Momento de inercia

Scalar measure of the rotational inertia with respect to a fixed axis of rotation

Los equilibristas utilizan el momento de inercia de una vara larga para mantener el equilibrio mientras caminan por la cuerda. Samuel Dixon cruzando el río Niágara en 1890.

Para mejorar su maniobrabilidad, los aviones de combate están diseñados para minimizar los momentos de inercia, mientras que los aviones civiles a menudo no lo están.

El momento de inercia , también conocido como momento de inercia de masa , masa angular/rotacional , segundo momento de masa o, más precisamente, inercia rotacional , de un cuerpo rígido se define en relación con un eje de rotación. Es la relación entre el par aplicado y la aceleración angular resultante sobre ese eje. Desempeña el mismo papel en el movimiento de rotación que la masa en el movimiento lineal. El momento de inercia de un cuerpo sobre un eje particular depende tanto de la masa como de su distribución en relación con el eje, y aumenta con la masa y la distancia desde el eje.

Se trata de una propiedad extensiva (aditiva): para una masa puntual , el momento de inercia es simplemente la masa multiplicada por el cuadrado de la distancia perpendicular al eje de rotación. El momento de inercia de un sistema compuesto rígido es la suma de los momentos de inercia de sus subsistemas componentes (todos tomados en torno al mismo eje). Su definición más simple es el segundo momento de masa con respecto a la distancia desde un eje .

En el caso de los cuerpos que tienen que girar en un plano, lo único que importa es su momento de inercia respecto de un eje perpendicular al plano, un valor escalar . En el caso de los cuerpos que pueden girar libremente en tres dimensiones, sus momentos se pueden describir mediante una matriz simétrica de 3 por 3, con un conjunto de ejes principales mutuamente perpendiculares para los cuales esta matriz es diagonal y los momentos de torsión alrededor de los ejes actúan independientemente entre sí.

En ingeniería mecánica , a menudo se utiliza simplemente "inercia" para referirse a " masa inercial " o "momento de inercia". ^[1]

Introducción

Cuando un cuerpo puede girar libremente alrededor de un eje, se debe aplicar un par para cambiar su momento angular . La cantidad de par necesaria para provocar una aceleración angular determinada (la tasa de cambio de la velocidad angular ) es proporcional al momento de inercia del cuerpo. Los momentos de inercia se pueden expresar en unidades de kilogramo metro cuadrado (kg·m ² ) en unidades del SI y libra-pie-segundo cuadrado (lbf·ft·s ² ) en unidades imperiales o estadounidenses .

El momento de inercia desempeña en la cinética rotacional el mismo papel que la masa (inercia) desempeña en la cinética lineal; ambos caracterizan la resistencia de un cuerpo a los cambios en su movimiento. El momento de inercia depende de cómo se distribuye la masa alrededor de un eje de rotación y variará según el eje elegido. Para una masa puntual, el momento de inercia sobre algún eje viene dado por , donde es la distancia del punto al eje y es la masa. Para un cuerpo rígido extendido, el momento de inercia es simplemente la suma de todas las pequeñas partes de masa multiplicada por el cuadrado de sus distancias al eje en rotación. Para un cuerpo extendido de forma regular y densidad uniforme, esta suma a veces produce una expresión simple que depende de las dimensiones, la forma y la masa total del objeto. ${\displaystyle mr^{2}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle m}$

En 1673, Christiaan Huygens introdujo este parámetro en su estudio de la oscilación de un cuerpo colgado de un pivote, conocido como péndulo compuesto . ^[2] El término momento de inercia ("momentum inertiae" en latín ) fue introducido por Leonhard Euler en su libro Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum en 1765, ^{[2] [3]} y se incorpora a la segunda ley de Euler .

La frecuencia natural de oscilación de un péndulo compuesto se obtiene a partir de la relación entre el par impuesto por la gravedad sobre la masa del péndulo y la resistencia a la aceleración definida por el momento de inercia. La comparación de esta frecuencia natural con la de un péndulo simple formado por un único punto de masa proporciona una formulación matemática para el momento de inercia de un cuerpo extendido. ^{[4] [5]}

El momento de inercia también aparece en el momento , la energía cinética y en las leyes de movimiento de Newton para un cuerpo rígido como un parámetro físico que combina su forma y masa. Hay una diferencia interesante en la forma en que aparece el momento de inercia en el movimiento plano y espacial. El movimiento plano tiene un único escalar que define el momento de inercia, mientras que para el movimiento espacial los mismos cálculos producen una matriz de 3 × 3 de momentos de inercia, llamada matriz de inercia o tensor de inercia. ^{[6] [7]}

El momento de inercia de un volante giratorio se utiliza en una máquina para resistir las variaciones del par aplicado y suavizar su salida rotatoria. El momento de inercia de un avión sobre sus ejes longitudinal, horizontal y vertical determina cómo las fuerzas de dirección sobre las superficies de control de sus alas, elevadores y timones afectan los movimientos del avión en balanceo, cabeceo y guiñada.

Definición

El momento de inercia se define como el producto de la masa de la sección por el cuadrado de la distancia entre el eje de referencia y el centroide de la sección.

Los patinadores artísticos que giran pueden reducir su momento de inercia tirando de sus brazos, lo que les permite girar más rápido debido a la conservación del momento angular .

Vídeo del experimento de la silla giratoria, que ilustra el momento de inercia. Cuando el profesor que gira tira de sus brazos, su momento de inercia disminuye; para conservar el momento angular, su velocidad angular aumenta.

El momento de inercia I también se define como la relación entre el momento angular neto L de un sistema y su velocidad angular ω alrededor de un eje principal, ^{[8] [9]} es decir I = L ω . {\displaystyle I={\frac {L}{\omega }}.}

Si el momento angular de un sistema es constante, entonces, a medida que el momento de inercia se hace más pequeño, la velocidad angular debe aumentar. Esto ocurre cuando los patinadores artísticos que giran contraen sus brazos extendidos o los saltadores encorvan sus cuerpos en una posición encogida durante un salto para girar más rápido. ^{[8] [9] [10] [11] [12] [13] [14]}

Si la forma del cuerpo no cambia, entonces su momento de inercia aparece en la ley de movimiento de Newton como la relación entre un par aplicado τ sobre un cuerpo y la aceleración angular α alrededor de un eje principal, es decir τ = I α . {\displaystyle \tau =I\alpha .}

Para un péndulo simple , esta definición produce una fórmula para el momento de inercia I en términos de la masa m del péndulo y su distancia r desde el punto de pivote como, $${\displaystyle I=mr^{2}.}$$

Así, el momento de inercia del péndulo depende tanto de la masa m de un cuerpo como de su geometría o forma, definida por la distancia r al eje de rotación.

Esta sencilla fórmula se generaliza para definir el momento de inercia de un cuerpo de forma arbitraria como la suma de todas las masas puntuales elementales dm, cada una multiplicada por el cuadrado de su distancia perpendicular r a un eje k . El momento de inercia de un objeto arbitrario depende, por tanto, de la distribución espacial de su masa.

