Sistemas de coordenadas para el plano hiperbólico

En el plano hiperbólico , al igual que en el plano euclidiano , cada punto puede identificarse de forma única mediante dos números reales . En la geometría hiperbólica se utilizan varias formas cualitativamente diferentes de coordinar el plano.

Este artículo intenta ofrecer una visión general de varios sistemas de coordenadas en uso para el plano hiperbólico bidimensional.

En las descripciones siguientes, la curvatura gaussiana constante del plano es −1. Sinh , cosh y tanh son funciones hiperbólicas .

Sistema de coordenadas polares

Puntos del sistema de coordenadas polares con polo O y eje polar L. En verde, el punto con coordenada radial 3 y coordenada angular 60 grados o (3, 60°) . En azul, el punto (4, 210°) .

El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto de un plano está determinado por una distancia desde un punto de referencia y un ángulo desde una dirección de referencia.

El punto de referencia (análogo al origen de un sistema cartesiano ) se denomina polo y el rayo que parte del polo en la dirección de referencia es el eje polar . La distancia desde el polo se denomina coordenada radial o radio y el ángulo se denomina coordenada angular o ángulo polar .

De la ley hiperbólica de los cosenos , obtenemos que la distancia entre dos puntos dados en coordenadas polares es

${\displaystyle \operatorname {dist} (\langle r_{1},\theta _{1}\rangle ,\langle r_{2},\theta _{2}\rangle )=\operatorname {arcosh} \,\left(\cosh r_{1}\cosh r_{2}-\sinh r_{1}\sinh r_{2}\cos(\theta _{2}-\theta _{1})\right)\,.}$

Sea , diferenciando en : ${\displaystyle r=r_{1}=r_{2},\theta =\theta _{2}-\theta _{1}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {\theta }}}=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {\theta }}}\operatorname {dist} (\langle r,\theta _{1}\rangle ,\langle r,\theta _{1}+\theta \rangle )\right|_{\theta =0}&=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {\theta }}}\operatorname {arcosh} \,\left(\cosh ^{2}r-\sinh ^{2}r\cos(\theta )\right)\right|_{\theta =0}\\&=\sinh(r)\end{aligned}}}$

obtenemos el tensor métrico correspondiente : ${\displaystyle (\mathrm {d} s)^{2}=(\mathrm {d} r)^{2}+\sinh ^{2}r\,(\mathrm {d} \theta )^{2}\,.}$

Las líneas rectas se describen mediante ecuaciones de la forma

${\displaystyle \theta =\theta _{0}\pm {\frac {\pi }{2}}\quad {\text{ or }}\quad \tanh r=\tanh r_{0}\sec(\theta -\theta _{0})}$

donde r ₀ y θ ₀ son las coordenadas del punto más cercano en la línea al polo.

Sistema modelo de cuadrante

El modelo de semiplano de Poincaré está estrechamente relacionado con un modelo del plano hiperbólico en el cuadrante Q = {( x,y ): x > 0, y > 0}. Para dicho punto, la media geométrica y el ángulo hiperbólico producen un punto ( u,v ) en el semiplano superior. La métrica hiperbólica en el cuadrante depende de la métrica del semiplano de Poincaré. Los movimientos del modelo de Poincaré se trasladan al cuadrante; en particular, los desplazamientos a la izquierda o a la derecha del eje real corresponden a rotaciones hiperbólicas del cuadrante. Debido al estudio de las proporciones en física y economía, donde el cuadrante es el universo del discurso, se dice que sus puntos están ubicados por coordenadas hiperbólicas . ${\displaystyle v={\sqrt {xy}}}$ ${\displaystyle u=\ln {\sqrt {x/y}}}$

Sistemas de coordenadas de estilo cartesiano

En la geometría hiperbólica no existen los rectángulos . La suma de los ángulos de un cuadrilátero en la geometría hiperbólica es siempre menor que 4 ángulos rectos (véase el cuadrilátero de Lambert ). Además, en la geometría hiperbólica no existen líneas equidistantes (véase hiperciclos ). Todo esto influye en los sistemas de coordenadas.

Sin embargo, existen diferentes sistemas de coordenadas para la geometría del plano hiperbólico. Todos se basan en la elección de un punto real (no ideal ) (el origen ) en una línea dirigida elegida (el eje x ) y, a partir de ahí, existen muchas opciones.

Coordenadas axiales

Las coordenadas axiales x _a e y _a se obtienen construyendo un eje y perpendicular al eje x a través del origen. ^[1]

Al igual que en el sistema de coordenadas cartesianas , las coordenadas se obtienen trazando perpendiculares desde el punto sobre los ejes x e y . x _a es la distancia desde el pie de la perpendicular en el eje x hasta el origen (considerado positivo en un lado y negativo en el otro); y _a es la distancia desde el pie de la perpendicular en el eje y hasta el origen.

