Modelo Heston

Modelo en finanzas

En finanzas, el modelo de Heston , llamado así en honor a Steven L. Heston , es un modelo matemático que describe la evolución de la volatilidad de un activo subyacente . ^[1] Es un modelo de volatilidad estocástica : un modelo de este tipo supone que la volatilidad del activo no es constante, ni siquiera determinista, sino que sigue un proceso aleatorio .

Modelo básico de Heston

El modelo básico de Heston supone que S _t , el precio del activo, está determinado por un proceso estocástico, ^{[1] [2]}

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+{\sqrt {\nu _{t}}}S_{t}\,dW_{t}^{S},}$

donde la volatilidad sigue un proceso de Ornstein-Uhlenbeck ${\displaystyle {\sqrt {\nu _{t}}}}$

${\displaystyle d{\sqrt {\nu _{t}}}=-\theta {\sqrt {\nu _{t}}}\,dt+\delta \,dW_{t}^{\nu }.}$

El lema de Itô muestra entonces que , la varianza instantánea, se da mediante un proceso de raíz cuadrada de Feller o CIR , ${\displaystyle \nu _{t}}$

${\displaystyle d\nu _{t}=\kappa (\theta -\nu _{t})\,dt+\xi {\sqrt {\nu _{t}}}\,dW_{t}^{\nu },}$

y son procesos de Wiener (es decir, caminatas aleatorias continuas) con correlación ρ. ${\displaystyle W_{t}^{S},W_{t}^{\nu }}$

El modelo tiene cinco parámetros:

• ${\displaystyle \nu _{0}}$, la varianza inicial.
• ${\displaystyle \theta }$, la varianza larga, o varianza promedio de largo plazo del precio; como t tiende a infinito, el valor esperado de ν _t tiende a θ.
• ${\displaystyle \rho }$, la correlación de los dos procesos de Wiener .
• ${\displaystyle \kappa }$, la velocidad a la que ν _t vuelve a θ.
• ${\displaystyle \xi }$, la volatilidad de la volatilidad, o 'vol de vol', que determina la varianza de ν _t .

Si los parámetros obedecen a la siguiente condición (conocida como condición de Feller), entonces el proceso es estrictamente positivo ^[3] ${\displaystyle \nu _{t}}$

${\displaystyle 2\kappa \theta >\xi ^{2}.}$

Medida neutral al riesgo

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Un concepto fundamental en la fijación de precios de derivados es la medida de neutralidad de riesgo ; esto se explica con más profundidad en el artículo anterior. Para nuestros propósitos, es suficiente señalar lo siguiente:

1. Para fijar el precio de un derivado cuyo pago es una función de uno o más activos subyacentes, evaluamos el valor esperado de su pago descontado bajo una medida neutral al riesgo.
2. Una medida neutral al riesgo, también conocida como medida martingala equivalente, es una medida que es equivalente a la medida del mundo real y que está libre de arbitraje: bajo dicha medida, el precio descontado de cada uno de los activos subyacentes es una martingala. Véase el teorema de Girsanov .
3. En los marcos de Black-Scholes y Heston (donde las filtraciones se generan a partir de un conjunto linealmente independiente de procesos de Wiener únicamente), cualquier medida equivalente se puede describir en un sentido muy amplio agregando una deriva a cada uno de los procesos de Wiener.
4. Seleccionando ciertos valores para las desviaciones descritas anteriormente, podemos obtener una medida equivalente que cumpla la condición de libre arbitraje.

Consideremos una situación general en la que tenemos activos subyacentes y un conjunto linealmente independiente de procesos de Wiener. El conjunto de medidas equivalentes es isomorfo a R ^m , el espacio de posibles desviaciones. Consideremos que el conjunto de medidas martingala equivalentes es isomorfo a una variedad incorporada en R ^m ; inicialmente, consideremos la situación en la que no tenemos activos y es isomorfo a R ^m . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Ahora, consideremos que cada uno de los activos subyacentes proporciona una restricción al conjunto de medidas equivalentes, ya que su proceso de descuento esperado debe ser igual a una constante (es decir, su valor inicial). Al agregar un activo a la vez, podemos considerar que cada restricción adicional reduce la dimensión de en una dimensión. Por lo tanto, podemos ver que en la situación general descrita anteriormente, la dimensión del conjunto de medidas martingala equivalentes es . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m-n}$