En general, dado un objeto de masa m , se puede definir un radio efectivo k , dependiente de un eje de rotación particular, con un valor tal que su momento de inercia alrededor del eje sea, donde k se conoce como el radio de giro alrededor del eje. $${\displaystyle I=mk^{2},}$$

Ejemplos

Péndulo simple

Matemáticamente, el momento de inercia de un péndulo simple es la relación entre el momento de torsión debido a la gravedad alrededor del pivote del péndulo y su aceleración angular alrededor de ese punto de pivote. Para un péndulo simple, se ha descubierto que este es el producto de la masa de la partícula por el cuadrado de su distancia al pivote, es decir ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle I=mr^{2}.}$$

Esto se puede demostrar de la siguiente manera: La fuerza de gravedad sobre la masa de un péndulo simple genera un torque alrededor del eje perpendicular al plano del movimiento del péndulo. Aquí está el vector de distancia desde el eje de torque hasta el centro de masa del péndulo, y es la fuerza neta sobre la masa. Asociada con este torque hay una aceleración angular , , de la cuerda y la masa alrededor de este eje. Como la masa está restringida a un círculo, la aceleración tangencial de la masa es . Como la ecuación del torque se convierte en: ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} ={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times (m{\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} )\\&=m\left(\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right){\boldsymbol {\alpha }}-\left(\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}\right)\mathbf {r} \right)\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}=I\alpha \mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}}$$

donde es un vector unitario perpendicular al plano del péndulo. (El segundo paso antes del último utiliza la expansión del producto triple vectorial con la perpendicularidad de y ). La cantidad es el momento de inercia de esta única masa alrededor del punto de pivote. ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle I=mr^{2}}$

La cantidad también aparece en el momento angular de un péndulo simple, que se calcula a partir de la velocidad de la masa del péndulo alrededor del pivote, donde es la velocidad angular de la masa alrededor del punto de pivote. Este momento angular se obtiene utilizando una derivación similar a la de la ecuación anterior. ${\displaystyle I=mr^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times \left(m{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \right)\\&=m\left(\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right){\boldsymbol {\omega }}-\left(\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\mathbf {r} \right)\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\omega }}=I\omega \mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}}$$

De manera similar, la energía cinética de la masa del péndulo se define por la velocidad del péndulo alrededor del pivote para ceder. $${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\left(mr^{2}\right)\omega ^{2}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}.}$$

Esto demuestra que la cantidad es la forma en que la masa se combina con la forma de un cuerpo para definir la inercia rotacional. El momento de inercia de un cuerpo de forma arbitraria es la suma de los valores de todos los elementos de masa del cuerpo. ${\displaystyle I=mr^{2}}$ ${\displaystyle mr^{2}}$

Péndulos compuestos

Péndulos utilizados en el aparato gravímetro de Mendenhall , de la revista científica de 1897. El gravímetro portátil desarrollado en 1890 por Thomas C. Mendenhall proporcionó las mediciones relativas más precisas del campo gravitatorio local de la Tierra.

Un péndulo compuesto es un cuerpo formado por un conjunto de partículas de forma continua que gira rígidamente alrededor de un pivote. Su momento de inercia es la suma de los momentos de inercia de cada una de las partículas que lo componen. ^{[15] [16] : 395–396  [17] : 51–53} La frecuencia natural ( ) de un péndulo compuesto depende de su momento de inercia, , donde es la masa del objeto, es la aceleración local de la gravedad y es la distancia desde el punto de pivote hasta el centro de masa del objeto. Medir esta frecuencia de oscilación sobre pequeños desplazamientos angulares proporciona una forma eficaz de medir el momento de inercia de un cuerpo. ^{[18] : 516–517} ${\displaystyle \omega _{\text{n}}}$ ${\displaystyle I_{P}}$ $${\displaystyle \omega _{\text{n}}={\sqrt {\frac {mgr}{I_{P}}}},}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle r}$

Así, para determinar el momento de inercia de un cuerpo, simplemente suspéndalo de un punto de pivote conveniente de modo que oscile libremente en un plano perpendicular a la dirección del momento de inercia deseado, luego mida su frecuencia natural o período de oscilación ( ), para obtener donde es el período (duración) de la oscilación (generalmente promediado durante múltiples períodos). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle I_{P}={\frac {mgr}{\omega _{\text{n}}^{2}}}={\frac {mgrt^{2}}{4\pi ^{2}}},}$$ ${\displaystyle t}$

Centro de oscilación

Un péndulo simple que tiene la misma frecuencia natural que un péndulo compuesto define la longitud desde el pivote hasta un punto llamado centro de oscilación del péndulo compuesto. Este punto también corresponde al centro de percusión . La longitud se determina a partir de la fórmula, o ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle \omega _{\text{n}}={\sqrt {\frac {g}{L}}}={\sqrt {\frac {mgr}{I_{P}}}},}$$ $${\displaystyle L={\frac {g}{\omega _{\text{n}}^{2}}}={\frac {I_{P}}{mr}}.}$$

El péndulo de segundos , que proporciona el "tic-tac" de un reloj de pie, tarda un segundo en oscilar de un lado a otro. Este es un período de dos segundos, o una frecuencia natural de para el péndulo. En este caso, la distancia al centro de oscilación, , se puede calcular como ${\displaystyle \pi \ \mathrm {rad/s} }$ ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle L={\frac {g}{\omega _{\text{n}}^{2}}}\approx {\frac {9.81\ \mathrm {m/s^{2}} }{(3.14\ \mathrm {rad/s} )^{2}}}\approx 0.99\ \mathrm {m} .}$$

Tenga en cuenta que la distancia al centro de oscilación del péndulo de segundos debe ajustarse para acomodar diferentes valores de la aceleración local de la gravedad. El péndulo de Kater es un péndulo compuesto que utiliza esta propiedad para medir la aceleración local de la gravedad y se denomina gravímetro .

Medición del momento de inercia

El momento de inercia de un sistema complejo, como un vehículo o un avión, alrededor de su eje vertical se puede medir suspendiendo el sistema de tres puntos para formar un péndulo trifilar . Un péndulo trifilar es una plataforma sostenida por tres cables diseñados para oscilar en torsión alrededor de su eje centroidal vertical. ^[19] El período de oscilación del péndulo trifilar proporciona el momento de inercia del sistema. ^[20]

Momento de inercia del área

El momento de inercia del área también se conoce como segundo momento del área . Estos cálculos se utilizan comúnmente en ingeniería civil para el diseño estructural de vigas y columnas. Áreas de sección transversal calculadas para el momento vertical del eje x y el momento horizontal del eje y . La altura ( h ) y el ancho ( b ) son medidas lineales, excepto para los círculos, que son efectivamente derivados de la mitad del ancho. ${\displaystyle I_{xx}}$ ${\displaystyle I_{yy}}$
${\displaystyle r}$

Áreas seccionales momento calculado así[21]

1. Cuadrado: ${\displaystyle I_{xx}=I_{yy}={\frac {b^{4}}{12}}}$
2. Rectangular: y; ${\displaystyle I_{xx}={\frac {bh^{3}}{12}}}$ ${\displaystyle I_{yy}={\frac {hb^{3}}{12}}}$
3. Triangular: ${\displaystyle I_{xx}={\frac {bh^{3}}{36}}}$
4. Circular: ${\displaystyle I_{xx}=I_{yy}={\frac {1}{4}}{\pi }r^{4}={\frac {1}{64}}{\pi }d^{4}}$

Movimiento en un plano fijo

Masa puntual

Cuatro objetos con masas y radios idénticos corren por un plano mientras ruedan sin resbalar.

