Medida neutral al riesgo

Medida de probabilidad

En finanzas matemáticas , una medida neutral al riesgo (también llamada medida de equilibrio o medida martingala equivalente ) es una medida de probabilidad tal que el precio de cada acción es exactamente igual a la expectativa descontada del precio de la acción bajo esta medida. Esto se usa mucho en la fijación de precios de derivados financieros debido al teorema fundamental de fijación de precios de activos , que implica que en un mercado completo , el precio de un derivado es el valor esperado descontado del pago futuro bajo la única medida neutral al riesgo. ^[1] Tal medida existe si y solo si el mercado está libre de arbitraje.

Una medida neutral al riesgo es una medida de probabilidad

La forma más fácil de recordar qué es la medida neutral al riesgo, o de explicársela a un generalista de probabilidad que quizá no sepa mucho de finanzas, es darse cuenta de que es:

1. La medida de probabilidad de una variable aleatoria transformada. Normalmente, esta transformación es la función de utilidad del resultado. La medida neutral al riesgo sería la medida correspondiente a una expectativa del resultado con una utilidad lineal.
2. Una medida de probabilidad implícita , es decir, una medida implícita a partir de los precios actuales observables/publicados/negociados de los instrumentos relevantes. Relevante significa aquellos instrumentos que están vinculados causalmente con los eventos en el espacio de probabilidad en consideración (es decir, precios subyacentes más derivados), y
3. Se trata de la medida de probabilidad implícita (que resuelve una especie de problema inverso) que se define utilizando una utilidad lineal (neutral al riesgo) en el resultado, suponiendo algún modelo conocido para el resultado. Esto significa que se intenta encontrar la medida neutral al riesgo resolviendo la ecuación donde los precios actuales son el valor presente esperado de los resultados futuros bajo la medida neutral al riesgo. El concepto de una medida única neutral al riesgo es más útil cuando uno imagina la creación de precios en una serie de derivados que formarían una medida única neutral al riesgo, ya que implica un tipo de consistencia en los precios hipotéticos no negociados y, teóricamente, apunta a oportunidades de arbitraje en mercados donde los precios de oferta y demanda son visibles.

También vale la pena señalar que en la mayoría de las aplicaciones introductorias en finanzas, los pagos considerados son deterministas dado el conocimiento de los precios en algún punto terminal o futuro en el tiempo. Esto no es estrictamente necesario para hacer uso de estas técnicas.

Motivar el uso de medidas neutrales al riesgo

Los precios de los activos dependen fundamentalmente de su riesgo , ya que los inversores suelen exigir más beneficios a cambio de asumir un mayor riesgo. Por tanto, el precio actual de un derecho sobre una cantidad arriesgada que se materializará mañana suele ser distinto de su valor esperado. Lo más habitual es que los inversores sean reacios al riesgo y el precio actual sea inferior a las expectativas, lo que remunera a quienes asumen el riesgo.

Resulta que en un mercado completo sin oportunidades de arbitraje hay una forma alternativa de hacer este cálculo: en lugar de tomar primero la expectativa y luego ajustar la preferencia de riesgo de un inversor, se pueden ajustar, de una vez por todas, las probabilidades de resultados futuros de modo que incorporen las primas de riesgo de todos los inversores y luego tomar la expectativa bajo esta nueva distribución de probabilidad, la medida neutral al riesgo . El principal beneficio surge del hecho de que una vez que se encuentran las probabilidades neutrales al riesgo, cada activo puede ser tasado simplemente tomando el valor actual de su pago esperado. Nótese que si usáramos las probabilidades reales del mundo real, cada título requeriría un ajuste diferente (ya que difieren en riesgo).

La ausencia de arbitraje es crucial para la existencia de una medida neutral al riesgo. De hecho, según el teorema fundamental de la fijación de precios de activos , la condición de no arbitraje es equivalente a la existencia de una medida neutral al riesgo. La completitud del mercado también es importante porque en un mercado incompleto hay una multitud de precios posibles para un activo que corresponden a diferentes medidas neutrales al riesgo. Es habitual argumentar que la eficiencia del mercado implica que sólo hay un precio (la " ley del precio único "); la medida neutral al riesgo correcta para fijar el precio debe seleccionarse utilizando argumentos económicos, en lugar de puramente matemáticos.

