Flujo incompresible

Flujo de fluido en el que la densidad permanece constante

En mecánica de fluidos , o más generalmente en mecánica de medios continuos , el flujo incompresible ( flujo isocórico ) se refiere a un flujo en el que la densidad del material de cada parcela de fluido (un volumen infinitesimal que se mueve con la velocidad del flujo ) es invariable en el tiempo. Una afirmación equivalente que implica flujo incompresible es que la divergencia de la velocidad del flujo es cero (ver la derivación a continuación, que ilustra por qué estas condiciones son equivalentes).

El flujo incompresible no implica que el fluido en sí sea incompresible. En la siguiente derivación se demuestra que, en las condiciones adecuadas, incluso el flujo de fluidos compresibles puede, con una buena aproximación, modelarse como flujo incompresible.

Derivación

El requisito fundamental para el flujo incompresible es que la densidad, , sea constante dentro de un pequeño volumen elemental, dV , que se mueve a la velocidad de flujo u . Matemáticamente, esta restricción implica que la derivada material (discutida a continuación) de la densidad debe anularse para garantizar el flujo incompresible. Antes de introducir esta restricción, debemos aplicar la conservación de la masa para generar las relaciones necesarias. La masa se calcula mediante una integral de volumen de la densidad, : ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {m}={\iiint \limits _{V}\!\rho \,\mathrm {d} V}.}$

La conservación de la masa requiere que la derivada temporal de la masa dentro de un volumen de control sea igual al flujo de masa, J , a través de sus límites. Matemáticamente, podemos representar esta restricción en términos de una integral de superficie :

${\displaystyle {\partial m \over \partial t}=-}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$

El signo negativo en la expresión anterior asegura que el flujo hacia afuera resulte en una disminución de la masa con respecto al tiempo, utilizando la convención de que el vector de área de superficie apunta hacia afuera. Ahora, utilizando el teorema de divergencia podemos derivar la relación entre el flujo y la derivada temporal parcial de la densidad:

${\displaystyle {\iiint \limits _{V}{\partial \rho \over \partial t}\,\mathrm {d} V}={-\iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)\,\mathrm {d} V},}$

por lo tanto:

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}=-\nabla \cdot \mathbf {J} .}$

La derivada parcial de la densidad con respecto al tiempo no necesita anularse para asegurar un flujo incompresible . Cuando hablamos de la derivada parcial de la densidad con respecto al tiempo, nos referimos a esta tasa de cambio dentro de un volumen de control de posición fija . Al dejar que la derivada parcial temporal de la densidad sea distinta de cero, no nos estamos restringiendo a fluidos incompresibles , porque la densidad puede cambiar como se observa desde una posición fija a medida que el fluido fluye a través del volumen de control. Este enfoque mantiene la generalidad y no requerir que la derivada parcial temporal de la densidad se anule ilustra que los fluidos compresibles aún pueden experimentar un flujo incompresible. Lo que nos interesa es el cambio en la densidad de un volumen de control que se mueve junto con la velocidad de flujo, u . El flujo está relacionado con la velocidad de flujo a través de la siguiente función:

${\displaystyle {\mathbf {J} }={\rho \mathbf {u} }.}$

De modo que la conservación de la masa implica que:

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)}={\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \rho \cdot \mathbf {u} }+{\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}=0.}$

La relación anterior (en la que hemos utilizado la regla del producto adecuada ) se conoce como ecuación de continuidad . Ahora, necesitamos la siguiente relación sobre la derivada total de la densidad (en la que aplicamos la regla de la cadena ):

${\displaystyle {\mathrm {d} \rho \over \mathrm {d} t}={\partial \rho \over \partial t}+{\partial \rho \over \partial x}{\mathrm {d} x \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho \over \partial y}{\mathrm {d} y \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho \over \partial z}{\mathrm {d} z \over \mathrm {d} t}.}$

Entonces, si elegimos un volumen de control que se mueve a la misma velocidad que el fluido (es decir, ( dx / dt ,  dy / dt ,  dz / dt ) =  u ), esta expresión se simplifica a la derivada material :

${\displaystyle {D\rho \over Dt}={\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \rho \cdot \mathbf {u} }.}$

Y entonces, utilizando la ecuación de continuidad derivada anteriormente, vemos que:

${\displaystyle {D\rho \over Dt}={-\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}.}$

Un cambio en la densidad a lo largo del tiempo implicaría que el fluido se había comprimido o expandido (o que la masa contenida en nuestro volumen constante, dV , había cambiado), lo cual hemos prohibido. Entonces debemos exigir que la derivada material de la densidad se anule y, equivalentemente (para una densidad distinta de cero), también debe hacerlo la divergencia de la velocidad del flujo:

${\displaystyle {\nabla \cdot \mathbf {u} }=0.}$

Y así, comenzando con la conservación de la masa y la restricción de que la densidad dentro de un volumen de fluido en movimiento permanece constante, se ha demostrado que una condición equivalente requerida para el flujo incompresible es que la divergencia de la velocidad del flujo se desvanezca.

Relación con la compresibilidad

En algunos campos, una medida de la incompresibilidad de un flujo es el cambio en la densidad como resultado de las variaciones de presión. Esto se expresa mejor en términos de compresibilidad.

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{\rho }}{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} p}}.}$

Si la compresibilidad es aceptablemente pequeña, el flujo se considera incompresible.