De atrás hacia adelante:

•  cáscara esférica,
•  esfera sólida,
•  anillo cilíndrico, y
•  cilindro sólido.

El tiempo que tarda cada objeto en llegar a la meta depende de su momento de inercia. ( Versión OGV )

El momento de inercia respecto de un eje de un cuerpo se calcula sumando para cada partícula del cuerpo, donde es la distancia perpendicular al eje especificado. Para ver cómo surge el momento de inercia en el estudio del movimiento de un cuerpo extendido, es conveniente considerar un conjunto rígido de masas puntuales. (Esta ecuación se puede utilizar para ejes que no sean ejes principales, siempre que se entienda que esto no describe completamente el momento de inercia. ^[22] ) ${\displaystyle mr^{2}}$ ${\displaystyle r}$

Considere la energía cinética de un conjunto de masas que se encuentran a distancias del punto de pivote , que es el punto más cercano en el eje de rotación. Es la suma de la energía cinética de las masas individuales, ^{[18] : 516–517  [23] : 1084–1085  [23] : 1296–1300} ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle E_{\text{K}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}\,m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}\,m_{i}\left(\omega r_{i}\right)^{2}={\frac {1}{2}}\,\omega ^{2}\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}.}$$

Esto demuestra que el momento de inercia del cuerpo es la suma de cada uno de los términos, es decir ${\displaystyle mr^{2}}$ $${\displaystyle I_{P}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}.}$$

Por lo tanto, el momento de inercia es una propiedad física que combina la masa y la distribución de las partículas alrededor del eje de rotación. Observe que la rotación sobre diferentes ejes del mismo cuerpo produce diferentes momentos de inercia.

El momento de inercia de un cuerpo continuo que gira alrededor de un eje determinado se calcula de la misma manera, excepto que se trata de un número infinito de partículas puntuales. De este modo, se eliminan los límites de la suma y la suma se escribe de la siguiente manera: $${\displaystyle I_{P}=\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}}$$

Otra expresión reemplaza la suma con una integral , $${\displaystyle I_{P}=\iiint _{Q}\rho (x,y,z)\left\|\mathbf {r} \right\|^{2}dV}$$

Aquí, la función da la densidad de masa en cada punto , es un vector perpendicular al eje de rotación y que se extiende desde un punto en el eje de rotación hasta un punto en el sólido, y la integración se evalúa sobre el volumen del cuerpo . El momento de inercia de una superficie plana es similar con la densidad de masa reemplazada por su densidad de masa superficial con la integral evaluada sobre su área. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Q}$

Nota sobre el segundo momento del área : El momento de inercia de un cuerpo que se mueve en un plano y el segundo momento del área de la sección transversal de una viga a menudo se confunden. El momento de inercia de un cuerpo con la forma de la sección transversal es el segundo momento de esta área sobre el eje perpendicular a la sección transversal, ponderado por su densidad. Esto también se llama el momento polar del área y es la suma de los segundos momentos sobre los ejes y . ^[24] Las tensiones en una viga se calculan utilizando el segundo momento del área de la sección transversal alrededor del eje o del eje dependiendo de la carga. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Ejemplos

El momento de inercia de un péndulo compuesto construido a partir de un disco delgado montado en el extremo de una varilla delgada que oscila alrededor de un pivote en el otro extremo de la varilla, comienza con el cálculo del momento de inercia de la varilla delgada y el disco delgado alrededor de sus respectivos centros de masa. ^[23]

• El momento de inercia de una varilla delgada con sección transversal y densidad constantes y con longitud alrededor de un eje perpendicular a través de su centro de masa se determina por integración. ^{[23] : 1301} Alinee el eje con la varilla y ubique el origen de su centro de masa en el centro de la varilla, luego donde es la masa de la varilla. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle I_{C,{\text{rod}}}=\iiint _{Q}\rho \,x^{2}\,dV=\int _{-{\frac {\ell }{2}}}^{\frac {\ell }{2}}\rho \,x^{2}s\,dx=\left.\rho s{\frac {x^{3}}{3}}\right|_{-{\frac {\ell }{2}}}^{\frac {\ell }{2}}={\frac {\rho s}{3}}\left({\frac {\ell ^{3}}{8}}+{\frac {\ell ^{3}}{8}}\right)={\frac {m\ell ^{2}}{12}},}$$ ${\displaystyle m=\rho s\ell }$
• El momento de inercia de un disco delgado de espesor , radio y densidad constantes alrededor de un eje que pasa por su centro y es perpendicular a su cara (paralelo a su eje de simetría rotacional ) se determina por integración. ^{[23] : 1301  [ verificación fallida ]} Alinee el eje con el eje del disco y defina un elemento de volumen como , entonces donde es su masa. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle dV=sr\,dr\,d\theta }$ $${\displaystyle I_{C,{\text{disc}}}=\iiint _{Q}\rho \,r^{2}\,dV=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{R}\rho r^{2}sr\,dr\,d\theta =2\pi \rho s{\frac {R^{4}}{4}}={\frac {1}{2}}mR^{2},}$$ ${\displaystyle m=\pi R^{2}\rho s}$
• El momento de inercia del péndulo compuesto se obtiene ahora sumando el momento de inercia de la varilla y el disco alrededor del punto de pivote , como, donde es la longitud del péndulo. Observe que se utiliza el teorema de los ejes paralelos para desplazar el momento de inercia desde el centro de masas hasta el punto de pivote del péndulo. ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle I_{P}=I_{C,{\text{rod}}}+M_{\text{rod}}\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}+I_{C,{\text{disc}}}+M_{\text{disc}}(L+R)^{2},}$$ ${\displaystyle L}$

Una lista de fórmulas de momentos de inercia para cuerpos con formas estándar permite obtener el momento de inercia de un cuerpo complejo como un conjunto de cuerpos con formas más simples. El teorema de los ejes paralelos se utiliza para desplazar el punto de referencia de los cuerpos individuales al punto de referencia del conjunto.

Como otro ejemplo, consideremos el momento de inercia de una esfera sólida de densidad constante respecto de un eje que pasa por su centro de masas. Este se determina sumando los momentos de inercia de los discos delgados que pueden formar la esfera cuyos centros están a lo largo del eje elegido para su consideración. Si la superficie de la esfera está definida por la ecuación ^{[23] : 1301} $${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},}$$

Entonces el cuadrado del radio del disco en la sección transversal a lo largo del eje es ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle r(z)^{2}=x^{2}+y^{2}=R^{2}-z^{2}.}$$

Por lo tanto, el momento de inercia de la esfera es la suma de los momentos de inercia de los discos a lo largo del eje , donde es la masa de la esfera. ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{C,{\text{sphere}}}&=\int _{-R}^{R}{\tfrac {1}{2}}\pi \rho r(z)^{4}\,dz=\int _{-R}^{R}{\tfrac {1}{2}}\pi \rho \left(R^{2}-z^{2}\right)^{2}\,dz\\[1ex]&={\tfrac {1}{2}}\pi \rho \left[R^{4}z-{\tfrac {2}{3}}R^{2}z^{3}+{\tfrac {1}{5}}z^{5}\right]_{-R}^{R}\\[1ex]&=\pi \rho \left(1-{\tfrac {2}{3}}+{\tfrac {1}{5}}\right)R^{5}\\[1ex]&={\tfrac {2}{5}}mR^{2},\end{aligned}}}$$ ${\textstyle m={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho }$

Cuerpo rígido

Los cilindros con mayor momento de inercia ruedan por una pendiente con una aceleración menor, ya que una mayor parte de su energía potencial necesita convertirse en energía cinética rotacional.

