Teorema de los ejes paralelos

Teorema de dinámica plana

El teorema de los ejes paralelos , también conocido como teorema de Huygens-Steiner , o simplemente como teorema de Steiner , ^[1] llamado así en honor a Christiaan Huygens y Jakob Steiner , puede usarse para determinar el momento de inercia o el segundo momento de área de un cuerpo rígido con respecto a cualquier eje, dado el momento de inercia del cuerpo alrededor de un eje paralelo que pasa por el centro de gravedad del objeto y la distancia perpendicular entre los ejes.

Momento de inercia de masa

El momento de inercia de la masa de un cuerpo alrededor de un eje se puede determinar a partir del momento de inercia de la masa alrededor de un eje paralelo que pasa por el centro de masa.

Supongamos que un cuerpo de masa m gira alrededor de un eje z que pasa por el centro de masa del cuerpo . El cuerpo tiene un momento de inercia de I _cm con respecto a este eje. El teorema de los ejes paralelos establece que si se hace girar el cuerpo alrededor de un nuevo eje z′ , que es paralelo al primer eje y desplazado de él una distancia d , entonces el momento de inercia I con respecto al nuevo eje es relacionado con I _cm por

${\displaystyle I=I_{\mathrm {cm} }+md^{2}.}$

Explícitamente, d es la distancia perpendicular entre los ejes z y z′ .

El teorema del eje paralelo se puede aplicar con la regla de estiramiento y el teorema del eje perpendicular para encontrar momentos de inercia para una variedad de formas.

Regla de los ejes paralelos para el momento de inercia del área

Derivación

Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que en un sistema de coordenadas cartesiano la distancia perpendicular entre los ejes se encuentra a lo largo del eje x y que el centro de masa se encuentra en el origen. El momento de inercia relativo al eje z es entonces

${\displaystyle I_{\mathrm {cm} }=\int (x^{2}+y^{2})\,dm.}$

El momento de inercia con respecto al eje z′ , que está a una distancia D del centro de masa a lo largo del eje x , es

${\displaystyle I=\int \left[(x-D)^{2}+y^{2}\right]\,dm.}$

Ampliar los corchetes produce

${\displaystyle I=\int (x^{2}+y^{2})\,dm+D^{2}\int dm-2D\int x\,dm.}$

El primer término es I _cm y el segundo término se convierte en MD ² . La integral en el último término es un múltiplo de la coordenada x del centro de masa  , que es cero ya que el centro de masa se encuentra en el origen. Entonces, la ecuación queda:

${\displaystyle I=I_{\mathrm {cm} }+MD^{2}.}$

Generalización tensorial

El teorema de los ejes paralelos se puede generalizar a cálculos que involucran el tensor de inercia . ^[2] Sea I _ij el tensor de inercia de un cuerpo calculado en el centro de masa. Entonces el tensor de inercia _Jij calculado con respecto a un nuevo punto es

${\displaystyle J_{ij}=I_{ij}+m\left(|\mathbf {R} |^{2}\delta _{ij}-R_{i}R_{j}\right),}$

donde es el vector de desplazamiento desde el centro de masa hasta el nuevo punto, y δ _ij es el delta de Kronecker . ${\displaystyle \mathbf {R} =R_{1}\mathbf {\hat {x}} +R_{2}\mathbf {\hat {y}} +R_{3}\mathbf {\hat {z}} \!}$

Para elementos diagonales (cuando i = j ), los desplazamientos perpendiculares al eje de rotación dan como resultado la versión simplificada anterior del teorema de los ejes paralelos.

La versión generalizada del teorema de los ejes paralelos se puede expresar en forma de notación sin coordenadas como

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {I} +m\left[\left(\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} \right)\mathbf {E} _{3}-\mathbf {R} \otimes \mathbf {R} \right],}$

donde E ₃ es la matriz identidad 3 × 3 y es el producto exterior . ${\displaystyle \otimes }$

Una mayor generalización del teorema de los ejes paralelos da el tensor de inercia alrededor de cualquier conjunto de ejes ortogonales paralelos al conjunto de ejes de referencia x, y y z, asociados con el tensor de inercia de referencia, pasen o no por el centro de masa. ^[2]

Segundo momento del área.

La regla de los ejes paralelos también se aplica al segundo momento de área (momento de inercia del área) para una región plana D :

${\displaystyle I_{z}=I_{x}+Ar^{2},}$

donde I _z es el momento de inercia del área de D con respecto al eje paralelo, I _x es el momento de inercia del área de D con respecto a su centroide , A es el área de la región plana D y r es la distancia desde el nuevo eje z al centroide de la región plana D . El centroide de D coincide con el centro de gravedad de una placa física de la misma forma que tiene densidad uniforme.

Momento polar de inercia para dinámica plana.

El momento polar de inercia de un cuerpo alrededor de un punto se puede determinar a partir de su momento polar de inercia alrededor del centro de masa.

Las propiedades de masa de un cuerpo rígido que está obligado a moverse paralelo a un plano están definidas por su centro de masa R  = ( x ,  y ) en este plano, y su momento polar de inercia I _R alrededor de un eje que pasa por R que es perpendicular. al avión. El teorema de los ejes paralelos proporciona una relación conveniente entre el momento de inercia IS _alrededor de un punto arbitrario S y el momento de inercia _IR alrededor del centro de masa  R.

Recuerde que el centro de masa R tiene la propiedad

${\displaystyle \int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\,dV=0,}$

donde r está integrado sobre el volumen V del cuerpo. El momento polar de inercia de un cuerpo que experimenta un movimiento plano se puede calcular con respecto a cualquier punto de referencia  S ,

${\displaystyle I_{S}=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {S} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {S} )\,dV,}$

donde S es constante yr está integrado sobre el volumen  V.

Para obtener el momento de inercia I _S en términos del momento de inercia I _R , introduzca el vector d de S al centro de masa R ,

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{S}&=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} +\mathbf {d} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {R} +\mathbf {d} )\,dV\\&=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {R} )dV+2\mathbf {d} \cdot \left(\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\,dV\right)+\left(\int _{V}\rho (\mathbf {r} )\,dV\right)\mathbf {d} \cdot \mathbf {d} .\end{aligned}}}$

El primer término es el momento de inercia IR , el segundo término es cero por _definición del centro de masa y el último término es la masa total del cuerpo multiplicada por la magnitud cuadrada del vector  d . De este modo,

${\displaystyle I_{S}=I_{R}+Md^{2},\,}$

que se conoce como teorema de los ejes paralelos. ^[3]

Matriz de momentos de inercia

La matriz de inercia de un sistema rígido de partículas depende de la elección del punto de referencia. ^[4] Existe una relación útil entre la matriz de inercia relativa al centro de masa R y la matriz de inercia relativa a otro punto S. Esta relación se llama teorema de los ejes paralelos.

Considere la matriz de inercia [I _S ] obtenida para un sistema rígido de partículas medida con respecto a un punto de referencia S , dada por

${\displaystyle [I_{S}]=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-S][r_{i}-S],}$

donde r _i define la posición de la partícula P _i , i  = 1, ...,  n . Recuerde que [ r _i  −  S ] es la matriz asimétrica que realiza el producto vectorial,

${\displaystyle [r_{i}-S]\mathbf {y} =(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {S} )\times \mathbf {y} ,}$

para un vector arbitrario  y .

Sea R el centro de masa del sistema rígido, entonces

${\displaystyle \mathbf {R} =(\mathbf {R} -\mathbf {S} )+\mathbf {S} =\mathbf {d} +\mathbf {S} ,}$

donde d es el vector desde el punto de referencia S hasta el centro de masa R. Utilice esta ecuación para calcular la matriz de inercia,

${\displaystyle [I_{S}]=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R+d][r_{i}-R+d].}$

Expande esta ecuación para obtener

${\displaystyle [I_{S}]=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R][r_{i}-R]\right)+\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R]\right)[d]+[d]\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R]\right)+\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)[d][d].}$

El primer término es la matriz de inercia [ _IR ] relativa al centro de masa. Los términos segundo y tercero son cero por definición del centro de masa R ,

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )=0.}$

Y el último término es la masa total del sistema multiplicada por el cuadrado de la matriz simétrica sesgada [ d ] construida a partir de  d .

El resultado es el teorema de los ejes paralelos,

${\displaystyle [I_{S}]=[I_{R}]-M[d]^{2},}$

donde d es el vector desde el punto de referencia S hasta el centro de masa R. ^[4]

Identidades para una matriz simétrica sesgada

Para comparar formulaciones del teorema de los ejes paralelos utilizando matrices simétricas sesgadas y la formulación tensorial, son útiles las siguientes identidades.

Sea [ R ] la matriz simétrica sesgada asociada con el vector de posición R  = ( x ,  y ,  z ), entonces el producto en la matriz de inercia se convierte en

${\displaystyle -[R][R]=-{\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}^{2}={\begin{bmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\-yx&x^{2}+z^{2}&-yz\\-zx&-zy&x^{2}+y^{2}\end{bmatrix}}.}$

Este producto se puede calcular usando la matriz formada por el producto externo [ R R ^T ] usando la identidad

${\displaystyle -[R]^{2}=|\mathbf {R} |^{2}[E_{3}]-[\mathbf {R} \mathbf {R} ^{T}]={\begin{bmatrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}&0&0\\0&x^{2}+y^{2}+z^{2}&0\\0&0&x^{2}+y^{2}+z^{2}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}x^{2}&xy&xz\\yx&y^{2}&yz\\zx&zy&z^{2}\end{bmatrix}},}$

donde [ E ₃ ] es la matriz identidad 3 × 3.

Note también que

${\displaystyle |\mathbf {R} |^{2}=\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} =\operatorname {tr} [\mathbf {R} \mathbf {R} ^{T}],}$

donde tr denota la suma de los elementos diagonales de la matriz del producto exterior, conocida como su traza.

Ver también

• Christian Huygens
• Jacob Steiner
• Momento de inercia
• Teorema del eje perpendicular
• Dinámica del cuerpo rígido
• regla de estiramiento

Referencias

1. Arthur Erich Haas (1928), Introducción a la física teórica
2. Abdulghany, AR (octubre de 2017), "Generalización del teorema de los ejes paralelos para la inercia rotacional", American Journal of Physics , 85 (10): 791–795, doi : 10.1119/1.4994835
3. Paul, Burton (1979), Cinemática y dinámica de maquinaria plana , Prentice Hall , ISBN 978-0-13-516062-6
4. Kane, TR; Levinson, DA (2005), Dinámica, teoría y aplicaciones , McGraw-Hill, Nueva York

enlaces externos

• Teorema de los ejes paralelos
• Tensor de momento de inercia
• Vídeo sobre el tensor de inercia.