Modo normal

Un modo normal de un sistema dinámico es un patrón de movimiento en el que todas las partes del sistema se mueven sinusoidalmente con la misma frecuencia y con una relación de fase fija. El movimiento libre descrito por los modos normales tiene lugar a frecuencias fijas. Estas frecuencias fijas de los modos normales de un sistema se conocen como sus frecuencias naturales o frecuencias resonantes . Un objeto físico, como un edificio, un puente o una molécula, tiene un conjunto de modos normales y sus frecuencias naturales que dependen de su estructura, materiales y condiciones de contorno.

El movimiento más general de un sistema lineal es una superposición de sus modos normales. Los modos son normales en el sentido de que pueden moverse independientemente, es decir, que una excitación de un modo nunca provocará el movimiento de un modo diferente. En términos matemáticos, los modos normales son ortogonales entre sí.

Excitación de los modos normales en una gota de agua durante el efecto Leidenfrost

Definiciones generales

Modo

En la teoría ondulatoria de la física y la ingeniería, un modo en un sistema dinámico es un estado de excitación de onda estacionaria , en el que todos los componentes del sistema se verán afectados de forma sinusoidal a una frecuencia fija asociada con ese modo.

Debido a que ningún sistema real puede encajar perfectamente en el marco de las ondas estacionarias, el concepto de modo se toma como una caracterización general de estados específicos de oscilación, tratando así el sistema dinámico de manera lineal , en el que se puede realizar una superposición lineal de estados.

Algunos ejemplos típicos incluyen:

En un sistema dinámico mecánico, una cuerda vibrante es el ejemplo más claro de un modo, en el que la cuerda es el medio, la tensión en la cuerda es la excitación y el desplazamiento de la cuerda con respecto a su estado estático es la variable modal.
En un sistema dinámico acústico, un solo tono de sonido es un modo, en el que el aire es el medio, la presión del sonido en el aire es la excitación y el desplazamiento de las moléculas de aire es la variable modal.
En un sistema dinámico estructural, un edificio alto que oscila bajo su eje más flexural es un modo, en el que todo el material del edificio -bajo las simplificaciones numéricas adecuadas- es el medio, las solicitaciones sísmicas/eólicas/ambientales son las excitaciones y los desplazamientos son la variable modal.
En un sistema eléctrico dinámico, una cavidad resonante hecha de paredes metálicas delgadas, que encierra un espacio hueco, para un acelerador de partículas es un sistema de onda estacionaria pura y, por lo tanto, un ejemplo de un modo, en el que el espacio hueco de la cavidad es el medio, la fuente de RF (un Klystron u otra fuente de RF) es la excitación y el campo electromagnético es la variable modal.
En relación con la música , los modos normales de vibración de los instrumentos (cuerdas, tubos de aire, tambores, etc.) se denominan " armónicos ".

El concepto de modos normales también encuentra aplicación en otros sistemas dinámicos, como la óptica , la mecánica cuántica , la dinámica atmosférica y la dinámica molecular .

La mayoría de los sistemas dinámicos pueden ser excitados en varios modos, posiblemente de manera simultánea. Cada modo se caracteriza por una o varias frecuencias, ^{[ dudoso – discutir ]} según el campo de variables modal. Por ejemplo, una cuerda vibrante en el espacio 2D se define por una sola frecuencia (desplazamiento axial 1D), pero una cuerda vibrante en el espacio 3D se define por dos frecuencias (desplazamiento axial 2D).

Para una amplitud dada en la variable modal, cada modo almacenará una cantidad específica de energía debido a la excitación sinusoidal.

El modo normal o dominante de un sistema con múltiples modos será el modo que almacena la cantidad mínima de energía para una amplitud dada de la variable modal o, equivalentemente, para una cantidad dada de energía almacenada, el modo dominante será el modo que impone la amplitud máxima de la variable modal.