Si un sistema mecánico está obligado a moverse en paralelo a un plano fijo, entonces la rotación de un cuerpo en el sistema ocurre alrededor de un eje paralelo a este plano. En este caso, el momento de inercia de la masa en este sistema es un escalar conocido como momento de inercia polar . La definición del momento de inercia polar se puede obtener considerando el momento, la energía cinética y las leyes de Newton para el movimiento plano de un sistema rígido de partículas. ^{[15] [18] [25] [26]} ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$

Si un sistema de partículas, , se ensamblan en un cuerpo rígido, entonces el momento del sistema se puede escribir en términos de posiciones relativas a un punto de referencia , y velocidades absolutas : donde es la velocidad angular del sistema y es la velocidad de . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \mathbf {r} _{i}&=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ,\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\mathbf {V} ={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} ,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {V} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

Para el movimiento plano, el vector de velocidad angular se dirige a lo largo del vector unitario que es perpendicular al plano de movimiento. Introduzca los vectores unitarios desde el punto de referencia hasta un punto , y el vector unitario , de modo que ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {e}} _{i}&={\frac {\Delta \mathbf {r} _{i}}{\Delta r_{i}}},\quad \mathbf {\hat {k}} ={\frac {\boldsymbol {\omega }}{\omega }},\quad \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i},\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} =\omega \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {V} =\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \end{aligned}}}$$

Esto define el vector de posición relativa y el vector de velocidad para el sistema rígido de las partículas que se mueven en un plano.

Nota sobre el producto vectorial : cuando un cuerpo se mueve en paralelo a un plano de tierra, las trayectorias de todos los puntos del cuerpo se encuentran en planos paralelos a este plano de tierra. Esto significa que cualquier rotación que experimente el cuerpo debe ser alrededor de un eje perpendicular a este plano. El movimiento plano a menudo se presenta como proyectado sobre este plano de tierra, de modo que el eje de rotación aparece como un punto. En este caso, la velocidad angular y la aceleración angular del cuerpo son escalares y se ignora el hecho de que sean vectores a lo largo del eje de rotación. Esto suele preferirse para las introducciones al tema. Pero en el caso del momento de inercia, la combinación de masa y geometría se beneficia de las propiedades geométricas del producto vectorial. Por esta razón, en esta sección sobre el movimiento plano, la velocidad angular y las aceleraciones del cuerpo son vectores perpendiculares al plano de tierra, y las operaciones del producto vectorial son las mismas que se utilizan para el estudio del movimiento espacial de cuerpos rígidos.

Momento angular

El vector de momento angular para el movimiento plano de un sistema rígido de partículas está dado por ^{[15] [18]} $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right)\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\right)\omega \mathbf {\hat {k}} +\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\right)\times \mathbf {V} .\end{aligned}}}$$

Utilice el centro de masa como punto de referencia para ${\displaystyle \mathbf {C} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}&=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ,\\\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}&=0,\end{aligned}}}$$

y definir el momento de inercia relativo al centro de masa como ${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$ $${\displaystyle I_{\mathbf {C} }=\sum _{i}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2},}$$

Entonces la ecuación para el momento angular se simplifica a ^{[23] : 1028} $${\displaystyle \mathbf {L} =I_{\mathbf {C} }\omega \mathbf {\hat {k}} .}$$

El momento de inercia respecto de un eje perpendicular al movimiento del sistema rígido y que pasa por el centro de masas se conoce como momento de inercia polar . En concreto, es el segundo momento de masa con respecto a la distancia ortogonal a un eje (o polo). ${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$

Para una cantidad dada de momento angular, una disminución en el momento de inercia resulta en un aumento en la velocidad angular. Los patinadores artísticos pueden cambiar su momento de inercia al contraer los brazos. Por lo tanto, la velocidad angular alcanzada por un patinador con los brazos extendidos resulta en una mayor velocidad angular cuando los brazos están contraidos, debido al momento de inercia reducido. Sin embargo, un patinador artístico no es un cuerpo rígido.

Energía cinética

Esta cizalla rotatoria de 1906 utiliza el momento de inercia de dos volantes para almacenar energía cinética que, cuando se libera, se utiliza para cortar metal (Biblioteca Internacional de Tecnología, 1906).

La energía cinética de un sistema rígido de partículas que se mueven en el plano está dada por ^{[15] [18]} $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{K}}&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i},\\&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right)\cdot \left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right),\\&={\frac {1}{2}}\omega ^{2}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\mathbf {\hat {t}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {t}} _{i}\right)+\omega \mathbf {V} \cdot \left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} .\end{aligned}}}$$

Sea el punto de referencia el centro de masa del sistema para que el segundo término sea cero, e introduzca el momento de inercia para que la energía cinética esté dada por ^{[23] : 1084} ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$ $${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}I_{\mathbf {C} }\omega ^{2}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} .}$$

El momento de inercia es el momento polar de inercia del cuerpo. ${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$

Leyes de Newton

Un tractor John Deere de los años 20 con un volante de inercia de radios en el motor. El gran momento de inercia del volante suaviza el funcionamiento del tractor.

Las leyes de Newton para un sistema rígido de partículas, , se pueden escribir en términos de una fuerza y ​​un torque resultantes en un punto de referencia , para producir ^{[15] [18]} donde denota la trayectoria de cada partícula. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {A} _{i},\\{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}\Delta \mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {A} _{i},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$

La cinemática de un cuerpo rígido produce la fórmula para la aceleración de la partícula en términos de la posición y aceleración de la partícula de referencia, así como el vector de velocidad angular y el vector de aceleración angular del sistema rígido de partículas como, ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ $${\displaystyle \mathbf {A} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {A} .}$$

Para sistemas que están limitados a un movimiento plano, los vectores de velocidad angular y aceleración angular se dirigen perpendicularmente al plano de movimiento, lo que simplifica esta ecuación de aceleración. En este caso, los vectores de aceleración se pueden simplificar introduciendo los vectores unitarios desde el punto de referencia hasta un punto y los vectores unitarios , de modo que ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} _{i}&=\alpha \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}-\omega \mathbf {\hat {k}} \times \omega \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} \\&=\alpha \Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}-\omega ^{2}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} .\end{aligned}}}$$

Esto produce el par resultante en el sistema como $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \left(\alpha \Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}-\omega ^{2}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} \right)\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\right)\alpha \mathbf {\hat {k}} +\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\right)\times \mathbf {A} ,\end{aligned}}}$$

donde , y es el vector unitario perpendicular al plano para todas las partículas . ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\times \mathbf {\hat {e}} _{i}=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\times \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} }$ ${\displaystyle P_{i}}$

