Universo Mixmaster

El universo Mixmaster (llamado así por Sunbeam Mixmaster, una marca de batidora eléctrica de cocina Sunbeam Products ) ^[1] es una solución a las ecuaciones de campo de Einstein de la relatividad general estudiadas por Charles Misner en un esfuerzo por comprender mejor la dinámica del universo temprano . ^[2] Esperaba resolver el problema del horizonte de forma natural mostrando que el universo temprano atravesó una época oscilatoria y caótica .

Discusión

El modelo es similar al universo cerrado de Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker , en el que las porciones espaciales están curvadas positivamente y son topológicamente tres esferas . Sin embargo, en el universo FRW, el solo puede expandirse o contraerse: el único parámetro dinámico es el tamaño total del , parametrizado por el factor de escala . En el universo Mixmaster, el puede expandirse o contraerse, pero también distorsionarse anisotrópicamente. Su evolución se describe mediante un factor de escala , así como mediante dos parámetros de forma . Los valores de los parámetros de forma describen distorsiones del que preservan su volumen y también mantienen una curvatura escalar de Ricci constante. Por lo tanto, como los tres parámetros asumen valores diferentes, se preserva la homogeneidad pero no la isotropía . ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle a(t)}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle a(t)}$ ${\displaystyle \beta _{\pm }(t)}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle a,\beta _{\pm }}$

El modelo tiene una rica estructura dinámica. Misner demostró que los parámetros de forma actúan como las coordenadas de una masa puntual que se mueve en un potencial triangular con paredes que se elevan abruptamente con fricción. Al estudiar el movimiento de este punto, Misner demostró que el universo físico se expandiría en algunas direcciones y se contraería en otras, y que las direcciones de expansión y contracción cambiarían repetidamente. Como el potencial es aproximadamente triangular, Misner sugirió que la evolución es caótica. ${\displaystyle \beta _{\pm }(t)}$

Métrico

La métrica estudiada por Misner (muy ligeramente modificada a partir de su notación) está dada por,

${\displaystyle {\text{d}}s^{2}=-{\text{d}}t^{2}+\sum _{k=1}^{3}{L_{k}^{2}(t)}\sigma _{k}\otimes \sigma _{k}}$

dónde

${\displaystyle L_{k}=R(t)e^{\beta _{k}}}$

y las , consideradas como formas diferenciales , se definen por ${\displaystyle \sigma _{k}}$

${\displaystyle \sigma _{1}=\sin \psi {\text{d}}\theta -\cos \psi \sin \theta {\text{d}}\phi }$

${\displaystyle \sigma _{2}=\cos \psi {\text{d}}\theta +\sin \psi \sin \theta {\text{d}}\phi }$

${\displaystyle \sigma _{3}=-{\text{d}}\psi -\cos \theta {\text{d}}\phi }$

En cuanto a las coordenadas . Estas satisfacen ${\displaystyle (\theta ,\psi ,\phi )}$

${\displaystyle {\text{d}}\sigma _{i}={\frac {1}{2}}\epsilon _{ijk}\sigma _{j}\wedge \sigma _{k}}$

donde es la derivada exterior y el producto de cuña de las formas diferenciales. Las 1-formas forman un co-marco invariante a la izquierda en el grupo de Lie SU(2) , que es difeomórfico a la 3- esfera , por lo que la métrica espacial en el modelo de Misner puede describirse de manera concisa como simplemente una métrica invariante a la izquierda en la 3-esfera; de hecho, hasta la acción adjunta de SU(2) , esta es en realidad la métrica invariante a la izquierda general . A medida que la métrica evoluciona a través de la ecuación de Einstein, la geometría de esta típicamente se distorsiona de manera anisotrópica. Misner define los parámetros y que miden el volumen de las porciones espaciales, así como los "parámetros de forma" , mediante ${\displaystyle {\text{d}}}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle \Omega (t)}$ ${\displaystyle R(t)}$ ${\displaystyle \beta _{k}}$

${\displaystyle R(t)=e^{-\Omega (t)}=(L_{1}(t)L_{2}(t)L_{3}(t))^{1/3},\quad \sum _{k=1}^{3}\beta _{k}(t)=0}$.

Dado que hay una condición en los tres , solo debería haber dos funciones libres, que Misner elige que sean , definidas como ${\displaystyle \beta _{k}}$ ${\displaystyle \beta _{\pm }}$

${\displaystyle \beta _{+}=\beta _{1}+\beta _{2}=-\beta _{3},\quad \beta _{-}={\frac {\beta _{1}-\beta _{2}}{\sqrt {3}}}}$

La evolución del universo se describe entonces encontrando como funciones de . ${\displaystyle \beta _{\pm }}$ ${\displaystyle \Omega }$

Aplicaciones a la cosmología

Misner esperaba que el caos se agitara y suavizara el universo primitivo. Además, durante los períodos en los que una dirección era estática (por ejemplo, pasando de la expansión a la contracción), formalmente el horizonte de Hubble en esa dirección es infinito, lo que, según él, significaba que el problema del horizonte podía resolverse. Dado que las direcciones de expansión y contracción variaban, presumiblemente, dado el tiempo suficiente, el problema del horizonte se resolvería en todas las direcciones. ${\displaystyle H^{-1}}$

Si bien se trata de un ejemplo interesante de caos gravitacional, se reconoce ampliamente que los problemas cosmológicos que el universo Mixmaster intenta resolver se abordan de manera más elegante mediante la inflación cósmica . La métrica que estudió Misner también se conoce como métrica de tipo IX de Bianchi .

Véase también

• Clasificación de Bianchi
• Singularidad BKL

Referencias

1. Barry R. Parker, Caos en el cosmos: La asombrosa complejidad del universo , Springer, 2013, pág. 257.
2. Charles W. Misner , "Mixmaster Universe", Physical Review Letters , vol. 22, número 20 (mayo de 1969), págs. 1071-1074, doi :10.1103/PhysRevLett.22.1071, Bibcode :1969PhRvL..22.1071M. Enlace espejo. También disponible como entrada en el concurso de ensayos de 1969 de la Gravity Research Foundation . Enlace espejo.