Modelo hiperboloide

Modelo de geometría hiperbólica n-dimensional

El arco circular rojo es geodésico en el modelo de disco de Poincaré ; se proyecta hacia la geodésica marrón en el hiperboloide verde.

Animación del mosaico hiperbólico parcial {7,3} del hiperboloide rotado en la perspectiva de Poincaré.

En geometría , el modelo hiperbólico , también conocido como modelo de Minkowski en honor a Hermann Minkowski , es un modelo de geometría hiperbólica n -dimensional en el que los puntos se representan por puntos en la lámina delantera S ^{+ de un} hiperboloide de dos láminas en el espacio de Minkowski de dimensión ( n +1) o por los vectores de desplazamiento desde el origen hasta esos puntos, y los m -planos se representan por las intersecciones de los ( m +1)-planos que pasan por el origen en el espacio de Minkowski con S ⁺ o por productos de cuña de m vectores. El espacio hiperbólico está incrustado isométricamente en el espacio de Minkowski; es decir, la función de distancia hiperbólica se hereda del espacio de Minkowski, de manera análoga a la forma en que la distancia esférica se hereda de la distancia euclidiana cuando la n -esfera está incrustada en el espacio euclidiano de dimensión ( n +1).

Otros modelos del espacio hiperbólico pueden considerarse proyecciones cartográficas de S ⁺ : el modelo de Beltrami-Klein es la proyección de S ⁺ a través del origen sobre un plano perpendicular a un vector desde el origen hasta un punto específico en S ^+, análogo a la proyección gnomónica de la esfera; el modelo de disco de Poincaré es una proyección de S ^{+ a través de} un punto en la otra hoja S− sobre un plano perpendicular, análogo a la proyección estereográfica de la esfera; el modelo de Gans es la proyección ortogonal de S ⁺ sobre un plano perpendicular a un punto específico en S ⁺ , análogo a la proyección ortográfica ; el modelo de bandas del plano hiperbólico es una proyección “cilíndrica” conforme análoga a la proyección de Mercator de la esfera; las coordenadas de Lobachevsky son una proyección cilíndrica análoga a la proyección equirectangular (longitud, latitud) de la esfera.

Forma cuadrática de Minkowski

Si ( x ₀ , x ₁ , ..., x _n ) es un vector en el espacio de coordenadas ( n + 1 ) -dimensional R ^{n +1} , la forma cuadrática de Minkowski se define como

${\displaystyle Q(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}.}$

Los vectores v ∈ R ^{n +1} tales que Q ( v ) = -1 forman un hiperboloide n -dimensional S que consiste en dos componentes conectados , u hojas : la hoja delantera o futura S ⁺ , donde x ₀ > 0 y la hoja trasera o pasada S ⁻ , donde x ₀ < 0. Los puntos del modelo hiperboloide n -dimensional son los puntos en la hoja delantera S ⁺ .

La métrica del hiperboloide es La forma bilineal de Minkowski B es la polarización de la forma cuadrática de Minkowski Q , $${\displaystyle ds^{2}=Q(dx_{0},dx_{1},\ldots ,dx_{n})=-dx_{0}^{2}+dx_{1}^{2}+\ldots +dx_{n}^{2}.}$$

${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=(Q(\mathbf {u} +\mathbf {v} )-Q(\mathbf {u} )-Q(\mathbf {v} ))/2.}$

(Esto a veces también se escribe utilizando la notación de producto escalar ). Explícitamente, ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} .}$

${\displaystyle B((x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{0},y_{1},\ldots ,y_{n}))=-x_{0}y_{0}+x_{1}y_{1}+\ldots +x_{n}y_{n}.}$

La distancia hiperbólica entre dos puntos u y v de S ⁺ viene dada por la fórmula

${\displaystyle d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\operatorname {arcosh} (-B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )),}$

donde arcosh es la función inversa del coseno hiperbólico .