Círculos alrededor del origen en coordenadas axiales hiperbólicas.

Todo punto y la mayoría de los puntos ideales tienen coordenadas axiales, pero no todo par de números reales corresponde a un punto.

Si entonces es un punto ideal. ${\displaystyle \tanh ^{2}(x_{a})+\tanh ^{2}(y_{a})=1}$ ${\displaystyle P(x_{a},y_{a})}$

Si entonces no es un punto en absoluto. ${\displaystyle \tanh ^{2}(x_{a})+\tanh ^{2}(y_{a})>1}$ ${\displaystyle P(x_{a},y_{a})}$

La distancia de un punto al eje x es . Al eje y es . ${\displaystyle P(x_{a},y_{a})}$ ${\displaystyle \operatorname {artanh} \left(\tanh(y_{a})\cosh(x_{a})\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {artanh} \left(\tanh(x_{a})\cosh(y_{a})\right)}$

La relación entre las coordenadas axiales y las coordenadas polares (suponiendo que el origen es el polo y que el eje x positivo es el eje polar) es

${\displaystyle x=\operatorname {artanh} \,(\tanh r\cos \theta )}$

${\displaystyle y=\operatorname {artanh} \,(\tanh r\sin \theta )}$

${\displaystyle r=\operatorname {artanh} \,({\sqrt {\tanh ^{2}x+\tanh ^{2}y}}\,)}$

${\displaystyle \theta =2\operatorname {arctan} \,\left({\frac {\tanh y}{\tanh x+{\sqrt {\tanh ^{2}x+\tanh ^{2}y}}}}\right)\,.}$

Coordenadas de Lobachevsky

Las coordenadas de Lobachevsky x _{ℓ e} y ℓ se obtienen trazando una perpendicular sobre el eje x . x _ℓ es la distancia desde el pie de la perpendicular al eje x hasta el origen (positiva en un lado y negativa en el otro, lo mismo que en las coordenadas axiales). ^[1]

y _ℓ es la distancia a lo largo de la perpendicular del punto dado hasta su pie (positiva en un lado y negativa en el otro).

${\displaystyle x_{l}=x_{a}\ ,\ \tanh(y_{l})=\tanh(y_{a})\cosh(x_{a})\ ,\ \tanh(y_{a})={\frac {\tanh(y_{l})}{\cosh(x_{l})}}}$.

Las coordenadas de Lobachevsky son útiles para la integración de la longitud de las curvas ^[2] y el área entre líneas y curvas. ^{[ ejemplo necesario ]}

Las coordenadas de Lobachevsky reciben su nombre de Nikolai Lobachevsky, uno de los descubridores de la geometría hiperbólica .

Círculos alrededor del origen de radio 1, 5 y 10 en las coordenadas hiperbólicas de Lobachevsky.

Círculos alrededor de los puntos (0,0), (0,1), (0,2) y (0,3) de radio 3,5 en las coordenadas hiperbólicas de Lobachevsky.

Construya un sistema de coordenadas cartesiano de la siguiente manera. Elija una línea (el eje x ) en el plano hiperbólico (con una curvatura estandarizada de -1) y etiquete los puntos en ella por su distancia desde un punto de origen ( x = 0) en el eje x (positivo en un lado y negativo en el otro). Para cualquier punto en el plano, se pueden definir las coordenadas x e y colocando una perpendicular en el eje x . x será la etiqueta del pie de la perpendicular. y será la distancia a lo largo de la perpendicular del punto dado desde su pie (positivo en un lado y negativo en el otro). Entonces la distancia entre dos de esos puntos será

${\displaystyle \operatorname {dist} (\langle x_{1},y_{1}\rangle ,\langle x_{2},y_{2}\rangle )=\operatorname {arcosh} \left(\cosh y_{1}\cosh(x_{2}-x_{1})\cosh y_{2}-\sinh y_{1}\sinh y_{2}\right)\,.}$

Esta fórmula se puede derivar de las fórmulas sobre triángulos hiperbólicos .

El tensor métrico correspondiente es: . ${\displaystyle (\mathrm {d} s)^{2}=\cosh ^{2}y\,(\mathrm {d} x)^{2}+(\mathrm {d} y)^{2}}$

En este sistema de coordenadas, las líneas rectas son perpendiculares al eje x (con la ecuación x = una constante) o se describen mediante ecuaciones de la forma

${\displaystyle \tanh y=A\cosh x+B\sinh x\quad {\text{ when }}\quad A^{2}<1+B^{2}}$

donde A y B son parámetros reales que caracterizan la línea recta.