En el modelo de Black-Scholes , tenemos un activo y un proceso de Wiener. La dimensión del conjunto de medidas de martingala equivalentes es cero; por lo tanto, se puede demostrar que existe un único valor para la deriva y, por lo tanto, una única medida neutral al riesgo, bajo la cual el activo descontado será una martingala. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle e^{-\rho t}S_{t}}$

En el modelo de Heston, todavía tenemos un activo (no se considera que la volatilidad sea directamente observable o negociable en el mercado), pero ahora tenemos dos procesos de Wiener: el primero en la ecuación diferencial estocástica (EDS) para el precio de las acciones y el segundo en la EDS para la varianza del precio de las acciones. Aquí, la dimensión del conjunto de medidas martingala equivalentes es uno; no hay una única medida libre de riesgo. ^{[ cita requerida ]}

Por supuesto, esto es problemático; si bien cualquiera de las medidas libres de riesgo puede usarse teóricamente para fijar el precio de un derivado, es probable que cada una de ellas dé un precio diferente. Sin embargo, en teoría, solo una de estas medidas libres de riesgo sería compatible con los precios de mercado de las opciones dependientes de la volatilidad (por ejemplo, las opciones de compra europeas o, de manera más explícita, los swaps de varianza ). Por lo tanto, podríamos agregar un activo dependiente de la volatilidad; ^{[ cita requerida ]} al hacerlo, agregamos una restricción adicional y, por lo tanto, elegimos una única medida libre de riesgo que sea compatible con el mercado. Esta medida puede usarse para fijar el precio.

Implementación

• Carr y Madan demostraron el uso de la transformada de Fourier para valorar opciones . ^[4]

• Kahl y Jäckel analizaron la implementación del modelo de Heston. ^[5]

• Benhamou et al. presentaron una derivación de precios de opciones en forma cerrada para el modelo Heston dependiente del tiempo ^{[6] .}

• ^{Christoffersen et al. [7]} y Gauthier y Possamai ^[8] proporcionaron una derivación de precios de opciones de forma cerrada para el modelo doble de Heston.

• Grzelak y Oosterlee propusieron una extensión del modelo de Heston con tasas de interés estocásticas. ^[9]

• Cui et al. introdujeron una expresión de la función característica del modelo de Heston que es numéricamente continua y fácilmente diferenciable con respecto a los parámetros. ^[10]

• El uso del modelo en un contexto de volatilidad estocástica local fue propuesto por Van Der Weijst. ^[11]

• Kouritzin desarrolló una solución explícita de la ecuación de precios de Heston en términos de volatilidad. ^[12] Esta solución se puede combinar con soluciones débiles conocidas para la ecuación de volatilidad y el teorema de Girsanov para producir soluciones débiles explícitas del modelo de Heston. Estas soluciones son útiles para una simulación eficiente.

• Los precios de referencia de alta precisión están disponibles en una publicación de blog de Alan Lewis. ^[13]
• Hay pocas parametrizaciones conocidas de la superficie de volatilidad basadas en el modelo de Heston (Schonbusher, SVI y gSVI).

Calibración

La calibración del modelo de Heston a menudo se formula como un problema de mínimos cuadrados , donde la función objetivo minimiza la diferencia al cuadrado entre los precios observados en el mercado y los calculados a partir del modelo.

Los precios son típicamente los de las opciones tradicionales . A veces, el modelo también se calibra según la estructura temporal del swap de varianza, como en Guillaume y Schoutens. ^[14] Otro enfoque es incluir también opciones de inicio anticipado o de barrera , para capturar la sonrisa anticipada .

En el modelo de Heston, el precio de las opciones convencionales se proporciona analíticamente, pero se requiere un método numérico para calcular la integral. Le Floc'h ^{[15] resumió las diversas cuadraturas aplicadas y propuso una} cuadratura de Filon adaptativa eficiente .

La calibración generalmente requiere el gradiente de la función objetivo con respecto a los parámetros del modelo. Esto generalmente se calculó con una aproximación de diferencia finita, aunque es menos precisa, menos eficiente y menos elegante que un gradiente analítico porque una expresión reveladora de este último estuvo disponible solo cuando Cui et al. introdujeron una nueva representación de la función característica en 2017 ^[10] . Otra posibilidad es recurrir a la diferenciación automática . Por ejemplo, el modo tangente de la diferenciación algorítmica se puede aplicar utilizando números duales de manera sencilla.