Utilice el centro de masa como punto de referencia y defina el momento de inercia relativo al centro de masa , luego la ecuación para el torque resultante se simplifica a ^{[23] : 1029} ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=I_{\mathbf {C} }\alpha \mathbf {\hat {k}} .}$$

Movimiento en el espacio de un cuerpo rígido y la matriz de inercia

Los momentos de inercia escalares aparecen como elementos en una matriz cuando un sistema de partículas se ensambla en un cuerpo rígido que se mueve en el espacio tridimensional. Esta matriz de inercia aparece en el cálculo del momento angular, la energía cinética y el par resultante del sistema rígido de partículas. ^{[4] [5] [6] [7] [27]}

Sea el sistema de partículas, ubicado en las coordenadas con velocidades relativas a un sistema de referencia fijo. Para un punto de referencia (posiblemente móvil) , las posiciones relativas son y las velocidades (absolutas) son donde es la velocidad angular del sistema, y ​​es la velocidad de . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ $${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} }$$ $${\displaystyle \mathbf {v} _{i}={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {R} }}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {V_{R}} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

Momento angular

Nótese que el producto vectorial se puede escribir de manera equivalente como una multiplicación de matrices combinando el primer operando y el operador en una matriz antisimétrica, , construida a partir de los componentes de : ${\displaystyle \left[\mathbf {b} \right]}$ ${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{x},b_{y},b_{z})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} \times \mathbf {y} &\equiv \left[\mathbf {b} \right]\mathbf {y} \\\left[\mathbf {b} \right]&\equiv {\begin{bmatrix}0&-b_{z}&b_{y}\\b_{z}&0&-b_{x}\\-b_{y}&b_{x}&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

La matriz de inercia se construye considerando el momento angular, con el punto de referencia del cuerpo elegido como el centro de masa : ^{[4] [7]} donde los términos que contienen ( ) suman cero por la definición de centro de masa . ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {R} }\right)\\&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left(\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {V} _{\mathbf {R} }\right),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {V_{R}} }$ ${\displaystyle =\mathbf {C} }$

Luego, la matriz antisimétrica obtenida a partir del vector de posición relativa , se puede utilizar para definir, donde definido por es la matriz de inercia simétrica del sistema rígido de partículas medida en relación con el centro de masa . ${\displaystyle [\Delta \mathbf {r} _{i}]}$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} }$ $${\displaystyle \mathbf {L} =\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }},}$$ ${\displaystyle \mathbf {I_{C}} }$ $${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2},}$$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Energía cinética

La energía cinética de un sistema rígido de partículas se puede formular en términos del centro de masas y una matriz de momentos de inercia de masas del sistema. Sea el sistema de partículas ubicado en las coordenadas con velocidades , entonces la energía cinética es ^{[4] [7]} donde es el vector de posición de una partícula con respecto al centro de masas. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ $${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right),}$$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} }$

Esta ecuación se expande para producir tres términos $${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right).}$$

Dado que el centro de masas está definido por , el segundo término de esta ecuación es cero. Introduzca la matriz antisimétrica para que la energía cinética sea ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}=0}$ ${\displaystyle [\Delta \mathbf {r} _{i}]}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{K}}&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\cdot \left(\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\\&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}^{\mathsf {T}}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{\mathsf {T}}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\\&={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }.\end{aligned}}}$$

Así, la energía cinética del sistema rígido de partículas viene dada por donde es la matriz de inercia relativa al centro de masa y es la masa total. $${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} _{\mathbf {C} }^{2}.}$$ ${\displaystyle \mathbf {I_{C}} }$ ${\displaystyle M}$

Par resultante

La matriz de inercia aparece en la aplicación de la segunda ley de Newton a un conjunto rígido de partículas. El par resultante en este sistema es, ^{[4] [7]} donde es la aceleración de la partícula . La cinemática de un cuerpo rígido produce la fórmula para la aceleración de la partícula en términos de la posición y aceleración del punto de referencia, así como el vector de velocidad angular y el vector de aceleración angular del sistema rígido como, $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {r_{i}} -\mathbf {R} \right)\times m_{i}\mathbf {a} _{i},}$$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {R} }}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ $${\displaystyle \mathbf {a} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+{\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\right)+\mathbf {A} _{\mathbf {R} }.}$$

Utilice el centro de masa como punto de referencia e introduzca la matriz antisimétrica para representar el producto vectorial , para obtener ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]=\left[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} \right]}$ ${\displaystyle (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} )\times }$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}}$$

El cálculo utiliza la identidad obtenida a partir de la identidad de Jacobi para el producto cruzado triple como se muestra en la prueba a continuación: $${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)=0,}$$

Prueba

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {r_{i}} -\mathbf {R} )\times (m_{i}\mathbf {a} _{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}\Delta \mathbf {r} _{i}\times (m_{i}\mathbf {a} _{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{i}]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\mathbf {a} _{{\text{tangential}},i}+\mathbf {a} _{{\text{centripetal}},i}+\mathbf {A} _{\mathbf {R} })]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\mathbf {a} _{{\text{tangential}},i}+\mathbf {a} _{{\text{centripetal}},i}+0)]\\\end{aligned}}}$$En el último enunciado, porque está en reposo o se mueve a velocidad constante pero no acelerada, o el origen del sistema de referencia de coordenadas fijo (mundial) se coloca en el centro de masas . Y distribuyendo el producto vectorial sobre la suma, obtenemos ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {R} }=0}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{{\text{tangential}},i}+\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{{\text{centripetal}},i}]\\{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{{\text{tangential}},i})]\\{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))]\end{aligned}}}$$

Luego, se utiliza la siguiente identidad de Jacobi en el último término: $${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})+({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\\&=\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})+({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times -({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\;\ldots {\text{ cross-product anticommutativity}}\\&=\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})+-[({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})+-[0]\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\0&=\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})\end{aligned}}}$$

El resultado de aplicar la identidad de Jacobi puede entonces continuar de la siguiente manera: $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))&=-[{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})]\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))]\;\ldots {\text{ vector triple product}}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}))]\;\ldots {\text{ scalar triple product}}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot (0))]\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})]\\&=-[{\boldsymbol {\omega }}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i}))]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&={\boldsymbol {\omega }}\times -(\Delta \mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i}))\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))&={\boldsymbol {\omega }}\times -(\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}))\;\ldots {\text{ dot-product commutativity}}\\\end{aligned}}}$$

El resultado final puede entonces sustituirse en la prueba principal de la siguiente manera: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times -(\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}))]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{0-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{[{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})]-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots \;{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})=0\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{[{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})]-{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})\}]\;\ldots {\text{ addition associativity}}\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})]\;\ldots {\text{ cross-product distributivity over addition}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }})]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})(0)]\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\}]\;\ldots {\text{ vector triple product}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times -(\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{\Delta \mathbf {r} _{i}\times -(\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ cross-product anticommutativity}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\omega }}\times \{\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ summation distributivity}}\\{\boldsymbol {\tau }}&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+{\boldsymbol {\omega }}\times -\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})]\;\ldots \;{\boldsymbol {\omega }}{\text{ is not characteristic of particle }}P_{i}\end{aligned}}}$$