Números de moda

Un modo de vibración se caracteriza por una frecuencia modal y una forma modal. Se numera de acuerdo con el número de medias ondas en la vibración. Por ejemplo, si una viga vibrante con ambos extremos unidos mostrara una forma modal de la mitad de una onda sinusoidal (un pico en la viga vibrante), vibraría en el modo 1. Si tuviera una onda sinusoidal completa (un pico y un valle), vibraría en el modo 2.

En un sistema con dos o más dimensiones, como el disco de la imagen, a cada dimensión se le asigna un número de modo. Usando coordenadas polares , tenemos una coordenada radial y una coordenada angular. Si se mide desde el centro hacia afuera a lo largo de la coordenada radial, se encontraría una onda completa, por lo que el número de modo en la dirección radial es 2. La otra dirección es más complicada, porque solo se considera la mitad del disco debido a la naturaleza antisimétrica (también llamada simetría oblicua ) de la vibración de un disco en la dirección angular. Por lo tanto, al medir 180° a lo largo de la dirección angular, se encontraría una media onda, por lo que el número de modo en la dirección angular es 1. Por lo tanto, el número de modo del sistema es 2–1 o 1–2, dependiendo de qué coordenada se considera la "primera" y cuál se considera la "segunda" coordenada (por lo que es importante indicar siempre qué número de modo coincide con cada dirección de la coordenada).

En los sistemas lineales, cada modo es completamente independiente de todos los demás modos. En general, todos los modos tienen frecuencias diferentes (los modos inferiores tienen frecuencias más bajas) y formas de modo diferentes.

Nodos

En un sistema unidimensional en un modo dado, la vibración tendrá nodos o lugares donde el desplazamiento siempre es cero. Estos nodos corresponden a puntos en la forma modal donde la forma modal es cero. Dado que la vibración de un sistema está dada por la forma modal multiplicada por una función de tiempo, el desplazamiento de los puntos de los nodos permanece cero en todo momento.

Cuando se amplían a un sistema bidimensional, estos nodos se convierten en líneas donde el desplazamiento es siempre cero. Si observa la animación anterior, verá dos círculos (uno aproximadamente a mitad de camino entre el borde y el centro, y el otro en el borde mismo) y una línea recta que divide el disco en dos, donde el desplazamiento es cercano a cero. En un sistema idealizado, estas líneas son exactamente iguales a cero, como se muestra a la derecha.

En sistemas mecánicos

En el análisis de sistemas conservativos con pequeños desplazamientos del equilibrio, importantes en acústica , espectros moleculares y circuitos eléctricos , el sistema puede transformarse en nuevas coordenadas llamadas coordenadas normales. Cada coordenada normal corresponde a una única frecuencia vibratoria del sistema y el movimiento correspondiente del sistema se denomina modo normal de vibración. ^[1]^{: 332}

Osciladores acoplados

Consideremos dos cuerpos iguales (no afectados por la gravedad), cada uno de masa $m$ , unidos a tres resortes, cada uno con constante elástica $k$ . Están unidos de la siguiente manera, formando un sistema que es físicamente simétrico:

donde los puntos de los bordes están fijos y no se pueden mover. Sea $x 1 (t)$ el desplazamiento horizontal de la masa izquierda y $x 2 (t)$ el desplazamiento de la masa derecha.

Denotando la aceleración (la segunda derivada de $x (t)$ con respecto al tiempo) como , las ecuaciones de movimiento son: ${\textstyle {\ddot {x}}}$

${\begin{aligned}m{\ddot {x}}_{1}&=-kx_{1}+k(x_{2}-x_{1})=-2kx_{1}+kx_{2}\\m{\ddot {x}}_{2}&=-kx_{2}+k(x_{1}-x_{2})=-2kx_{2}+kx_{1}\end{aligned}}$

Como esperamos un movimiento oscilatorio de un modo normal (donde $ω$ es el mismo para ambas masas), intentamos:

${\begin{aligned}x_{1}(t)&=A_{1}e^{i\omega t}\\x_{2}(t)&=A_{2}e^{i\omega t}\end{aligned}}$

Sustituyendo esto en las ecuaciones de movimiento obtenemos:

