usamos aquí el hecho de que , al ser un operador de simetría, es unitario : y por definición, el adjunto hermitiano puede moverse de bra a ket y luego se convierte en . Dado que la única cantidad que es igual a menos es el cero, el valor esperado desaparece, ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {I}}^{-1}={\mathfrak {I}}^{*}\,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {I}}^{*}\,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {I}}^{**}={\mathfrak {I}}\,}$

${\displaystyle \left\langle {\mathfrak {p}}\right\rangle =0.}$

En el caso de átomos de capa abierta con niveles de energía degenerados, se podría definir un momento dipolar con la ayuda del efecto Stark de primer orden . Esto da un dipolo que no desaparece (por definición, proporcional a un desplazamiento Stark de primer orden que no desaparece) sólo si algunas de las funciones de onda pertenecientes a las energías degeneradas tienen paridad opuesta ; es decir, tienen un comportamiento diferente bajo inversión. Esto es algo raro, pero ocurre con el átomo de H excitado, donde los estados 2s y 2p se degeneran "accidentalmente" (consulte el artículo Vector de Laplace-Runge-Lenz para conocer el origen de esta degeneración) y tienen paridad opuesta (2s es par y 2p es impar).

Campo de un dipolo magnético estático

Magnitud

La intensidad del campo lejano, B , de un campo magnético dipolo está dada por

${\displaystyle B(m,r,\lambda )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {m}{r^{3}}}{\sqrt {1+3\sin ^{2}(\lambda )}}\,,}$

dónde

B es la fuerza del campo, medida en teslas

r es la distancia desde el centro, medida en metros

λ es la latitud magnética (igual a 90° −  θ ) donde θ es la colatitud magnética, medida en radianes o grados desde el eje dipolo ^{[nota 1]}

m es el momento dipolar, medido en amperios -metros cuadrados o julios por tesla

μ ₀ es la permeabilidad del espacio libre , medida en henrios por metro.

La conversión a coordenadas cilíndricas se logra usando r ² = z ² + ρ ² y

${\displaystyle \lambda =\arcsin \left({\frac {z}{\sqrt {z^{2}+\rho ^{2}}}}\right)}$

donde ρ es la distancia perpendicular al eje z . Entonces,

${\displaystyle B(\rho ,z)={\frac {\mu _{0}m}{4\pi \left(z^{2}+\rho ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}{\sqrt {1+{\frac {3z^{2}}{z^{2}+\rho ^{2}}}}}}$

forma vectorial

El campo en sí es una cantidad vectorial:

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {m} ,\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\ {\frac {3(\mathbf {m} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {m} }{r^{3}}}}$

dónde

B es el campo

r es el vector desde la posición del dipolo hasta la posición donde se mide el campo

r es el valor absoluto de r : la distancia desde el dipolo

r̂ =r/res el vector unitario paralelo a r ;

m es el momento dipolar (vectorial)

μ ₀ es la permeabilidad del espacio libre.

Este es exactamente el campo de un dipolo puntual, exactamente el término dipolar en la expansión multipolar de un campo arbitrario y aproximadamente el campo de cualquier configuración similar a un dipolo a grandes distancias.

Potencial vectorial magnético

El potencial vectorial A de un dipolo magnético es

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {\mathbf {m} \times {\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}}$

con las mismas definiciones que las anteriores.

Campo de un dipolo eléctrico

El potencial electrostático en la posición r debido a un dipolo eléctrico en el origen viene dado por:

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\,{\frac {\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}}$

donde p es el momento dipolar (vectorial) y є ₀ es la permitividad del espacio libre .

Este término aparece como el segundo término en la expansión multipolar de un potencial electrostático arbitrario Φ( r ). Si la fuente de Φ( r ) es un dipolo, como se supone aquí, este término es el único término que no desaparece en la expansión multipolar de Φ( r ). El campo eléctrico de un dipolo se puede encontrar a partir del gradiente de este potencial:

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \Phi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {3(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {p} }{r^{3}}}-\delta ^{3}(\mathbf {r} ){\frac {\mathbf {p} }{3\epsilon _{0}}}.}$

Esta es la misma forma que la expresión para el campo magnético de un dipolo magnético puntual, ignorando la función delta. Sin embargo, en un dipolo eléctrico real, las cargas están físicamente separadas y el campo eléctrico diverge o converge en las cargas puntuales. Esto es diferente al campo magnético de un dipolo magnético real que es continuo en todas partes. La función delta representa el campo fuerte que apunta en la dirección opuesta entre las cargas puntuales, que a menudo se omite ya que rara vez estamos interesados ​​en el campo en la posición del dipolo. Para obtener más información sobre el campo magnético interno de los dipolos, consulte ^{[5] [9]} o Momento magnético#Campo magnético interno de un dipolo .

Torque en un dipolo

Dado que la dirección de un campo eléctrico se define como la dirección de la fuerza sobre una carga positiva, las líneas del campo eléctrico apuntan en dirección opuesta a una carga positiva y hacia una carga negativa.

Cuando se coloca en un campo eléctrico o magnético homogéneo , surgen fuerzas iguales pero opuestas a cada lado del dipolo creando un par τ }:

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {p} \times \mathbf {E} }$

para un momento dipolar eléctrico p (en culombios-metros), o

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {m} \times \mathbf {B} }$

para un momento dipolar magnético m (en amperios-metros cuadrados).

El par resultante tenderá a alinear el dipolo con el campo aplicado, lo que en el caso de un dipolo eléctrico produce una energía potencial de

${\displaystyle U=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {E} }$.

La energía de un dipolo magnético es similar

${\displaystyle U=-\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} }$.

Radiación dipolo

Módulo del vector de Poynting para un dipolo eléctrico oscilante (solución exacta). Las dos cargas se muestran como dos pequeños puntos negros.