La relación de las coordenadas de Lobachevsky con las coordenadas polares (asumiendo que el origen es el polo y que el eje x positivo es el eje polar) es

${\displaystyle x=\operatorname {artanh} \,(\tanh r\cos \theta )}$

${\displaystyle y=\operatorname {arsinh} \,(\sinh r\sin \theta )}$

${\displaystyle r=\operatorname {arcosh} \,(\cosh x\cosh y)}$

${\displaystyle \theta =2\operatorname {arctan} \,\left({\frac {\sinh y}{\sinh x\cosh y+{\sqrt {\cosh ^{2}x\cosh ^{2}y-1}}}}\right)\,.}$

Sistema de coordenadas basado en horociclo

Sistema de coordenadas basado en horociclo

Otro sistema de coordenadas representa cada punto hiperbólico mediante dos números reales, definidos en relación con un horociclo dado . Estos números son la distancia hiperbólica desde hasta el horociclo y la longitud del arco (con signo) a lo largo del horociclo entre un punto de referencia fijo y , donde es el punto más cercano en el horociclo a . ^[3] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x_{h}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle y_{h}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle P_{h}}$ ${\displaystyle P_{h}}$ ${\displaystyle P}$

Sistemas de coordenadas basados ​​en modelos

Los sistemas de coordenadas basados ​​en modelos utilizan uno de los modelos de geometría hiperbólica y toman las coordenadas euclidianas dentro del modelo como coordenadas hiperbólicas.

Coordenadas de Beltrami

Las coordenadas de Beltrami de un punto son las coordenadas cartesianas del punto cuando el punto se asigna al modelo de Beltrami-Klein del plano hiperbólico, el eje x se asigna al segmento (−1,0) − (1,0) y el origen se asigna al centro del círculo límite. ^[1]

Las siguientes ecuaciones son válidas:

${\displaystyle x_{b}=\tanh(x_{a}),\ y_{b}=\tanh(y_{a})}$

Coordenadas de Poincaré

Las coordenadas de Poincaré de un punto son las coordenadas cartesianas del punto cuando el punto se asigna al modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico, ^[1] el eje x se asigna al segmento (−1,0) − (1,0) y el origen se asigna al centro del círculo límite.

Las coordenadas de Poincaré, en términos de las coordenadas de Beltrami, son:

${\displaystyle x_{p}={\frac {x_{b}}{1+{\sqrt {1-x_{b}^{2}-y_{b}^{2}}}}},\ \ y_{p}={\frac {y_{b}}{1+{\sqrt {1-x_{b}^{2}-y_{b}^{2}}}}}}$

Coordenadas de Weierstrass

Las coordenadas de Weierstrass de un punto son las coordenadas cartesianas del punto cuando el punto se asigna al modelo hiperboloide del plano hiperbólico, el eje x se asigna a la (media) hipérbola y el origen se asigna al punto (0,0,1). ^[1] ${\displaystyle (t\ ,\ 0\ ,\ {\sqrt {t^{2}+1}})}$

El punto P con coordenadas axiales ( x _a ,  y _a ) se asigna a

${\displaystyle \left({\frac {\tanh x_{a}}{\sqrt {1-\tanh ^{2}x_{a}-\tanh ^{2}y_{a}}}}\ ,\ {\frac {\tanh y_{a}}{\sqrt {1-\tanh ^{2}x_{a}-\tanh ^{2}y_{a}}}}\ ,\ {\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}x_{a}-\tanh ^{2}y_{a}}}}\right)}$

Otros

Coordenadas del girovector

Espacio girovectorial

Coordenadas baricéntricas hiperbólicas

Del espacio girovectorial#Centros de triángulos

El estudio de los centros de los triángulos se ha centrado tradicionalmente en la geometría euclidiana, pero también se pueden estudiar en la geometría hiperbólica. Mediante la girotrigonometría se pueden calcular expresiones para coordenadas trigonométricas baricéntricas que tienen la misma forma tanto para la geometría euclidiana como para la hiperbólica. Para que las expresiones coincidan, no deben incluir la especificación de que la suma de los ángulos es de 180 grados. ^{[4] [5] [6]}

Referencias

1. Martin, George E. (1998). Los fundamentos de la geometría y el plano no euclidiano (4.ª edición impresa corregida). Nueva York, NY: Springer. pp. 447–450. ISBN 0387906940.
2. Smorgorzhevsky, AS (1982). Geometría lobachevskiana . Moscú: Mir. pp. 64–68.
3. Ramsay, Arlan; Richtmyer, Robert D. (1995). Introducción a la geometría hiperbólica . Nueva York: Springer-Verlag. pp. 97–103. ISBN 0387943390.
4. Coordenadas baricéntricas hiperbólicas, Abraham A. Ungar, The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications, AJMAA, volumen 6, número 1, artículo 18, págs. 1–35, 2009
5. Centros de triángulos hiperbólicos: el enfoque relativista especial, Abraham Ungar, Springer, 2010
6. Cálculo baricéntrico en geometría euclidiana e hiperbólica: una introducción comparativa Archivado el 19 de mayo de 2012 en Wayback Machine , Abraham Ungar, World Scientific, 2010