Elección de la firma métrica

La forma bilineal también funciona como tensor métrico sobre el espacio. En el espacio de Minkowski de dimensión n +1, hay dos opciones para la métrica con signatura opuesta , en el caso tridimensional (+, −, −) o (−, +, +). ${\displaystyle B}$

Si se elige la signatura (−, +, +), entonces el cuadrado escalar de las cuerdas entre puntos distintos en la misma hoja del hiperboloide será positivo, lo que se alinea más estrechamente con las definiciones y expectativas convencionales en matemáticas. Entonces, el espacio hiperbólico n -dimensional es un espacio de Riemann y la distancia o longitud se puede definir como la raíz cuadrada del cuadrado escalar. Si se elige la signatura (+, −, −), el cuadrado escalar entre puntos distintos en el hiperboloide será negativo, por lo que se deben ajustar varias definiciones de términos básicos, lo que puede ser inconveniente. No obstante, la signatura (+, −, −, −) también es común para describir el espacio-tiempo en física. (Cf. Convención de signos#Signatura métrica ).

Líneas rectas

Una línea recta en el espacio n hiperbólico se modela mediante una geodésica en el hiperboloide. Una geodésica en el hiperboloide es la intersección (no vacía) del hiperboloide con un subespacio lineal bidimensional (incluido el origen) del espacio de Minkowski n +1-dimensional. Si tomamos u y v como vectores base de ese subespacio lineal con

${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )=1}$

${\displaystyle B(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=-1}$

${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=B(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )=0}$

y utiliza w como parámetro real para los puntos de la geodésica, entonces

${\displaystyle \mathbf {u} \sinh w+\mathbf {v} \cosh w}$

será un punto en la geodésica. ^[1]

De manera más general, un "plano" de dimensión k en el espacio n hiperbólico se modelará mediante la intersección (no vacía) del hiperboloide con un subespacio lineal de dimensión k +1 (incluido el origen) del espacio de Minkowski.

Isometrías

El grupo ortogonal indefinido O(1, n ), también llamado grupo de Lorentz ( n +1)-dimensional , es el grupo de Lie de matrices reales ( n +1)×( n +1) que preservan la forma bilineal de Minkowski. En otro lenguaje, es el grupo de isometrías lineales del espacio de Minkowski . En particular, este grupo preserva el hiperboloide S. Recordemos que los grupos ortogonales indefinidos tienen cuatro componentes conexos, correspondientes a la inversión o preservación de la orientación en cada subespacio (aquí unidimensional y n -dimensional), y forman un cuatrigrupo de Klein . El subgrupo de O(1, n ) que preserva el signo de la primera coordenada es el grupo de Lorentz ortócrono , denotado O ⁺ (1, n ), y tiene dos componentes, correspondientes a la preservación o inversión de la orientación del subespacio espacial. Su subgrupo SO ⁺ (1, n ) formado por matrices con determinante uno es un grupo de Lie conexo de dimensión n ( n +1)/2 que actúa sobre S ⁺ mediante automorfismos lineales y conserva la distancia hiperbólica. Esta acción es transitiva y el estabilizador del vector (1,0,...,0) está formado por las matrices de la forma

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&\ldots &0\\0&&&\\[-4mu]\vdots &&A&\\0&&&\\\end{pmatrix}}}$

Donde pertenece al grupo ortogonal especial compacto SO( n ) (generalizando el grupo de rotación SO(3) para n = 3 ). De ello se deduce que el espacio hiperbólico n -dimensional puede presentarse como el espacio homogéneo y un espacio simétrico riemanniano de rango 1, ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}=\mathrm {SO} ^{+}(1,n)/\mathrm {SO} (n).}$

El grupo SO ⁺ (1, n ) es el grupo completo de isometrías que preservan la orientación del espacio hiperbólico n -dimensional.

En términos más concretos, SO ⁺ (1, n ) se puede dividir en n ( n -1)/2 rotaciones (formadas con una matriz de rotación euclidiana regular en el bloque inferior derecho) y n traslaciones hiperbólicas, que toman la forma