Un error común es confundir la distribución de probabilidad construida con la probabilidad del mundo real. Serán diferentes porque en el mundo real, los inversores exigen primas de riesgo, mientras que se puede demostrar que, con las probabilidades neutrales al riesgo, todos los activos tienen la misma tasa de rendimiento esperada, la tasa libre de riesgo (o tasa a corto plazo ) y, por lo tanto, no incorporan ninguna de esas primas. El método de fijación de precios neutral al riesgo debe considerarse como muchas otras herramientas computacionales útiles: conveniente y potente, aunque parezca artificial.

Definición

Medida martingala equivalente

Sea un mercado de dimensión d que represente los procesos de precios de los activos riesgosos, el bono libre de riesgo y el espacio de probabilidad subyacente. Entonces, una medida se denomina medida martingala equivalente (local) si ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle Q}$

1. ${\displaystyle Q\approx P}$, es decir, es equivalente a , ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$
2. Los procesos son martingalas (locales) con respecto a ^[2] . ${\displaystyle \left({\frac {S_{t}^{i}}{B_{t}}}\right)_{t}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \forall \,i=1,\dots ,d}$

Medida neutral al riesgo

Las medidas neutrales al riesgo facilitan la expresión del valor de un derivado en una fórmula. Supongamos que en un momento futuro un derivado (por ejemplo, una opción de compra sobre una acción ) paga unidades, donde es una variable aleatoria en el espacio de probabilidad que describe el mercado. Supongamos además que el factor de descuento desde ahora (tiempo cero) hasta el tiempo es . Entonces, el valor justo actual del derivado es ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H_{T}}$ ${\displaystyle H_{T}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle DF(0,T)}$

${\displaystyle H_{0}=DF(0,T)\operatorname {E} _{Q}(H_{T}).}$

donde cualquier medida de martingala que resuelva la ecuación es una medida neutral al riesgo. ${\displaystyle Q}$

Cambio de medida

Esto se puede reformular en términos de una medida alternativa P como

${\displaystyle H_{0}=\operatorname {E} _{Q}\left(H_{0}\right)=\operatorname {E} _{P}\left({\frac {dQ}{dP}}H_{0}\right)={\frac {dQ}{dP}}H_{0}=DF(0,T)\operatorname {E} _{P}\left({\frac {dQ}{dP}}H_{T}\right)}$

donde es la derivada de Radon-Nikodym de con respecto a , y por lo tanto sigue siendo una martingala. ^[3] ${\displaystyle {\frac {dQ}{dP}}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

Si en un mercado financiero existe una sola medida neutral al riesgo, entonces existe un precio único libre de arbitraje para cada activo en el mercado. Este es el teorema fundamental de la fijación de precios libre de arbitraje . Si existen más de estas medidas, entonces en un intervalo de precios no es posible el arbitraje. Si no existe una medida martingala equivalente, existen oportunidades de arbitraje.

En los mercados con costos de transacción, sin numerario , el proceso de fijación de precios consistente reemplaza a la medida martingala equivalente. De hecho, existe una relación de 1 a 1 entre un proceso de fijación de precios consistente y una medida martingala equivalente.

Ejemplo 1 – Modelo binomial de precios de acciones

Dado un espacio de probabilidad , considere un modelo binomial de un solo período, denote el precio inicial de la acción como y el precio de la acción en el momento 1 como que puede tomar aleatoriamente valores posibles: si la acción sube, o si la acción baja. Finalmente, denote la tasa libre de riesgo. Estas cantidades deben satisfacer, de lo contrario, hay arbitraje en el mercado y un agente puede generar riqueza de la nada. ^[4] ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle S_{0}}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S^{u}}$ ${\displaystyle S^{d}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle S^{d}\leq (1+r)S_{0}\leq S^{u}}$

Una medida de probabilidad de se llama neutral al riesgo si, lo que se puede escribir como . Resolviendo para, encontramos que la probabilidad neutral al riesgo de un movimiento ascendente de las acciones está dada por el número ${\displaystyle \mathbb {P} ^{*}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle S_{0}=\mathbb {E} _{\mathbb {P} ^{*}}(S_{1}/(1+r))}$ ${\displaystyle S_{0}(1+r)=\pi S^{u}+(1-\pi )S^{d}}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \pi ={\frac {(1+r)S_{0}-S^{d}}{S^{u}-S^{d}}}.}$^[5]

Dado un derivado con pago cuando el precio de las acciones sube y cuando baja, podemos fijar el precio del derivado mediante ${\displaystyle X^{u}}$ ${\displaystyle X^{d}}$

${\displaystyle X={\frac {\pi X^{u}+(1-\pi )X^{d}}{1+r}}.}$

Ejemplo 2 – Modelo de movimiento browniano de los precios de las acciones

Supongamos que nuestra economía consta de dos activos, una acción y un bono libre de riesgo , y que utilizamos el modelo Black-Scholes . En el modelo, la evolución del precio de la acción se puede describir mediante el movimiento browniano geométrico :

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}}$

donde es un movimiento browniano estándar con respecto a la medida física. Si definimos ${\displaystyle W_{t}}$

${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}=W_{t}+{\frac {\mu -r}{\sigma }}t,}$

El teorema de Girsanov establece que existe una medida bajo la cual hay un movimiento browniano. se conoce como el precio de mercado del riesgo . Utilizando reglas dentro del cálculo de Itô , uno puede diferenciar informalmente con respecto a y reorganizar la expresión anterior para derivar la SDE ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}}$ ${\displaystyle {\frac {\mu -r}{\sigma }}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle dW_{t}=d{\tilde {W}}_{t}-{\frac {\mu -r}{\sigma }}\,dt,}$

Vuelva a poner esto en la ecuación original:

${\displaystyle dS_{t}=rS_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,d{\tilde {W}}_{t}.}$

Sea el precio de las acciones descontadas dado por , entonces por el lema de Ito obtenemos la SDE: ${\displaystyle {\tilde {S}}_{t}}$ ${\displaystyle {\tilde {S}}_{t}=e^{-rt}S_{t}}$

${\displaystyle d{\tilde {S}}_{t}=\sigma {\tilde {S}}_{t}\,d{\tilde {W}}_{t}.}$

${\displaystyle Q}$es la única medida neutral al riesgo para el modelo. El proceso de pago descontado de un derivado sobre la acción es una martingala bajo . Observe que la deriva de la SDE es , la tasa de interés libre de riesgo , lo que implica neutralidad al riesgo. Dado que y son -martingalas, podemos invocar el teorema de representación de la martingala para encontrar una estrategia de replicación : una cartera de acciones y bonos que paga en todo momento . ${\displaystyle H_{t}=\operatorname {E} _{Q}(H_{T}|F_{t})}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\tilde {S}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle H_{t}}$ ${\displaystyle t\leq T}$

Origen de la medida neutral al riesgo

Es natural preguntarse cómo surge una medida neutral al riesgo en un mercado libre de arbitraje. De alguna manera, los precios de todos los activos determinarán una medida de probabilidad. Una explicación se da utilizando el título Arrow . Para simplificar, considere un mundo discreto (incluso finito) con un solo horizonte temporal futuro. En otras palabras, existe el presente (tiempo 0) y el futuro (tiempo 1), y en el tiempo 1 el estado del mundo puede ser uno de un número finito de estados. Un título Arrow correspondiente al estado n , A _n , es uno que paga $1 en el tiempo 1 en el estado n y $0 en cualquiera de los otros estados del mundo.

¿Cuál es el precio de A _n ahora? Debe ser positivo, ya que existe la posibilidad de que usted gane $1; debe ser menor que $1, ya que ese es el máximo beneficio posible. Por lo tanto, el precio de cada A _n , que denotamos por A _n (0) , está estrictamente entre 0 y 1.

En realidad, la suma de los precios de todos los valores debe ser igual al valor actual de $1, porque tener una cartera compuesta por cada valor de Arrow dará como resultado un pago seguro de $1. Consideremos una rifa en la que un solo boleto gana un premio de todos los costos de inscripción: si el premio es $1, el costo de inscripción será 1/número de boletos. Para simplificar, consideraremos que la tasa de interés es 0, de modo que el valor actual de $1 es $1.

Por lo tanto, los A _n (0) satisfacen los axiomas de una distribución de probabilidad. Ninguno es negativo y su suma es 1. ¡Esta es la medida neutral al riesgo! Ahora queda demostrar que funciona como se anuncia, es decir, tomar los valores esperados con respecto a esta medida de probabilidad dará el precio correcto en el momento 0.

Supongamos que tenemos un valor C cuyo precio en el momento 0 es C(0) . En el futuro, en un estado i , su beneficio será C _i . Consideremos una cartera P que consta de una cantidad C _i de cada valor de Arrow A _i . En el futuro, sea cual sea el estado i , A _i paga 1 dólar mientras que los demás valores de Arrow pagan 0 dólares, por lo que P pagará C _i . En otras palabras, la cartera P replica el beneficio de C independientemente de lo que ocurra en el futuro. La falta de oportunidades de arbitraje implica que el precio de P y C debe ser el mismo ahora, ya que cualquier diferencia de precio significa que podemos, sin ningún riesgo, vender (en corto) el más caro, comprar el más barato y embolsarnos la diferencia. En el futuro, necesitaremos devolver el activo vendido en corto, pero podemos financiarlo exactamente vendiendo nuestro activo comprado, lo que nos dejará con nuestra ganancia inicial.

Si consideramos el precio de cada título de Arrow como una probabilidad , vemos que el precio de la cartera P(0) es el valor esperado de C bajo las probabilidades neutrales al riesgo. Si la tasa de interés R no fuera cero, tendríamos que descontar el valor esperado de manera adecuada para obtener el precio. En particular, la cartera que consiste en cada título de Arrow ahora tiene un valor presente de , por lo que la probabilidad neutral al riesgo del estado i se convierte en veces el precio de cada título de Arrow A _i , o su precio a futuro . ${\displaystyle {\frac {1}{1+R}}}$ ${\displaystyle (1+R)}$

Cabe señalar que los valores de Arrow en realidad no necesitan negociarse en el mercado. Aquí es donde entra en juego la completitud del mercado. En un mercado completo, cada valor de Arrow puede replicarse utilizando una cartera de activos reales negociados. El argumento anterior sigue siendo válido si se considera cada valor de Arrow como una cartera.

En un modelo más realista, como el modelo Black-Scholes y sus generalizaciones, nuestro título Arrow sería algo así como una opción digital doble , que paga $1 cuando el activo subyacente se encuentra entre un límite inferior y uno superior, y $0 en caso contrario. El precio de una opción de este tipo refleja entonces la visión del mercado sobre la probabilidad de que el precio al contado termine en ese intervalo de precios, ajustado por las primas de riesgo, de forma totalmente análoga a cómo obtuvimos las probabilidades anteriores para el mundo discreto de un paso.

Véase también

• Modelo browniano de los mercados financieros
• Análisis de reclamaciones contingentes
• Medida hacia adelante
• Teorema fundamental de fijación de precios sin arbitraje
• Ley del precio único
• Precios de Martingala
• Martingala (teoría de la probabilidad)
• Finanzas matemáticas
• Precios racionales
• Medida de entropía mínima de martingala

Notas

1. Glyn A. Holton (2005). "Teorema fundamental de la fijación de precios de activos". riskglossary.com . Consultado el 20 de octubre de 2011 .
2. Björk, Tomas (2004). Teoría del arbitraje en tiempo continuo . Nueva York: Oxford University Press. pp. 136f. ISBN 978-0-19-927126-9.
3. Hans Föllmer; Alejandro Schied (2004). Finanzas estocásticas: una introducción en tiempo discreto (2 ed.). Walter de Gruyter. pag. 6.ISBN​ 978-3-11-018346-7.
4. Shreve, Steven E. Cálculo estocástico para finanzas I El modelo binomial de fijación de precios de activos. pp. 2–3. ISBN 978-0-387-22527-2.OCLC 1184505221  .
5. Elliott, Robert James; Kopp, PE (2005). Matemáticas de los mercados financieros (2.ª ed.). Springer. pp. 48–50. ISBN 978-0-387-21292-0.

Enlaces externos

• Gisiger, Nicolas: Explicación de las probabilidades neutrales al riesgo
• Tham, Joseph: Valoración neutral al riesgo: una introducción amable , parte II