Teorema de representación de la martingala

En teoría de probabilidad , el teorema de representación martingala establece que una variable aleatoria que es medible con respecto a la filtración generada por un movimiento browniano puede escribirse en términos de una integral de Itô con respecto a este movimiento browniano.

El teorema sólo afirma la existencia de la representación y no ayuda a encontrarla explícitamente; en muchos casos es posible determinar la forma de la representación utilizando el cálculo de Malliavin .

También existen teoremas similares para las martingalas sobre filtraciones inducidas por procesos de salto , por ejemplo, mediante cadenas de Markov .

Declaración

Sea un movimiento browniano en un espacio de probabilidad filtrado estándar y sea la filtración aumentada generada por . Si X es una variable aleatoria integrable al cuadrado medible con respecto a , entonces existe un proceso predecible C que está adaptado con respecto a tal que ${\displaystyle B_{t}}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathcal {F}}_{t},P)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{t}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{t},}$

${\displaystyle X=E(X)+\int _{0}^{\infty }C_{s}\,dB_{s}.}$

Como consecuencia,

${\displaystyle E(X|{\mathcal {G}}_{t})=E(X)+\int _{0}^{t}C_{s}\,dB_{s}.}$

Aplicación en finanzas

El teorema de representación de la martingala se puede utilizar para establecer la existencia de una estrategia de cobertura . Supongamos que es un proceso de martingala Q, cuya volatilidad es siempre distinta de cero. Entonces, si es cualquier otra martingala Q, existe un proceso -previsible , único hasta conjuntos de medida 0, tal que con probabilidad uno, y N se puede escribir como: ${\displaystyle \left(M_{t}\right)_{0\leq t<\infty }}$ ${\displaystyle \sigma _{t}}$ ${\displaystyle \left(N_{t}\right)_{0\leq t<\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \int _{0}^{T}\varphi _{t}^{2}\sigma _{t}^{2}\,dt<\infty }$

${\displaystyle N_{t}=N_{0}+\int _{0}^{t}\varphi _{s}\,dM_{s}.}$

La estrategia de replicación se define como:

• mantener unidades del stock en el momento t , y ${\displaystyle \varphi _{t}}$
• mantener unidades del bono. ${\displaystyle \psi _{t}B_{t}=C_{t}-\varphi _{t}Z_{t}}$

donde es el precio de la acción descontado por el precio del bono al tiempo y es el pago esperado de la opción en el tiempo . ${\displaystyle Z_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle C_{t}}$ ${\displaystyle t}$

En el día de vencimiento T , el valor de la cartera es:

${\displaystyle V_{T}=\varphi _{T}S_{T}+\psi _{T}B_{T}=C_{T}=X}$

Y es fácil comprobar que la estrategia se autofinancia: el cambio en el valor de la cartera sólo depende del cambio en los precios de los activos . ${\displaystyle \left(dV_{t}=\varphi _{t}\,dS_{t}+\psi _{t}\,dB_{t}\right)}$

Véase también

• Ecuación diferencial estocástica hacia atrás

Referencias

• Montin, Benoît. (2002) "Procesos estocásticos aplicados en finanzas" ^{[ cita completa requerida ]}
• Elliott, Robert (1976) "Integrales estocásticas para martingalas de un proceso de salto con tiempos de salto parcialmente accesibles", Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete , 36, 213–226