${\begin{aligned}-\omega ^{2}mA_{1}e^{i\omega t}&=-2kA_{1}e^{i\omega t}+kA_{2}e^{i\omega t}\\-\omega ^{2}mA_{2}e^{i\omega t}&=kA_{1}e^{i\omega t}-2kA_{2}e^{i\omega t}\end{aligned}}$

Omitiendo el factor exponencial (porque es común a todos los términos) y simplificando obtenemos:

${\begin{aligned}(\omega ^{2}m-2k)A_{1}+kA_{2}&=0\\kA_{1}+(\omega ^{2}m-2k)A_{2}&=0\end{aligned}}$

Y en representación matricial :

${\begin{bmatrix}\omega ^{2}m-2k&k\\k&\omega ^{2}m-2k\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\end{pmatrix}}=0$

Si la matriz de la izquierda es invertible, la única solución es la solución trivial $(A 1, A 2) = (x 1, x 2) = (0, 0)$ . Las soluciones no triviales se encuentran para aquellos valores de $ω$ en los que la matriz de la izquierda es singular , es decir, no es invertible. De ello se deduce que el determinante de la matriz debe ser igual a 0, por lo que:

$(\omega ^{2}m-2k)^{2}-k^{2}=0$

Resolviendo para $ω$ , las dos soluciones positivas son:

${\begin{aligned}\omega _{1}&={\sqrt {\frac {k}{m}}}\\\omega _{2}&={\sqrt {\frac {3k}{m}}}\end{aligned}}$

Sustituyendo $ω 1$ en la matriz y despejando $(A 1, A 2)$ , se obtiene $(1, 1)$ . Sustituyendo $ω 2$ se obtiene $(1, -1)$ . (Estos vectores son vectores propios y las frecuencias son valores propios ).

El primer modo normal es: ${\vec {\eta }}_{1}={\begin{pmatrix}x_{1}^{1}(t)\\x_{2}^{1}(t)\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\cos {(\omega _{1}t+\varphi _{1})}$

Lo que corresponde a que ambas masas se mueven en la misma dirección al mismo tiempo. Este modo se llama antisimétrico.

El segundo modo normal es:

${\vec {\eta }}_{2}={\begin{pmatrix}x_{1}^{2}(t)\\x_{2}^{2}(t)\end{pmatrix}}=c_{2}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\cos {(\omega _{2}t+\varphi _{2})}$

Esto corresponde a que las masas se mueven en direcciones opuestas, mientras que el centro de masas permanece estacionario. Este modo se denomina simétrico.

La solución general es una superposición de los modos normales donde $c 1$ , $c 2$ , $φ 1$ y $φ 2$ están determinados por las condiciones iniciales del problema.

El proceso demostrado aquí puede generalizarse y formularse utilizando el formalismo de la mecánica lagrangiana o la mecánica hamiltoniana .

Ondas estacionarias

Una onda estacionaria es una forma continua del modo normal. En una onda estacionaria, todos los elementos del espacio (es decir, las coordenadas $(x, y, z)$ ) oscilan en la misma frecuencia y en fase (alcanzando juntos el punto de equilibrio ), pero cada uno tiene una amplitud diferente.

La forma general de una onda estacionaria es:

$\Psi (t)=f(x,y,z)(A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t))$

donde $f (x, y, z)$ representa la dependencia de la amplitud en la ubicación y el coseno/seno son las oscilaciones en el tiempo.

Físicamente, las ondas estacionarias se forman por la interferencia (superposición) de ondas y sus reflexiones (aunque también se puede decir lo contrario; que una onda en movimiento es una superposición de ondas estacionarias). La forma geométrica del medio determina cuál sería el patrón de interferencia, y por lo tanto determina la forma $f (x, y, z)$ de la onda estacionaria. Esta dependencia espacial se denomina modo normal .

Por lo general, para problemas con dependencia continua de $(x, y, z)$ no hay un número único o finito de modos normales, sino que hay infinitos modos normales. Si el problema está acotado (es decir, está definido en una sección finita del espacio), hay una cantidad contable de modos normales (generalmente numerados $n = 1, 2, 3, ...$ ). Si el problema no está acotado, hay un espectro continuo de modos normales.