Tenga en cuenta que para cualquier vector , se cumple lo siguiente: ${\displaystyle \mathbf {u} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {u} )]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}\right)\right)\;\ldots {\text{ cross-product as matrix multiplication}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3}\\-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2}\end{bmatrix}}\right)\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}(+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3})+\Delta r_{2,i}(-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2})\\+\Delta r_{3,i}(-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3})-\Delta r_{1,i}(-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2})\\-\Delta r_{2,i}(-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3})+\Delta r_{1,i}(+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3})\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}^{2}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}-\Delta r_{2,i}^{2}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}\\-\Delta r_{3,i}^{2}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}^{2}\,u_{2}\\+\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}-\Delta r_{2,i}^{2}\,u_{3}+\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}^{2}\,u_{3}\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-(\Delta r_{2,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}+\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{2,i}^{2})\,u_{3}\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-(\Delta r_{2,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})&\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\\\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}&-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})&\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\\\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}&\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}&-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{2,i}^{2})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\mathbf {u} \\[6pt]-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {u} )]&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right)\mathbf {u} \;\ldots \;\mathbf {u} {\text{ is not characteristic of }}P_{i}\end{aligned}}}$$

Finalmente, el resultado se utiliza para completar la prueba principal de la siguiente manera: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+{\boldsymbol {\omega }}\times -\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})]\\&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right){\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, el par resultante en el sistema rígido de partículas viene dado por donde es la matriz de inercia relativa al centro de masa. $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }},}$$ ${\displaystyle \mathbf {I_{C}} }$

Teorema de los ejes paralelos

La matriz de inercia de un cuerpo depende de la elección del punto de referencia. Existe una relación útil entre la matriz de inercia relativa al centro de masas y la matriz de inercia relativa a otro punto . Esta relación se denomina teorema de los ejes paralelos. ^{[4] [7]} ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

Considérese la matriz de inercia obtenida para un sistema rígido de partículas medidas con respecto a un punto de referencia , dada por ${\displaystyle \mathbf {I_{R}} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ $${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right]^{2}.}$$

Sea el centro de masa del sistema rígido, entonces donde es el vector desde el centro de masa hasta el punto de referencia . Utilice esta ecuación para calcular la matriz de inercia, ${\displaystyle \mathbf {C} }$ $${\displaystyle \mathbf {R} =(\mathbf {R} -\mathbf {C} )+\mathbf {C} =\mathbf {d} +\mathbf {C} ,}$$ ${\displaystyle \mathbf {d} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ $${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\left(\mathbf {C} +\mathbf {d} \right)]^{2}=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} \right)-\mathbf {d} ]^{2}.}$$

Distribuir sobre el producto vectorial para obtener $${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]^{2}\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]\right)[\mathbf {d} ]+[\mathbf {d} ]\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)[\mathbf {d} ]^{2}.}$$

El primer término es la matriz de inercia relativa al centro de masas. El segundo y tercer término son cero por definición del centro de masas . Y el último término es la masa total del sistema multiplicada por el cuadrado de la matriz antisimétrica construida a partir de . ${\displaystyle \mathbf {I_{C}} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle [\mathbf {d} ]}$ ${\displaystyle \mathbf {d} }$

El resultado es el teorema del eje paralelo, donde es el vector desde el centro de masa hasta el punto de referencia . $${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {R} }=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }-M[\mathbf {d} ]^{2},}$$ ${\displaystyle \mathbf {d} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

Nota sobre el signo menos : Al utilizar la matriz simétrica oblicua de vectores de posición con respecto al punto de referencia, la matriz de inercia de cada partícula tiene la forma , que es similar a la que aparece en el movimiento plano. Sin embargo, para que esto funcione correctamente se necesita un signo menos. Este signo menos se puede absorber en el término , si se desea, utilizando la propiedad de simetría oblicua de . ${\displaystyle -m\left[\mathbf {r} \right]^{2}}$ ${\displaystyle mr^{2}}$ ${\displaystyle m\left[\mathbf {r} \right]^{\mathsf {T}}\left[\mathbf {r} \right]}$ ${\displaystyle [\mathbf {r} ]}$

Momento escalar de inercia en un plano

El momento de inercia escalar, , de un cuerpo alrededor de un eje especificado cuya dirección está especificada por el vector unitario y pasa a través del cuerpo en un punto es el siguiente: ^[7] donde es la matriz del momento de inercia del sistema relativo al punto de referencia , y es la matriz antisimétrica obtenida a partir del vector . ${\displaystyle I_{L}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ $${\displaystyle I_{L}=\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right)\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} ,}$$ ${\displaystyle \mathbf {I_{R}} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle [\Delta \mathbf {r} _{i}]}$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} }$

Esto se deriva de la siguiente manera. Sea un conjunto rígido de partículas, , con coordenadas . Elija como punto de referencia y calcule el momento de inercia alrededor de una línea L definida por el vector unitario que pasa por el punto de referencia , . El vector perpendicular desde esta línea hasta la partícula se obtiene de eliminando el componente que se proyecta sobre . donde es la matriz identidad, para evitar confusiones con la matriz de inercia, y es la matriz del producto externo formada a partir del vector unitario a lo largo de la línea . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} (t)=\mathbf {R} +t\mathbf {\hat {k}} }$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$ $${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }=\Delta \mathbf {r} _{i}-\left(\mathbf {\hat {k}} \cdot \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\mathbf {\hat {k}} =\left(\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\right)\Delta \mathbf {r} _{i},}$$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$ ${\displaystyle L}$

Para relacionar este momento de inercia escalar con la matriz de inercia del cuerpo, introduzca la matriz antisimétrica tal que , entonces tenemos la identidad notando que es un vector unitario. ${\displaystyle \left[\mathbf {\hat {k}} \right]}$ ${\displaystyle \left[\mathbf {\hat {k}} \right]\mathbf {y} =\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {y} }$ $${\displaystyle -\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\equiv \left|\mathbf {\hat {k}} \right|^{2}\left(\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\right)=\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}},}$$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$

La magnitud al cuadrado del vector perpendicular es $${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }\right|^{2}&=\left(-\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left(-\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\Delta \mathbf {r} _{i}\right)\\&=\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\end{aligned}}}$$

La simplificación de esta ecuación utiliza la identidad del producto escalar triple, donde se han intercambiado los productos punto y cruz. Intercambiando los productos y simplificando teniendo en cuenta que y son ortogonales: $${\displaystyle \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\equiv \left(\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\times \mathbf {\hat {k}} \right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right),}$$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\\={}&\left(\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\times \mathbf {\hat {k}} \right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\\={}&\left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left(-\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {\hat {k}} \right)\\={}&-\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(\Delta \mathbf {r} _{i}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {\hat {k}} \right)\\={}&-\mathbf {\hat {k}} \cdot \left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\mathbf {\hat {k}} .\end{aligned}}}$$

De esta forma, el momento de inercia alrededor de la línea que pasa en la dirección se obtiene a partir del cálculo donde es la matriz de momentos de inercia del sistema con respecto al punto de referencia . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{L}&=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left|\Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }\right|^{2}\\&=-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {\hat {k}} \cdot \left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right)\mathbf {\hat {k}} \\&=\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {I_{R}} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

Esto demuestra que la matriz de inercia se puede utilizar para calcular el momento de inercia de un cuerpo alrededor de cualquier eje de rotación especificado en el cuerpo.