Véase también

• Volatilidad estocástica
• Medida neutral al riesgo (otro nombre para la medida martingala equivalente)
• Teorema de Girsanov
• Martingala (teoría de la probabilidad)
• Modelo de volatilidad SABR
• Código MATLAB para implementación por Kahl, Jäckel y Lord

Referencias

1. Heston, Steven L. (1993). "Una solución de forma cerrada para opciones con volatilidad estocástica con aplicaciones a opciones sobre bonos y divisas". Review of Financial Studies . 6 (2): 327–343. doi :10.1093/rfs/6.2.327. JSTOR  2962057. S2CID  16091300.
2. Wilmott, P. (2006), Paul Wilmott sobre finanzas cuantitativas (2.ª ed.), pág. 861
3. Albrecher, H.; Mayer, P.; Schoutens, W.; Tistaert, J. (enero de 2007), "La pequeña trampa de Heston", Wilmott Magazine : 83–92, CiteSeerX 10.1.1.170.9335 
4. Carr, P.; Madan, D. (1999). "Valoración de opciones utilizando la transformada rápida de Fourier" (PDF) . Journal of Computational Finance . 2 (4): 61–73. CiteSeerX 10.1.1.6.9994 . doi :10.21314/JCF.1999.043. 
5. Kahl, C.; Jäckel, P. (2005). "Logaritmos no tan complejos en el modelo de Heston" (PDF) . Revista Wilmott : 74–103.
6. Benhamou, E.; Gobet, E.; Miri, M. (2009). "Modelo de Heston dependiente del tiempo". CiteSeerX 10.1.1.657.6271 . doi :10.2139/ssrn.1367955. S2CID  12804395. SSRN  1367955.  {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
7. Christoffersen, P.; Heston, S.; Jacobs, K. (2009). "La forma y la estructura temporal de la sonrisa burlona de las opciones sobre índices: por qué los modelos de volatilidad estocástica multifactorial funcionan tan bien". SSRN  1447362. {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
8. Gauthier, P.; Possamai, D. (2009). "Simulación eficiente del modelo doble de Heston". SSRN  1434853. {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
9. Grzelak, LA; Oosterlee, CW (2011). "Sobre el modelo de Heston con tasas de interés estocásticas". Revista SIAM de Matemáticas Financieras . 2 : 255–286. doi :10.1137/090756119. S2CID  9132119.
10. Cui, Y.; Del Baño Rollin, S.; Germano, G. (2017). "Calibración completa y rápida del modelo de volatilidad estocástica de Heston". Revista Europea de Investigación Operativa . 263 (2): 625–638. arXiv : 1511.08718 . doi :10.1016/j.ejor.2017.05.018. S2CID  25667130.
11. van der Weijst, Roel (2017). "Soluciones numéricas para el modelo de volatilidad local estocástica". {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
12. Kouritzin, M. (2018). "Soluciones explícitas de Heston y aproximación estocástica para la fijación de precios de opciones dependientes de la trayectoria". Revista Internacional de Finanzas Teóricas y Aplicadas . 21 : 1850006. arXiv : 1608.02028 . doi :10.1142/S0219024918500061. S2CID  158891879.
13. url=https://financepress.com/2019/02/15/precios-de-referencia-del-modelo-heston/
14. Guillaume, Florence; Schoutens, Wim (2013). "Modelo de Heston: calibración del swap de varianza". SSRN  2255550. {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
15. Le Floc'h, Fabien (2018). "Una cuadratura de Filon adaptativa para modelos de volatilidad estocástica". Revista de Finanzas Computacionales . 22 (3): 65–88. doi :10.21314/JCF.2018.356.

• Damghani, Babak Mahdavi; Kos, Andrew (2013). "Desarbitramiento con una sonrisa débil: aplicación para sesgar el riesgo". Wilmott . 2013 (1): 40–49. doi :10.1002/wilm.10201. S2CID  154646708.
• Mario, Dell'Era (2014). "SOLUCIÓN DE FORMA CERRADA PARA EJEMPLOS DE EJEMPLOS DE HESTON MEDIANTE TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS". 4 (6): 793–807. {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )