Identidad de Sommerfeld

Resultado utilizado en la teoría de propagación de ondas.

La identidad de Sommerfeld es una identidad matemática, debida a Arnold Sommerfeld , utilizada en la teoría de propagación de ondas ,

${\displaystyle {\frac {e^{ikR}}{R}}=\int \limits _{0}^{\infty }I_{0}(\lambda r)e^{-\mu \left|z\right|}{\frac {\lambda d\lambda }{\mu }}}$

dónde

${\displaystyle \mu ={\sqrt {\lambda ^{2}-k^{2}}}}$

debe tomarse con parte real positiva, para asegurar la convergencia de la integral y su anulación en el límite y ${\displaystyle z\rightarrow \pm \infty }$

${\displaystyle R^{2}=r^{2}+z^{2}}$.

Aquí, es la distancia desde el origen mientras que es la distancia desde el eje central de un cilindro como en el sistema de coordenadas cilíndricas . Aquí la notación para las funciones de Bessel sigue la convención alemana, para ser coherente con la notación original utilizada por Sommerfeld. La función es la función de Bessel de orden cero de primer tipo, mejor conocida por la notación en la literatura inglesa. Esta identidad se conoce como la identidad de Sommerfeld. ^[1] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (r,\phi ,z)}$ ${\displaystyle I_{0}(z)}$ ${\displaystyle I_{0}(z)=J_{0}(iz)}$

En notación alternativa, la identidad de Sommerfeld puede verse más fácilmente como una expansión de una onda esférica en términos de ondas cilíndricamente simétricas: ^[2]

${\displaystyle {\frac {e^{ik_{0}r}}{r}}=i\int \limits _{0}^{\infty }{dk_{\rho }{\frac {k_{\rho }}{k_{z}}}J_{0}(k_{\rho }\rho )e^{ik_{z}\left|z\right|}}}$

Dónde

${\displaystyle k_{z}=(k_{0}^{2}-k_{\rho }^{2})^{1/2}}$

La notación utilizada aquí es diferente a la anterior: ahora es la distancia desde el origen y es la distancia radial en un sistema de coordenadas cilíndricas definido como . La interpretación física es que una onda esférica se puede expandir en una suma de ondas cilíndricas en la dirección, multiplicada por una onda plana de dos lados en la dirección; consulte la expansión de Jacobi-Anger . La suma debe realizarse sobre todos los números de onda . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle (\rho ,\phi ,z)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle k_{\rho }}$

La identidad de Sommerfeld está estrechamente relacionada con la transformada de Fourier bidimensional con simetría cilíndrica, es decir, la transformada de Hankel . Se obtiene transformando la onda esférica a lo largo de las coordenadas en el plano ( , , o , ) pero no transformando a lo largo de la coordenada de altura . ^[3] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle z}$

Notas

1. Sommerfeld 1964, pág. 242.
2. Chew 1990, pág. 66.
3. Chew 1990, pág. 65-66.

Referencias

• Sommerfeld, Arnold (1964). Ecuaciones diferenciales parciales en física . Nueva York: Academic Press . ISBN. 9780126546583.
• Chew, Weng Cho (1990). Ondas y campos en medios no homogéneos . Nueva York: Van Nostrand Reinhold . ISBN. 9780780347496.