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cosh \alpha &\sinh \alpha &0&\cdots \\[2mu]\sinh \alpha &\cosh \alpha &0&\cdots \\[2mu]0&0&1&\\[-7mu]\vdots &\vdots &&\ddots \\\end{pmatrix}}}$

donde es la distancia trasladada (a lo largo del eje x en este caso), y la segunda fila/columna se puede intercambiar con un par diferente para cambiar a una traslación a lo largo de un eje diferente. La forma general de una traslación en 3 dimensiones a lo largo del vector es: ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (w,x,y,z)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w&x&y&z\\[2mu]x&\ {\dfrac {x^{2}}{w+1}}+1&{\dfrac {yx}{w+1}}&{\dfrac {zx}{w+1}}\\[2mu]y&{\dfrac {xy}{w+1}}&\,{\dfrac {y^{2}}{w+1}}+1&{\dfrac {zy}{w+1}}\\[2mu]z&{\dfrac {xz}{w+1}}&{\dfrac {yz}{w+1}}&{\dfrac {z^{2}}{w+1}}+1\end{pmatrix}}_{\vphantom {|}},}$

donde ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle w={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}}}$ . Esto se extiende naturalmente a más dimensiones y también es la versión simplificada de un aumento de Lorentz cuando se eliminan los términos específicos de la relatividad.

Ejemplos de grupos de isometrías

El grupo de todas las isometrías del modelo hiperboloide es O ⁺ (1, n ). Cualquier grupo de isometrías es un subgrupo del mismo.

Reflexiones

Para dos puntos , hay una reflexión única intercambiándolos. ${\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} \in \mathbb {H} ^{n},\mathbf {p} \neq \mathbf {q} }$

Sea . Nótese que , y por lo tanto . ${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\mathbf {p} -\mathbf {q} }{\sqrt {Q(\mathbf {p} -\mathbf {q} )}}}}$ ${\displaystyle Q(\mathbf {u} )=1}$ ${\displaystyle u\notin \mathbb {H} ^{n}}$

Entonces

${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {x} -2B(\mathbf {x} ,\mathbf {u} )\mathbf {u} }$

es una reflexión que intercambia y . Esto es equivalente a la siguiente matriz: ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$

${\displaystyle R=I-2\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\operatorname {T} }{\begin{pmatrix}-1&0\\0&I\\\end{pmatrix}}}$

(nótese el uso de notación de matriz de bloques ).

Entonces es un grupo de isometrías. Todos estos subgrupos son conjugados . ${\displaystyle \{I,R\}}$

Rotaciones y reflexiones

${\displaystyle S=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&A\\\end{pmatrix}}:A\in O(n)\right\}}$

es el grupo de rotaciones y reflexiones que preservan . La función es un isomorfismo de O( n ) a este grupo. Para cualquier punto , si es una isometría que se asigna a , entonces es el grupo de rotaciones y reflexiones que preservan . ${\displaystyle (1,0,\dots ,0)}$ ${\displaystyle A\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&A\\\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (1,0,\dots ,0)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle XSX^{-1}}$ ${\displaystyle p}$

Traducciones

Para cualquier número real , existe una traducción ${\displaystyle t}$

${\displaystyle L_{t}={\begin{pmatrix}\cosh t&\sinh t&0\\\sinh t&\cosh t&0\\0&0&I\\\end{pmatrix}}}$

Esta es una traslación de distancia en la dirección x positiva si o de distancia en la dirección x negativa si . Cualquier traslación de distancia es conjugada a y . El conjunto es el grupo de traslaciones a través del eje x, y un grupo de isometrías es conjugado a él si y solo si es un grupo de isometrías a través de una línea. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle -t}$ ${\displaystyle t\leq 0}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle L_{t}}$ ${\displaystyle L_{-t}}$ ${\displaystyle \left\{L_{t}:t\in \mathbb {R} \right\}}$

Por ejemplo, digamos que queremos encontrar el grupo de traslaciones a través de una línea . Sea una isometría que se asigna a y sea una isometría que fija y se asigna a . Un ejemplo de tal es una reflexión que intercambia y (asumiendo que son diferentes), porque ambos están a la misma distancia de . Entonces es una isometría que se asigna a y un punto en el eje x positivo a . es una traslación a través de la línea de distancia . Si , está en la dirección . Si , está en la dirección . es el grupo de traslaciones a través de . ${\displaystyle {\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (1,0,\dots ,0)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle XL_{d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )}[1,0,\dots ,0]^{\operatorname {T} }}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle XL_{d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )}[1,0,\dots ,0]^{\operatorname {T} }}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle YX}$ ${\displaystyle (1,0,\dots ,0)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle (YX)L_{t}(YX)^{-1}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}$ ${\displaystyle |t|}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}$ ${\displaystyle t\leq 0}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {q} \mathbf {p} }}}$ ${\displaystyle \left\{(YX)L_{t}(YX)^{-1}:t\in \mathbb {R} \right\}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}$

