Cuadratura de Filón

Método de integración para integrales oscilatorias

En el análisis numérico , la cuadratura de Filon o método de Filon es una técnica de integración numérica de integrales oscilatorias . Recibe su nombre del matemático inglés Louis Napoleon George Filon , quien describió el método por primera vez en 1934. ^[1]

Descripción

El método se aplica a integrales definidas oscilatorias en la forma:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)dx}$

donde es una función que varía relativamente lentamente y es seno o coseno o una exponencial compleja que causa la oscilación rápida del integrando, particularmente para frecuencias altas. En la cuadratura de Filon, se divide en subintervalos de longitud , que luego se interpolan mediante parábolas . Dado que cada subintervalo ahora se convierte en una integral de Fourier de polinomios cuadráticos , estos se pueden evaluar en forma cerrada mediante integración por partes . Para el caso de , la fórmula de integración se da como: ^{[1] [2]} ${\textstyle f(x)}$ ${\textstyle g(x)}$ ${\textstyle f(x)}$ ${\textstyle 2N}$ ${\textstyle h}$ ${\textstyle g(x)=\cos(kx)}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\cos(kx)dx\approx h(\alpha \left[f(b)\sin(kb)-f(a)\sin(ka)\right]+\beta C_{2n}+\gamma C_{2n-1})}$

dónde

${\displaystyle \alpha =\left(\theta ^{2}+\theta \sin(\theta )\cos(\theta )-2\sin ^{2}(\theta )\right)/\theta ^{3}}$

${\displaystyle \beta =2\left[\theta (1+\cos ^{2}(\theta ))-2\sin(\theta )\cos(\theta )\right]/\theta ^{3}}$

${\displaystyle \gamma =4(\sin(\theta )-\theta \cos(\theta ))/\theta ^{3}}$

${\displaystyle C_{2n}={\frac {1}{2}}f(a)\cos(ka)+f(a+2h)\cos(k(a+2h))+f(a+4h)\cos(k(a+4h))+\ldots +{\frac {1}{2}}f(b)\cos(kb)}$

${\displaystyle C_{2n-1}=f(a+h)\cos(k(a+h))+f(a+3h)\cos(k(a+3h))+\ldots +f(b-h)\cos(k(b-h))}$

${\displaystyle \theta =kh}$

Las fórmulas explícitas de integración de Filon para funciones exponenciales complejas y seno se pueden derivar de manera similar. ^[2] Las fórmulas anteriores fallan para valores pequeños debido a la cancelación catastrófica ; ^{[3] Las aproximaciones} de la serie de Taylor deben realizarse en tales casos para mitigar errores numéricos, y se recomienda como un posible punto de cambio para la mantisa de 44 bits . ^[2] ${\textstyle \theta }$ ${\textstyle \theta =1/6}$

Se han reportado modificaciones, extensiones y generalizaciones de la cuadratura de Filon en la literatura de análisis numérico y matemáticas aplicadas ; estas se conocen como métodos de integración de tipo Filon. ^{[4] [5]} Estos incluyen los métodos Filon- trapezoidales ^[2] y Filon- Clenshaw-Curtis . ^[6]

Aplicaciones

La cuadratura de Filon se utiliza ampliamente en física e ingeniería para el cálculo robusto de integrales de tipo Fourier. Las aplicaciones incluyen la evaluación de integrales oscilatorias de Sommerfeld para problemas electromagnéticos y sísmicos en medios estratificados ^{[7] [8] [9]} y la solución numérica de problemas de flujo incompresible estable en mecánica de fluidos , ^[10] así como varios problemas diferentes en dispersión de neutrones , ^[11] mecánica cuántica ^[12] y metalurgia . ^[13]

Véase también

• Cuadratura de Tanh-Sinh

Referencias

1. Filon, LNG (1930). "III.—Sobre una fórmula de cuadratura para integrales trigonométricas". Actas de la Royal Society de Edimburgo . 49 : 38–47. doi :10.1017/S0370164600026262.
2. Davis, Philip J. ; Rabinowitz, Philip (1984). Métodos de integración numérica (2.ª edición). Academic Press. págs. 151–160. ISBN 9781483264288.
3. Chase, Stephen M.; Fosdick, Lloyd D. (1969). "Un algoritmo para la cuadratura de Filon". Comunicaciones de la ACM . 12 (8): 453–457. doi :10.1145/363196.363209.
4. Iserles, A.; Nørsett, SP (2004). "Sobre métodos de cuadratura para integrales altamente oscilatorias y su implementación". BIT Numerical Mathematics . 44 : 755–772. doi :10.1007/s10543-004-5243-3.
5. Xiang, Shuhuang (2007). "Métodos eficientes tipo Filon para". Matemática numérica . 105 : 633–658. doi :10.1007/s00211-006-0051-0.
6. Domínguez, V.; Graham, IG; Smyshlyaev, VP (2011). "Estimaciones de estabilidad y error para reglas de Filon–Clenshaw–Curtis para integrales altamente oscilatorias". IMA Journal of Numerical Analysis . 31 (4): 1253–1280. doi :10.1093/imanum/drq036.
7. Červený, Vlastislav; Ravindra, Ravi (1971). Teoría de las ondas de cabeza sísmicas . Prensa de la Universidad de Toronto. págs. 287–289. ISBN 9780802000491.
8. Mosig, JR; Gardiol, FE (1983). "Técnicas analíticas y numéricas en el tratamiento de la función de Green de antenas de microbanda y dispersores". IEE Proceedings H . 130 (2): 175–182. doi :10.1049/ip-h-1.1983.0029.
9. Chew, Weng Cho (1990). Ondas y campos en medios no homogéneos . Nueva York: Van Nostrand Reinhold . pág. 118. ISBN. 9780780347496.
10. Dennis, SCR; Chang, Gau-Zu (1970). "Soluciones numéricas para flujo constante que pasa por un cilindro circular con números de Reynolds de hasta 100". Journal of Fluid Mechanics . 42 (3): 471–489. doi :10.1017/S0022112070001428.
11. Grimley, David I.; Wright, Adrian C.; Sinclair, Roger N. (1990). "Dispersión de neutrones a partir de sílice vítrea IV. Difracción de tiempo de vuelo". Journal of Non-Crystalline Solids . 119 (1): 49–64. doi :10.1016/0022-3093(90)90240-M.
12. Fedotov, A.; Ilderton, A.; Karbstein, F.; King, B.; Seipt, D.; Taya, H.; Torgrimsson, G. (2023). "Avances en QED con campos de fondo intensos". Physics Reports . 1010 : 1–138. arXiv : 2203.00019 . doi :10.1016/j.physrep.2023.01.003.
13. Thouless, MD; Evans, AG; Ashby, MF; Hutchinson, JW (1987). "El agrietamiento y desconchado de los bordes de las placas frágiles". Acta Metallurgica . 35 (6): 1333–1341. doi :10.1016/0001-6160(87)90015-0.