Sólidos elásticos

En cualquier sólido a cualquier temperatura, las partículas primarias (por ejemplo, átomos o moléculas) no son estacionarias, sino que vibran alrededor de posiciones medias. En los aislantes, la capacidad del sólido para almacenar energía térmica se debe casi por completo a estas vibraciones. Muchas propiedades físicas del sólido (por ejemplo, el módulo de elasticidad) se pueden predecir dado el conocimiento de las frecuencias con las que vibran las partículas. La suposición más simple (de Einstein) es que todas las partículas oscilan alrededor de sus posiciones medias con la misma frecuencia natural $ν$ . Esto es equivalente a la suposición de que todos los átomos vibran independientemente con una frecuencia $ν$ . Einstein también asumió que los estados de energía permitidos de estas oscilaciones son armónicos o múltiplos enteros de $hν$ . El espectro de formas de onda se puede describir matemáticamente utilizando una serie de Fourier de fluctuaciones de densidad sinusoidal (o fonones térmicos ).

Posteriormente, Debye reconoció que cada oscilador está íntimamente acoplado a sus osciladores vecinos en todo momento. Así, al reemplazar los osciladores idénticos no acoplados de Einstein por el mismo número de osciladores acoplados, Debye correlacionó las vibraciones elásticas de un sólido unidimensional con el número de modos de vibración matemáticamente especiales de una cuerda estirada (véase la figura). El tono puro de la frecuencia o tono más bajo se denomina fundamental y los múltiplos de esa frecuencia se denominan sobretonos armónicos. Asignó a uno de los osciladores la frecuencia de la vibración fundamental de todo el bloque del sólido. Asignó a los osciladores restantes las frecuencias de los armónicos de esa fundamental, quedando la más alta de todas estas frecuencias limitada por el movimiento de la unidad primaria más pequeña.

Los modos normales de vibración de un cristal son, en general, superposiciones de muchos armónicos, cada uno con una amplitud y fase apropiadas. Los fonones de longitud de onda más larga (baja frecuencia) son exactamente las vibraciones acústicas que se consideran en la teoría del sonido. Tanto las ondas longitudinales como las transversales pueden propagarse a través de un sólido, mientras que, en general, sólo las ondas longitudinales se propagan a través de fluidos.

En el modo longitudinal , el desplazamiento de las partículas desde sus posiciones de equilibrio coincide con la dirección de propagación de la onda. Las ondas longitudinales mecánicas también se conocen como ondas de compresión . En el modo transversal , las partículas individuales se mueven perpendicularmente a la propagación de la onda.

Según la teoría cuántica, la energía media de un modo vibracional normal de un sólido cristalino con frecuencia característica $ν$ es:

$E(\nu )={\frac {1}{2}}h\nu +{\frac {h\nu }{e^{h\nu /kT}-1}}$

El término $(1/2) hν$ representa la "energía del punto cero", o la energía que tendrá un oscilador en el cero absoluto. $E (ν)$ tiende al valor clásico $kT$ a altas temperaturas.

$E(\nu )=kT\left[1+{\frac {1}{12}}\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)^{2}+O\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)^{4}+\cdots \right]$

Conociendo la fórmula termodinámica,

$\left({\frac {\partial S}{\partial E}}\right)_{N,V}={\frac {1}{T}}$

La entropía por modo normal es:

${\begin{aligned}S\left(\nu \right)&=\int _{0}^{T}{\frac {d}{dT}}E\left(\nu \right){\frac {dT}{T}}\\[10pt]&={\frac {E\left(\nu \right)}{T}}-k\log \left(1-e^{-{\frac {h\nu }{kT}}}\right)\end{aligned}}$

La energía libre es:

$F(\nu )=E-TS=kT\log \left(1-e^{-{\frac {h\nu }{kT}}}\right)$

que, para $kT ≫ hν$ , tiende a:

$F(\nu )=kT\log \left({\frac {h\nu }{kT}}\right)$

Para calcular la energía interna y el calor específico, debemos conocer el número de modos vibracionales normales a una frecuencia entre los valores $ν$ y $ν + dν$ . Supongamos que este número es $f (ν) dν$ . Como el número total de modos normales es $3 N$ , la función $f (ν)$ viene dada por:

$\int f(\nu )\,d\nu =3N$

La integración se realiza sobre todas las frecuencias del cristal. Entonces la energía interna $U$ vendrá dada por:

$U=\int f(\nu )E(\nu )\,d\nu$

En mecánica cuántica

Los estados ligados en mecánica cuántica son análogos a los modos. Las ondas en los sistemas cuánticos son oscilaciones en amplitud de probabilidad en lugar de desplazamiento material. La frecuencia de oscilación, $f$ , se relaciona con la energía del modo mediante $E = hf$ donde $h$ es la constante de Planck . Por lo tanto, un sistema como un átomo consiste en una combinación lineal de modos de energía definida. Estas energías son características del átomo en particular. El cuadrado (complejo) de la amplitud de probabilidad en un punto en el espacio da la probabilidad de medir un electrón en esa ubicación. La distribución espacial de esta probabilidad es característica del átomo. ^[2]^{: I49–S5}

En sismología

Los modos normales se generan en la Tierra a partir de ondas sísmicas de longitud de onda larga de grandes terremotos que interfieren para formar ondas estacionarias.

Para una esfera elástica, isótropa y homogénea, surgen modos esferoidales, toroidales y radiales (o de respiración). Los modos esferoidales solo involucran ondas P y SV (como las ondas de Rayleigh ) y dependen del número de sobretono $n$ y el orden angular $l,$ pero tienen una degeneración de orden azimutal $m$ . El aumento de $l$ concentra la rama fundamental más cerca de la superficie y, en general, $l$ tiende a ondas de Rayleigh. Los modos toroidales solo involucran ondas SH (como las ondas Love ) y no existen en el núcleo externo del fluido. Los modos radiales son solo un subconjunto de los modos esferoidales con $l = 0.$ La degeneración no existe en la Tierra, ya que está rota por la rotación, la elipticidad y la estructura heterogénea de velocidad y densidad 3D.

Se puede suponer que cada modo puede aislarse, la aproximación de autoacoplamiento, o que muchos modos cercanos en frecuencia resuenan , la aproximación de acoplamiento cruzado. El autoacoplamiento solo cambiará la velocidad de fase y no el número de ondas alrededor de un gran círculo, lo que da como resultado un estiramiento o encogimiento del patrón de onda estacionaria. El acoplamiento cruzado modal ocurre debido a la rotación de la Tierra, a partir de una estructura elástica asférica o debido a la elipticidad de la Tierra y conduce a una mezcla de modos esferoidales y toroidales fundamentales.

Véase también

Referencias

^ Goldstein, Herbert; Poole, Charles P.; Safko, John L. (2008). Mecánica clásica (3.ª ed., [Siguiente] ed.). San Francisco, Múnich: Addison Wesley. ISBN 978-0-201-65702-9.
^ Feynman, Richard P. (2011). Las conferencias de Feynman sobre física. Volumen 1: Principalmente mecánica, radiación y calor (edición del nuevo milenio, primera edición publicada en rústica). Nueva York: Basic Books. ISBN 978-0-465-04085-8.

Lectura adicional

Blevins, Robert D. (2001). Fórmulas para la frecuencia natural y la forma modal (edición reimpresa). Malabar, Florida: Krieger Pub. ISBN 978-1575241845.
Tzou, HS; Bergman, LA, eds. (2008). Dinámica y control de sistemas distribuidos . Cambridge [Inglaterra]: Cambridge University Press . ISBN 978-0521033749.
Shearer, Peter M. (2009). Introducción a la sismología (2.ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press. pp. 231–237. ISBN 9780521882101.

Enlaces externos

Notas de la conferencia de Harvard sobre los modos normales