Simetrías de las horósferas

Sea H una horósfera tal que los puntos de la forma estén dentro de ella para un valor x arbitrario . Para cualquier vector b en ${\displaystyle (w,x,0,\dots ,0)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1+{\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {b} \|^{2}&-{\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {b} \|^{2}&\mathbf {b} ^{\operatorname {T} }\\[2mu]{\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {b} \|^{2}&1-{\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {b} \|^{2}&\mathbf {b} ^{\operatorname {T} }\\[2mu]\mathbf {b} &-\mathbf {b} &I\end{pmatrix}}}$

es una hororrotación que asigna H a sí misma. El conjunto de tales hororrotaciones es el grupo de hororrotaciones que preserva H. Todas las hororrotaciones son conjugadas entre sí.

Para cualquier en O( n -1) ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&A\\\end{pmatrix}}}$

es una rotación o reflexión que preserva H y el eje x. Estas hororrotaciones, rotaciones y reflexiones generan el grupo de simetrías de H . El grupo de simetría de cualquier horosfera es conjugado a ella. Son isomorfos al grupo euclidiano E( n -1).

Historia

En varios artículos entre 1878 y 1885, Wilhelm Killing ^{[2] [3] [4]} utilizó la representación que atribuyó a Karl Weierstrass para la geometría lobachevskiana . En particular, analizó formas cuadráticas como o en dimensiones arbitrarias , donde es la medida recíproca de la curvatura, denota geometría euclidiana , geometría elíptica y geometría hiperbólica. ${\displaystyle k^{2}t^{2}+u^{2}+v^{2}+w^{2}=k^{2}}$ ${\displaystyle k^{2}x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=k^{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k^{2}=\infty }$ ${\displaystyle k^{2}>0}$ ${\displaystyle k^{2}<0}$

Según Jeremy Gray (1986), ^[5] Poincaré utilizó el modelo hiperboloide en sus notas personales en 1880. Poincaré publicó sus resultados en 1881, en los que discutió la invariancia de la forma cuadrática . ^[6] Gray muestra dónde está implícito el modelo hiperboloide en escritos posteriores de Poincaré. ^[7] ${\displaystyle \xi ^{2}+\eta ^{2}-\zeta ^{2}=-1}$

También Homersham Cox en 1882 ^{[8] [9]} utilizó coordenadas de Weierstrass (sin utilizar este nombre) satisfaciendo la relación así como . ${\displaystyle z^{2}-x^{2}-y^{2}=1}$ ${\displaystyle w^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=1}$

Alfred Clebsch y Ferdinand Lindemann dieron una exposición más amplia del modelo en 1891, discutiendo la relación y . ^[10] ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4k^{2}x_{3}^{2}=-4k^{2}}$ ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4k^{2}x_{4}^{2}=-4k^{2}}$

Las coordenadas de Weierstrass también fueron utilizadas por Gérard (1892), ^[11] Felix Hausdorff (1899), ^[12] Frederick S. Woods (1903)], ^[13] Heinrich Liebmann (1905). ^[14]

El hiperboloide fue explorado como un espacio métrico por Alexander Macfarlane en sus Papers in Space Analysis (1894). Observó que los puntos del hiperboloide podían escribirse como

${\displaystyle \cosh A+\alpha \sinh A,}$

donde α es un vector base ortogonal al eje del hiperboloide. Por ejemplo, obtuvo la ley hiperbólica de los cosenos mediante el uso de su Álgebra de la Física . ^[1]

H. Jansen hizo del modelo hiperboloide el foco explícito de su artículo de 1909 "Representación de la geometría hiperbólica en un hiperboloide de dos láminas". ^[15] En 1993, WF Reynolds contó parte de la historia inicial del modelo en su artículo en el American Mathematical Monthly . ^[16]

Siendo un modelo común en el siglo XX, Hermann Minkowski lo identificó con los Geschwindigkeitsvectoren (vectores de velocidad) en su conferencia de Göttingen de 1907 "El principio de relatividad". Scott Walter, en su artículo de 1999 "El estilo no euclidiano de la relatividad minkowskiana" ^[17], recuerda la conciencia de Minkowski, pero rastrea el linaje del modelo hasta Hermann Helmholtz en lugar de Weierstrass y Killing.