Tensor de inercia

Para un mismo objeto, los diferentes ejes de rotación tendrán diferentes momentos de inercia respecto de esos ejes. En general, los momentos de inercia no son iguales a menos que el objeto sea simétrico respecto de todos los ejes. El tensor de momentos de inercia es una forma conveniente de resumir todos los momentos de inercia de un objeto con una sola cantidad. Se puede calcular con respecto a cualquier punto del espacio, aunque para fines prácticos se utiliza más comúnmente el centro de masas.

Definición

Para un objeto rígido de masas puntuales , el tensor del momento de inercia viene dado por ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m_{k}}$ $${\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\I_{21}&I_{22}&I_{23}\\I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{bmatrix}}.}$$

Sus componentes se definen como $${\displaystyle I_{ij}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(\left\|\mathbf {r} _{k}\right\|^{2}\delta _{ij}-x_{i}^{(k)}x_{j}^{(k)}\right)}$$

dónde

• ${\displaystyle i}$, es igual a 1, 2 o 3 para , , y , respectivamente, ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \mathbf {r} _{k}=\left(x_{1}^{(k)},x_{2}^{(k)},x_{3}^{(k)}\right)}$ is the vector to the point mass ${\displaystyle m_{k}}$ from the point about which the tensor is calculated and
• ${\displaystyle \delta _{ij}}$ is the Kronecker delta.

Note that, by the definition, ${\displaystyle \mathbf {I} }$ is a symmetric tensor.

The diagonal elements are more succinctly written as $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{xx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{yy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{zz}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right),\end{aligned}}}$$

while the off-diagonal elements, also called the products of inertia, are $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{xy}=I_{yx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k},\\I_{xz}=I_{zx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k},\\I_{yz}=I_{zy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}.\end{aligned}}}$$

Here ${\displaystyle I_{xx}}$ denotes the moment of inertia around the ${\displaystyle x}$-axis when the objects are rotated around the x-axis, ${\displaystyle I_{xy}}$ denotes the moment of inertia around the ${\displaystyle y}$-axis when the objects are rotated around the ${\displaystyle x}$-axis, and so on.

These quantities can be generalized to an object with distributed mass, described by a mass density function, in a similar fashion to the scalar moment of inertia. One then has $${\displaystyle \mathbf {I} =\iiint _{V}\rho (x,y,z)\left(\|\mathbf {r} \|^{2}\mathbf {E} _{3}-\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} \right)\,dx\,dy\,dz,}$$

where ${\displaystyle \mathbf {r} \otimes \mathbf {r} }$ is their outer product, E₃ is the 3×3 identity matrix, and V is a region of space completely containing the object.

Alternatively it can also be written in terms of the angular momentum operator ${\displaystyle [\mathbf {r} ]\mathbf {x} =\mathbf {r} \times \mathbf {x} }$: $${\displaystyle \mathbf {I} =\iiint _{V}\rho (\mathbf {r} )[\mathbf {r} ]^{\textsf {T}}[\mathbf {r} ]\,dV=-\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )[\mathbf {r} ]^{2}\,dV}$$

The inertia tensor can be used in the same way as the inertia matrix to compute the scalar moment of inertia about an arbitrary axis in the direction ${\displaystyle \mathbf {n} }$, $${\displaystyle I_{n}=\mathbf {n} \cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {n} ,}$$

where the dot product is taken with the corresponding elements in the component tensors. A product of inertia term such as ${\displaystyle I_{12}}$ is obtained by the computation $${\displaystyle I_{12}=\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {e} _{2},}$$and can be interpreted as the moment of inertia around the ${\displaystyle x}$-axis when the object rotates around the ${\displaystyle y}$-axis.

The components of tensors of degree two can be assembled into a matrix. For the inertia tensor this matrix is given by, $${\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\[1.8ex]I_{21}&I_{22}&I_{23}\\[1.8ex]I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\[1.8ex]I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\[1.8ex]I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k}&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k}\\[1ex]-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k}&\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}\\[1ex]-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k}&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}&\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)\end{bmatrix}}.}$$

It is common in rigid body mechanics to use notation that explicitly identifies the ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, and ${\displaystyle z}$-axes, such as ${\displaystyle I_{xx}}$ and ${\displaystyle I_{xy}}$, for the components of the inertia tensor.

Alternate inertia convention

There are some CAD and CAE applications such as SolidWorks, Unigraphics NX/Siemens NX and MSC Adams that use an alternate convention for the products of inertia. According to this convention, the minus sign is removed from the product of inertia formulas and instead inserted in the inertia matrix: $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{xy}=I_{yx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k},\\I_{xz}=I_{zx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k},\\I_{yz}=I_{zy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k},\\[3pt]\mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\[1.8ex]I_{21}&I_{22}&I_{23}\\[1.8ex]I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}I_{xx}&-I_{xy}&-I_{xz}\\[1.8ex]-I_{yx}&I_{yy}&-I_{yz}\\[1.8ex]-I_{zx}&-I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k}&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k}\\[1ex]-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k}&\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}\\[1ex]-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k}&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}&\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

Determine inertia convention (Principal axes method)

If one has the inertia data ${\displaystyle (I_{xx},I_{yy},I_{zz},I_{xy},I_{xz},I_{yz})}$ without knowing which inertia convention that has been used, it can be determined if one also has the principal axes. With the principal axes method, one makes inertia matrices from the following two assumptions:

1. The standard inertia convention has been used ${\displaystyle (I_{12}=I_{xy},I_{13}=I_{xz},I_{23}=I_{yz})}$.
2. The alternate inertia convention has been used ${\displaystyle (I_{12}=-I_{xy},I_{13}=-I_{xz},I_{23}=-I_{yz})}$.

Next, one calculates the eigenvectors for the two matrices. The matrix whose eigenvectors are parallel to the principal axes corresponds to the inertia convention that has been used.

Derivation of the tensor components

The distance ${\displaystyle r}$ of a particle at ${\displaystyle \mathbf {x} }$ from the axis of rotation passing through the origin in the ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ direction is ${\displaystyle \left|\mathbf {x} -\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} \right|}$, where ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ is unit vector. The moment of inertia on the axis is $${\displaystyle I=mr^{2}=m\left(\mathbf {x} -\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} \right)\cdot \left(\mathbf {x} -\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} \right)=m\left(\mathbf {x} ^{2}-2\mathbf {x} \left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} +\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)^{2}\mathbf {\hat {n}} ^{2}\right)=m\left(\mathbf {x} ^{2}-\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)^{2}\right).}$$

Rewrite the equation using matrix transpose:

$${\displaystyle I=m\left(\mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} -\mathbf {\hat {n}} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} \mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {\hat {n}} \right)=m\cdot \mathbf {\hat {n}} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} \cdot \mathbf {E_{3}} -\mathbf {x} \mathbf {x} ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {\hat {n}} ,}$$

where E₃ is the 3×3 identity matrix.