Además de los dipolos en electrostática, también es común considerar un dipolo eléctrico o magnético que oscila en el tiempo. Es una extensión, o un siguiente paso más físico, de la radiación de ondas esféricas .

En particular, considere un dipolo eléctrico que oscila armónicamente, con frecuencia angular ω y un momento dipolar p ₀ a lo largo de la dirección ẑ de la forma

${\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {p} (\mathbf {r} )e^{-i\omega t}=p_{0}{\hat {\mathbf {z} }}e^{-i\omega t}.}$

En el vacío, el campo exacto producido por este dipolo oscilante se puede derivar utilizando la formulación del potencial retardado como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left\{{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}r}}\left({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} \right)\times {\hat {\mathbf {r} }}+\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {i\omega }{cr^{2}}}\right)\left(3{\hat {\mathbf {r} }}\left[{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} \right]-\mathbf {p} \right)\right\}e^{\frac {i\omega r}{c}}e^{-i\omega t}\\\mathbf {B} &={\frac {\omega ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} )\left(1-{\frac {c}{i\omega r}}\right){\frac {e^{i\omega r/c}}{r}}e^{-i\omega t}.\end{aligned}}}$

Pararω/C ≫ 1, el campo lejano toma la forma más simple de una onda "esférica" ​​radiante, pero con dependencia angular incorporada en el producto cruzado: ^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} &={\frac {\omega ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} ){\frac {e^{i\omega (r/c-t)}}{r}}={\frac {\omega ^{2}\mu _{0}p_{0}}{4\pi c}}({\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {z} }}){\frac {e^{i\omega (r/c-t)}}{r}}=-{\frac {\omega ^{2}\mu _{0}p_{0}}{4\pi c}}\sin(\theta ){\frac {e^{i\omega (r/c-t)}}{r}}\mathbf {\hat {\phi }} \\\mathbf {E} &=c\mathbf {B} \times {\hat {\mathbf {r} }}=-{\frac {\omega ^{2}\mu _{0}p_{0}}{4\pi }}\sin(\theta )\left({\hat {\phi }}\times \mathbf {\hat {r}} \right){\frac {e^{i\omega (r/c-t)}}{r}}=-{\frac {\omega ^{2}\mu _{0}p_{0}}{4\pi }}\sin(\theta ){\frac {e^{i\omega (r/c-t)}}{r}}{\hat {\theta }}.\end{aligned}}}$

El vector de Poynting promediado en el tiempo

${\displaystyle \langle \mathbf {S} \rangle =\left({\frac {\mu _{0}p_{0}^{2}\omega ^{4}}{32\pi ^{2}c}}\right){\frac {\sin ^{2}(\theta )}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$

no se distribuye isotrópicamente, sino que se concentra alrededor de las direcciones perpendiculares al momento dipolar, debido a las ondas eléctricas y magnéticas no esféricas. De hecho, la función armónica esférica (sen θ ) responsable de dicha distribución angular toroidal es precisamente la  onda l = 1 "p".

La potencia total promedio en el tiempo radiada por el campo se puede derivar del vector de Poynting como

${\displaystyle P={\frac {\mu _{0}\omega ^{4}p_{0}^{2}}{12\pi c}}.}$

Observe que la dependencia de la potencia de la cuarta potencia de la frecuencia de la radiación está de acuerdo con la dispersión de Rayleigh y los efectos subyacentes de por qué el cielo se compone principalmente de color azul.

Un dipolo polarizado circular se describe como una superposición de dos dipolos lineales.

Ver también

• Densidad de polarización
• Modelos de dipolos magnéticos
• Modelo dipolo del campo magnético terrestre.
• electreto
• Dipolo del Océano Índico y Dipolo del Océano Índico Subtropical , dos fenómenos oceanográficos
• Interacción magnética dipolo-dipolo
• momento magnético de giro
• Monopolo
• Armónicos sólidos
• Momentos multipolares axiales
• Momentos multipolares cilíndricos
• Momentos esféricos multipolares
• Expansión de Laplace
• Sólido molecular
• Momento magnético # Campo magnético interno de un dipolo

Notas

1. La colatitud magnética es 0 a lo largo del eje del dipolo y 90 ° en el plano perpendicular a su eje.

Referencias

1. δίς, Henry George Liddell, Robert Scott, Un léxico griego-inglés , sobre Perseo
2. πόλος, Henry George Liddell, Robert Scott, Un léxico griego-inglés , sobre Perseo
3. "dipolo, norte.". Diccionario de ingles Oxford (segunda ed.). Prensa de la Universidad de Oxford . 1989.
4. Brau, Charles A. (2004). Problemas modernos de la electrodinámica clásica . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-514665-4.
5. Griffiths, David J. (1999). Introducción a la electrodinámica (3ª ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
6. Griffiths, David J. (1994). Introducción a la Mecánica Cuántica . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-124405-4.
7. Oeste, Robert C. (1984). Manual CRC de Química y Física (65ª ed.). Prensa CRC. ISBN 0-8493-0465-2.
8. "El vector del momento dipolar eléctrico: dirección, magnitud, significado, etcétera".
9. Jackson, John D. (1999). Electrodinámica clásica, 3.ª ed . Wiley. págs. 148-150. ISBN 978-0-471-30932-1.
10. David J. Griffiths , Introducción a la electrodinámica, Prentice Hall, 1999, página 447

enlaces externos

• Programa de geomagnetismo del USGS
• Campos de fuerza Archivado el 14 de diciembre de 2010 en Wayback Machine : un capítulo de un libro de texto en línea
• Potencial de dipolo eléctrico de Stephen Wolfram y densidad de energía de un dipolo magnético de Franz Krafft. Proyecto de demostraciones de Wolfram .