Relación con el campo solenoidal

Un flujo incompresible se describe mediante un campo de velocidad de flujo solenoidal . Pero un campo solenoidal, además de tener una divergencia cero, también tiene la connotación adicional de tener un rizo distinto de cero (es decir, un componente rotacional).

De lo contrario, si un flujo incompresible también tiene un rizo de cero, de modo que también es irrotacional , entonces el campo de velocidad del flujo es en realidad laplaciano .

Diferencia con el material

Como se definió anteriormente, un flujo incompresible (isocórico) es aquel en el que

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0.\,}$

Esto equivale a decir que

${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0}$

es decir, la derivada material de la densidad es cero. Por lo tanto, si se sigue un elemento material, su densidad de masa permanece constante. Nótese que la derivada material consta de dos términos. El primer término describe cómo cambia la densidad del elemento material con el tiempo. Este término también se conoce como término inestable . El segundo término describe los cambios en la densidad a medida que el elemento material se mueve de un punto a otro. Este es el término de advección (término de convección para campo escalar). Para que un flujo se considere como portador de incompresibilidad, la suma de acreción de estos términos debe desaparecer. ${\displaystyle {\tfrac {\partial \rho }{\partial t}}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \rho }$

Por otra parte, un material homogéneo e incompresible es aquel que tiene una densidad constante en todas sus partes. Para un material de este tipo, . Esto implica que, ${\displaystyle \rho ={\text{constant}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0}$y

${\displaystyle \nabla \rho =0}$ independientemente .

De la ecuación de continuidad se deduce que

${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0\ \Rightarrow \ \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

Por lo tanto, los materiales homogéneos siempre experimentan un flujo incompresible, pero lo inverso no es cierto, es decir, los materiales compresibles podrían no experimentar compresión en el flujo.

Restricciones de flujo relacionadas

En dinámica de fluidos, un flujo se considera incompresible si la divergencia de la velocidad del flujo es cero. Sin embargo, a veces se pueden utilizar formulaciones relacionadas, según el sistema de flujo que se esté modelando. A continuación se describen algunas versiones:

1. Flujo incompresible : puede asumir una densidad constante (incompresible estricto) o un flujo de densidad variable. El conjunto de densidad variable acepta soluciones que implican pequeñas perturbaciones en los campos de densidad , presión y/o temperatura, y puede permitir la estratificación de la presión en el dominio. ${\displaystyle {\nabla \cdot \mathbf {u} =0}}$
2. Flujo anelástico : La restricción anelástica , que se utiliza principalmente en el campo de las ciencias atmosféricas , extiende la validez del flujo incompresible a la densidad estratificada y/o la temperatura, así como a la presión. Esto permite que las variables termodinámicas se relajen hasta un estado base "atmosférico" que se observa en la atmósfera inferior cuando se utiliza en el campo de la meteorología, por ejemplo. Esta condición también se puede utilizar para varios sistemas astrofísicos. ^[1] ${\displaystyle {\nabla \cdot \left(\rho _{o}\mathbf {u} \right)=0}}$
3. Flujo de bajo número de Mach o pseudoincompresibilidad : La restricción de bajo número de Mach se puede derivar de las ecuaciones de Euler compresibles utilizando análisis de escala de cantidades adimensionales. La restricción, como la anterior en esta sección, permite la eliminación de ondas acústicas, pero también permite grandes perturbaciones en densidad y/o temperatura. La suposición es que el flujo permanece dentro de un límite de número de Mach (normalmente menor a 0,3) para que cualquier solución que utilice dicha restricción sea válida. Nuevamente, de acuerdo con todos los flujos incompresibles, la desviación de presión debe ser pequeña en comparación con el estado base de presión. ^[2] ${\displaystyle \nabla \cdot \left(\alpha \mathbf {u} \right)=\beta }$

Estos métodos hacen suposiciones diferentes acerca del flujo, pero todos tienen en cuenta la forma general de la restricción para funciones generales dependientes del flujo y . ${\displaystyle \nabla \cdot \left(\alpha \mathbf {u} \right)=\beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Aproximaciones numéricas

La naturaleza estricta de las ecuaciones de flujo incompresible implica que se han ideado técnicas matemáticas específicas para resolverlas. Algunos de estos métodos incluyen:

1. El método de proyección (tanto aproximado como exacto)
2. Técnica de compresibilidad artificial (aproximada)
3. Preacondicionamiento de compresibilidad

Véase también

• Principio de Bernoulli
• Ecuaciones de Euler (dinámica de fluidos)
• Ecuaciones de Navier-Stokes

Referencias

1. Durran, DR (1989). "Mejora de la aproximación anelástica" (PDF) . Revista de ciencias atmosféricas . 46 (11): 1453–1461. Bibcode :1989JAtS...46.1453D. doi :10.1175/1520-0469(1989)046<1453:ITAA>2.0.CO;2. ISSN  1520-0469. ^{[ enlace muerto ]}
2. Almgren, AS; Bell, JB; Rendleman, CA; Zingale, M. (2006). "Modelado de supernovas de tipo Ia con bajo número de Mach. I. Hidrodinámica" (PDF) . Astrophysical Journal . 637 (2): 922–936. arXiv : astro-ph/0509892 . Bibcode :2006ApJ...637..922A. doi :10.1086/498426. Archivado desde el original (PDF) el 2008-10-31 . Consultado el 2008-12-04 .