This leads to a tensor formula for the moment of inertia

$${\displaystyle I=m{\begin{bmatrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\[0.5ex]-yx&x^{2}+z^{2}&-yz\\[0.5ex]-zx&-zy&x^{2}+y^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}n_{1}\\[0.7ex]n_{2}\\[0.7ex]n_{3}\end{bmatrix}}.}$$

For multiple particles, we need only recall that the moment of inertia is additive in order to see that this formula is correct.

Inertia tensor of translation

Let ${\displaystyle \mathbf {I} _{0}}$ be the inertia tensor of a body calculated at its center of mass, and ${\displaystyle \mathbf {R} }$ be the displacement vector of the body. The inertia tensor of the translated body respect to its original center of mass is given by: $${\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {I} _{0}+m[(\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} )\mathbf {E} _{3}-\mathbf {R} \otimes \mathbf {R} ]}$$where ${\displaystyle m}$ is the body's mass, E₃ is the 3 × 3 identity matrix, and ${\displaystyle \otimes }$ is the outer product.

Inertia tensor of rotation

Let ${\displaystyle \mathbf {R} }$ be the matrix that represents a body's rotation. The inertia tensor of the rotated body is given by:^[28] $${\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {R} \mathbf {I_{0}} \mathbf {R} ^{\textsf {T}}}$$

Inertia matrix in different reference frames

The use of the inertia matrix in Newton's second law assumes its components are computed relative to axes parallel to the inertial frame and not relative to a body-fixed reference frame.^[7][25] This means that as the body moves the components of the inertia matrix change with time. In contrast, the components of the inertia matrix measured in a body-fixed frame are constant.

Body frame

Let the body frame inertia matrix relative to the center of mass be denoted ${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}}$, and define the orientation of the body frame relative to the inertial frame by the rotation matrix ${\displaystyle \mathbf {A} }$, such that, $${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {A} \mathbf {y} ,}$$where vectors ${\displaystyle \mathbf {y} }$ in the body fixed coordinate frame have coordinates ${\displaystyle \mathbf {x} }$ in the inertial frame. Then, the inertia matrix of the body measured in the inertial frame is given by $${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }=\mathbf {A} \mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}.}$$

Notice that ${\displaystyle \mathbf {A} }$ changes as the body moves, while ${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}}$ remains constant.

Principal axes

Measured in the body frame, the inertia matrix is a constant real symmetric matrix. A real symmetric matrix has the eigendecomposition into the product of a rotation matrix ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ and a diagonal matrix ${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}}$, given by $${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}=\mathbf {Q} {\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {Q} ^{\mathsf {T}},}$$where $${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}={\begin{bmatrix}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{3}\end{bmatrix}}.}$$

The columns of the rotation matrix ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ define the directions of the principal axes of the body, and the constants ${\displaystyle I_{1}}$, ${\displaystyle I_{2}}$, and ${\displaystyle I_{3}}$ are called the principal moments of inertia. This result was first shown by J. J. Sylvester (1852), and is a form of Sylvester's law of inertia.^[29][30] The principal axis with the highest moment of inertia is sometimes called the figure axis or axis of figure.

A toy top is an example of a rotating rigid body, and the word top is used in the names of types of rigid bodies. When all principal moments of inertia are distinct, the principal axes through center of mass are uniquely specified and the rigid body is called an asymmetric top. If two principal moments are the same, the rigid body is called a symmetric top and there is no unique choice for the two corresponding principal axes. If all three principal moments are the same, the rigid body is called a spherical top (although it need not be spherical) and any axis can be considered a principal axis, meaning that the moment of inertia is the same about any axis.

The principal axes are often aligned with the object's symmetry axes. If a rigid body has an axis of symmetry of order ${\displaystyle m}$, meaning it is symmetrical under rotations of 360°/m about the given axis, that axis is a principal axis. When ${\displaystyle m>2}$, the rigid body is a symmetric top. If a rigid body has at least two symmetry axes that are not parallel or perpendicular to each other, it is a spherical top, for example, a cube or any other Platonic solid.

The motion of vehicles is often described in terms of yaw, pitch, and roll which usually correspond approximately to rotations about the three principal axes. If the vehicle has bilateral symmetry then one of the principal axes will correspond exactly to the transverse (pitch) axis.

A practical example of this mathematical phenomenon is the routine automotive task of balancing a tire, which basically means adjusting the distribution of mass of a car wheel such that its principal axis of inertia is aligned with the axle so the wheel does not wobble.

Rotating molecules are also classified as asymmetric, symmetric, or spherical tops, and the structure of their rotational spectra is different for each type.

Ellipsoid

An ellipsoid with the semi-principal diameters labelled ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, and ${\displaystyle c}$.

The moment of inertia matrix in body-frame coordinates is a quadratic form that defines a surface in the body called Poinsot's ellipsoid.^[31] Let ${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}}$ be the inertia matrix relative to the center of mass aligned with the principal axes, then the surface $${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} =1,}$$or $${\displaystyle I_{1}x^{2}+I_{2}y^{2}+I_{3}z^{2}=1,}$$defines an ellipsoid in the body frame. Write this equation in the form, $${\displaystyle \left({\frac {x}{1/{\sqrt {I_{1}}}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{1/{\sqrt {I_{2}}}}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{1/{\sqrt {I_{3}}}}}\right)^{2}=1,}$$to see that the semi-principal diameters of this ellipsoid are given by $${\displaystyle a={\frac {1}{\sqrt {I_{1}}}},\quad b={\frac {1}{\sqrt {I_{2}}}},\quad c={\frac {1}{\sqrt {I_{3}}}}.}$$

Let a point ${\displaystyle \mathbf {x} }$ on this ellipsoid be defined in terms of its magnitude and direction, ${\displaystyle \mathbf {x} =\|\mathbf {x} \|\mathbf {n} }$, where ${\displaystyle \mathbf {n} }$ is a unit vector. Then the relationship presented above, between the inertia matrix and the scalar moment of inertia ${\displaystyle I_{\mathbf {n} }}$ around an axis in the direction ${\displaystyle \mathbf {n} }$, yields $${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} =\|\mathbf {x} \|^{2}\mathbf {n} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {n} =\|\mathbf {x} \|^{2}I_{\mathbf {n} }=1.}$$

Thus, the magnitude of a point ${\displaystyle \mathbf {x} }$ in the direction ${\displaystyle \mathbf {n} }$ on the inertia ellipsoid is $${\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\frac {1}{\sqrt {I_{\mathbf {n} }}}}.}$$

See also

• Central moment
• List of moments of inertia
• Planar lamina
• Rotational energy
• Moment of inertia factor

References

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External links

• Angular momentum and rigid-body rotation in two and three dimensions
• Lecture notes on rigid-body rotation and moments of inertia
• The moment of inertia tensor
• An introductory lesson on moment of inertia: keeping a vertical pole not falling down (Java simulation)
• Tutorial on finding moments of inertia, with problems and solutions on various basic shapes
• Notes on mechanics of manipulation: the angular inertia tensor

• Calculadora de momento de inercia gratuita y fácil de usar en línea