Aceleración angular

Cantidad física

En física , la aceleración angular (símbolo α , alpha ) es la tasa de cambio de la velocidad angular en función del tiempo . Según los dos tipos de velocidad angular, la velocidad angular de espín y la velocidad angular orbital , los tipos respectivos de aceleración angular son: aceleración angular de espín , que involucra un cuerpo rígido alrededor de un eje de rotación que interseca el centroide del cuerpo ; y aceleración angular orbital , que involucra una partícula puntual y un eje externo.

La aceleración angular tiene dimensiones físicas de ángulo por tiempo al cuadrado, medido en unidades del SI de radianes por segundo al cuadrado ( rad ⋅ s ^-2 ). En dos dimensiones, la aceleración angular es un pseudoescalar cuyo signo se toma como positivo si la velocidad angular aumenta en sentido antihorario o disminuye en sentido horario, y se toma como negativo si la velocidad angular aumenta en sentido horario o disminuye en sentido antihorario. En tres dimensiones, la aceleración angular es un pseudovector . ^[1]

En el caso de los cuerpos rígidos, la aceleración angular debe ser causada por un par externo neto . Sin embargo, esto no es así en el caso de los cuerpos no rígidos: por ejemplo, un patinador artístico puede acelerar su rotación (obteniendo así una aceleración angular) simplemente contrayendo los brazos y las piernas hacia dentro, lo que no implica ningún par externo .

Aceleración angular orbital de una partícula puntual

Partícula en dos dimensiones

En dos dimensiones, la aceleración angular orbital es la tasa a la que cambia la velocidad angular orbital bidimensional de la partícula respecto del origen. La velocidad angular instantánea ω en cualquier punto del tiempo está dada por

ω = v ⊥ r , {\displaystyle \omega ={\frac {v_{\perp }}{r}},}

donde es la distancia desde el origen y es el componente radial transversal de la velocidad instantánea (es decir, el componente perpendicular al vector de posición), que por convención es positivo para el movimiento en sentido antihorario y negativo para el movimiento en sentido horario. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle v_{\perp }}$

Por lo tanto, la aceleración angular instantánea α de la partícula viene dada por ^[2]

α = d d t ( v ⊥ r ). {\displaystyle \alpha ={\frac {d}{dt}}\left({\frac {v_{\perp }}{r}}\right).}

Desarrollando el lado derecho usando la regla del producto del cálculo diferencial, esto se convierte en

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{r}}{\frac {dv_{\perp }}{dt}}-{\frac {v_{\perp }}{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}}.}$

En el caso especial en que la partícula experimenta un movimiento circular alrededor del origen, se convierte simplemente en la aceleración tangencial y se desvanece (ya que la distancia desde el origen permanece constante), la ecuación anterior se simplifica a ${\displaystyle {\frac {dv_{\perp }}{dt}}}$ ${\displaystyle a_{\perp }}$ ${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {a_{\perp }}{r}}.}$

En dos dimensiones, la aceleración angular es un número con un signo más o menos que indica la orientación, pero no apunta a una dirección. El signo se considera convencionalmente positivo si la velocidad angular aumenta en sentido contrario a las agujas del reloj o disminuye en el sentido de las agujas del reloj, y el signo se considera negativo si la velocidad angular aumenta en el sentido de las agujas del reloj o disminuye en el sentido contrario a las agujas del reloj. La aceleración angular puede entonces denominarse pseudoescalar , una cantidad numérica que cambia de signo bajo una inversión de paridad , como invertir un eje o cambiar los dos ejes.

Partícula en tres dimensiones

En tres dimensiones, la aceleración angular orbital es la tasa a la que el vector de velocidad angular orbital tridimensional cambia con el tiempo. El vector de velocidad angular instantánea en cualquier punto del tiempo viene dado por ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}},}$

donde es el vector de posición de la partícula, su distancia desde el origen y su vector de velocidad. ^[2] ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Por lo tanto, la aceleración angular orbital es el vector definido por ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}\right).}$

Desarrollando esta derivada usando la regla del producto para productos cruzados y la regla del cociente ordinario, se obtiene:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\alpha }}&={\frac {1}{r^{2}}}\left(\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}+{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {v} \right)-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)\\\\&={\frac {1}{r^{2}}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {a} +\mathbf {v} \times \mathbf {v} \right)-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)\\\\&={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right).\end{aligned}}}$

Como es simplemente , el segundo término puede reescribirse como . En el caso en que la distancia de la partícula desde el origen no cambia con el tiempo (lo que incluye el movimiento circular como un subcaso), el segundo término se desvanece y la fórmula anterior se simplifica a ${\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {v} }$ ${\displaystyle r^{2}{\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle -{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}.}$

A partir de la ecuación anterior, se puede recuperar la aceleración radial cruzada en este caso especial como:

${\displaystyle \mathbf {a} _{\perp }={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} .}$

A diferencia de lo que ocurre en dos dimensiones, la aceleración angular en tres dimensiones no necesita estar asociada a un cambio en la velocidad ${\displaystyle \omega =|{\boldsymbol {\omega }}|}$ angular : si el vector de posición de la partícula se "tuerce" en el espacio, cambiando su plano instantáneo de desplazamiento angular, el cambio en la dirección de la velocidad angular seguirá produciendo una aceleración angular distinta de cero. Esto no puede suceder si el vector de posición está restringido a un plano fijo, en cuyo caso tiene una dirección fija perpendicular al plano. ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

El vector de aceleración angular se denomina más propiamente pseudovector : tiene tres componentes que se transforman bajo rotaciones de la misma manera que lo hacen las coordenadas cartesianas de un punto, pero que no se transforman como las coordenadas cartesianas bajo reflexiones.

Relación con el par

El par neto sobre una partícula puntual se define como el pseudovector

τ = r × F , {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ,}

donde es la fuerza neta sobre la partícula. ^[3] ${\displaystyle \mathbf {F} }$

El par es el análogo rotacional de la fuerza: induce un cambio en el estado rotacional de un sistema, de la misma manera que la fuerza induce un cambio en el estado traslacional de un sistema. Como la fuerza sobre una partícula está relacionada con la aceleración mediante la ecuación F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} } , se puede escribir una ecuación similar que relacione el par sobre una partícula con la aceleración angular, aunque esta relación es necesariamente más complicada. ^[4]

Primero, sustituyendo el torque en la ecuación anterior, se obtiene ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=m\left(\mathbf {r} \times \mathbf {a} \right)=mr^{2}\left({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}\right).}$

De la sección anterior:

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }},}$

donde es la aceleración angular orbital y es la velocidad angular orbital. Por lo tanto: ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=mr^{2}\left({\boldsymbol {\alpha }}+{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}\right)=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}+2mr{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}.}$

En el caso especial de distancia constante de la partícula desde el origen ( ), el segundo término de la ecuación anterior se desvanece y la ecuación anterior se simplifica a ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\tfrac {dr}{dt}}=0}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }},}$

que puede interpretarse como un "análogo rotacional" de , donde la cantidad (conocida como momento de inercia de la partícula) desempeña el papel de la masa . Sin embargo, a diferencia de , esta ecuación no se aplica a una trayectoria arbitraria, sino solo a una trayectoria contenida dentro de una envoltura esférica alrededor del origen. ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$ ${\displaystyle mr^{2}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$

Véase también

• Momento angular
• Frecuencia angular
• Velocidad angular
• Alegría
• Aceleración rotacional
• Esfuerzo de torsión

Referencias

1. "Variables rotacionales". LibreTexts . MindTouch. 18 de octubre de 2016 . Consultado el 1 de julio de 2020 .
2. Singh, Sunil K. Velocidad angular. Universidad Rice.
3. Singh, Sunil K. Torque. Universidad Rice.
4. Mashood, KK Desarrollo y evaluación de un inventario de conceptos en cinemática rotacional (PDF) . Instituto Tata de Investigación Fundamental, Mumbai. págs. 52–54.