En los primeros años de la relatividad, Vladimir Varićak utilizó el modelo hiperboloide para explicar la física de la velocidad. En su discurso ante la Unión Matemática Alemana en 1912, hizo referencia a las coordenadas de Weierstrass. ^[18]

Véase también

• Modelo de disco de Poincaré
• Cuaterniones hiperbólicos

Notas y referencias

1. Alexander Macfarlane (1894) Documentos sobre análisis espacial , B. Westerman, Nueva York, enlace web desde archive.org
2. Matar, W. (1878) [1877]. "Ueber zwei Raumformen mit constanter positiver Krümmung". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 86 : 72–83.
3. Matar, W. (1880) [1879]. "Die Rechnung in den Nicht-Euklidischen Raumformen". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 89 : 265–287.
4. Matar, W. (1885). Die nicht-euklidischen Raumformen. Leipzig.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
5. Ecuaciones diferenciales lineales y teoría de grupos desde Riemann hasta Poincaré (páginas 271,2)
6. Poincaré, H. (1881). "Sobre las aplicaciones de la geometría no euclidiana a la teoría de las formas cuadradas" (PDF) . Asociación Francesa para el Avance de las Ciencias . 10 : 132-138.
7. Véase también Poincaré: Sobre las hipótesis fundamentales de la geometría 1887 Obras completas vol.11, 71-91 y mencionado en el libro de BA Rosenfeld A History of Non-Euclidean Geometry p.266 en la versión inglesa (Springer 1988).
8. Cox, H. (1881). "Coordenadas homogéneas en geometría imaginaria y su aplicación a sistemas de fuerzas". The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics . 18 (70): 178–192.
9. Cox, H. (1882) [1881]. "Coordenadas homogéneas en geometría imaginaria y su aplicación a sistemas de fuerzas (continuación)". The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics . 18 (71): 193–215.
10. Lindemann, F. (1891) [1890]. Vorlesungen über Geometrie von Clebsch II. Leipzig. pag. 524.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
11. Gerard, L. (1892). Sur la géométrie non-Euclidienne. París: Gauthier-Villars.
12. Hausdorff, F. (1899). "Analytische Beiträge zur nichteuklidischen Geometrie". Leipziger Matemáticas-Física. Berichte . 51 : 161–214. hdl :2027/hvd.32044092889328.
13. Woods, FS (1905) [1903]. "Formas del espacio no euclidiano". El Coloquio de Boston: Lecciones de matemáticas para el año 1903 : 31–74.
14. Liebmann, H. (1905) [1904]. Nichteuklidische Geometrie. Leipzig: Göschen.
15. Abbildung hyperbolische Geometrie auf ein zweischaliges Hyperboloid Mitt. Matemáticas. Gesellsch Hamburgo 4:409–440.
16. Reynolds, William F. (1993) "Geometría hiperbólica en un hiperboloide", American Mathematical Monthly 100:442–55, enlace a Jstor
17. Walter, Scott A. (1999), "El estilo no euclidiano de la relatividad minkowskiana", en J. Gray (ed.), El universo simbólico: geometría y física 1890-1930 , Oxford University Press, págs. 91-127
18. Varićak, V. (1912), "Sobre la interpretación no euclidiana de la teoría de la relatividad"  , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 21 : 103-127

• Alekseevskij, DV; Vinberg, EB ; Solodovnikov, AS (1993), Geometría de espacios de curvatura constante , Enciclopedia de Ciencias Matemáticas, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-52000-9
• Anderson, James (2005), Geometría hiperbólica , Springer Undergraduate Mathematics Series (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-1-85233-934-0
• Ratcliffe, John G. (1994), Fundamentos de variedades hiperbólicas , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94348-0, Capítulo 3
• Miles Reid y Balázs Szendröi (2005) Geometría y topología , Figura 3.10, p. 45, Cambridge University Press , ISBN 0-521-61325-6 , MR 2194744. 
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• Parkkonen, Jouni. «GEOMETRÍA HIPERBÓLICA» (PDF) . Consultado el 5 de septiembre de 2020 .